2012艺术生高考数学复习学案2

§37 平面向量 1 (1)

【考点及要求】

1． 解掌握平面向量的概念； 2． 握平面向量的线性运算． 【基础知识】

1．向量的概念（向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量）； 2．向量的加法与减法（法则、几何意义）；

3．实数与向量的积（定义、运算律、两个向量共线定理）； 4．平面向量基本定理. 【基本训练】

1．判断下列命题是否正确：

⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； （ ） ⑵若四边形ABCD是平行四边形，则AB=； ⑶若a∥b，b∥c，则a∥c；

（ ）

（ ） （ ）

⑷若AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线； ⑸若AB+BC+CA=0，则A、B、C三点共线；

（ ）

2．若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=，=，则等于（ ） A．+

1

2

B．

1 2

C．+

11 D． 22

3．设M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是 （ ）

A．AB+BC+AC

B．AM+MB+BC D．3AM+AC

C．AM+BM+CM

4．已知C是线段AB上一点，BC= CA（ ＞0）．若OA=a，OB=b，请用a，b表示．

【典型例题讲练】

B

O

例1、如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=CN=

1

BC，3

1

CD．试用，表示，，． 3

→→

变式: 平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，

→→d表示AB和AD.

例2设两个非零向量e1、e2不是平行向量

（1）如果AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，CD=3(e1 e2)，求证A、B、D三点共线； （2）试确定实数k的值，使ke1+e2和e1+ke2是两个平行向量．

变式: 已知、不共线，= a+b．求证：A、P、B三点共线的充要条件

是a+b=1． 【课堂小结】

向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合；能够从图形和代数式两个角

度理解向量的加减以及数乘运算。 【课堂检测】

1．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，

（1）与向量FE共线的有 ．

（2）与向量DF的模相等的有 ．

（3）与向量ED相等的有 ．

2．已知正方形ABCD边长为1，++模等于（ ）

A．0

B．3

C．22 D．2

3．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

→→

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等；

→→④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC； ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 4．已知

→→

ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设EA＝a，EB＝b，则

向量等于 （ ） A. 2a＋b

B.2a－b C.b－2a

D.－b－2a

§38 平面向量 1 (2)

【典型例题讲练】

→→→→→→

例3如图，OA＝a，OB＝b，AP＝tAB（t∈R)，当P是（1）AB中点，（2）AB的三等分点→

（离A近的一个）时，分别求OP.

BC→→

变式: 在△OAB中，C是AB ＝λ(λ>0)，若OA＝a，OB＝b，试用a，b

CA→

表示OC.

例4．某人在静水中游泳，速度为43 千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.

（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 变式: 一艘船从A点出发以3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).

【课堂小结】

在理解向量加减法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则以及减法的三角形法则，并了解向量加减法在物理学中的应用。 【课堂检测】

→→→→

1．四边形ABCD满足AD＝BC，且｜AC｜＝｜BD｜，则四边形ABCD是 . →→→→

2．化简：（AD＋MB）＋（BC＋CM）＝

→→→→3．若AB＝5e1，CD＝－7e1，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是 （ ） A.平行四边形 C.菱形 【课后作业】

B.等腰梯形

D.梯形但两腰不相等

→→

1．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列1111→→→→→→

命题：①AB＝－ a－b ②BE＝a＋ b ③CF＝－a＋ b ④AD＋BE＋CF＝0.其中

2222

正确的命题个数为 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

→→

2．若O为平行四边形ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1等于 （ ）

→

A. AO

→→

B. BO C. CO

→

D. DO

1

3．已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝ (PA＋PB＋PC).

3

§39 平面向量 2 (1)

【考点及要求】

1. 理解平面向量的坐标表示；

2. 掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算； 3. 理解向量平行的等价条件的坐标形式． 【基础知识】

1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj成立，即向量a 的坐标是________

2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________， a－b＝____________。

3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标. 4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________ 5. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥b x1 y2－x2 y1＝_______ 【基本训练】

1.设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线

段依次首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( ) A.（2,6） B.（-2,6） C.（2,-6） D.（-2,-6）

1

2.平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足AC CB，连DC并延长至E，使

2

1

|CE|=|ED|，则点E坐标为： ( )

4

A、（-8，

581111

） B、（ ,） C、（0，1） D、（0，1）或（2，） 3333

3．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（ ） A．x=1,y=3 B．x=3,y=1

C．x=1,y=－5 D．x=5,y=－1

4．已知向量 (3,4), (sin ,cos ),且∥，则tan = （ ）

A．

3

4

B．

3

4

C．

4 3

D．

4 3

【典型例题讲练】

例1、 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，

4），求顶点D的坐标。

变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且 ＝ 3， ＝ 2，求M，N的坐标和的坐标.

变式: 若向量 ＝ 2，＝ m，其中，分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，求使A，B，C三点共线的m值.

【课堂小结】

设：(x1, y1)、b(x2, y2)

（1）加减法：a±b=(x1±x2,y1±y2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)). （2）数乘：若=(x,y),则λ=(λx,λy)

（3）a∥b (b ) a b x1y2 x2y1 0

注意：充要条件不能写成：x1 y1或x1 y1，但在解题中，当分母不为0时常使用；

x2y2x2y2【课堂检测】

1．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（ ） A．x=1,y=3 B．x=3,y=1

C．x=1,y=－5 D．x=5,y=－1

2．已知向量a (3,4),b (sin ,cos ),且a∥b，则tan = （ ） A．

3

4

B．

3

4

C．

4 3

D．

4 3

3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 2=

4．已知 (3,2)， (2, 1)，若 与 平行，则λ5．已知 ABCD中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D的坐标为____________

§40 平面向量 2 (2)

【典型例题讲练】

t.问： 例3已知点O(0,0), A(1,2), B(4,5), 及(1) t 为何值时，P在x轴上? P在第二象限？

(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能；求出相应的t值；若不能；请说明理由.

变式: 已知a＝(3, -1), b＝(-1, 2), c＝(-1,0), 求 与 ，使c a b

例4．已知向量＝(x，y)与向量＝( y，2y-x)的对应关系用 ＝f()表示，

(1) 证明对于任意向量，及常数m，n恒有f(m n)＝mf() nf()成立； (2) 设＝(1，1)，＝(1，0)，求向量f()及f()的坐标；

变式引申: 求使f()＝(p，q) (p，q为常数)的向量的坐标.

【课堂小结】

运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。 【课堂检测】

1．若向量=(x+3,x2-3x-4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则 2．已知三点P(1,1)、A(2,-4)、B(x,-9)在一条直线上，求x的值.

3．已知向量a=(2x－y+1,x+y－2), b=(2,－2),x、y为何值时，

(1)a b； (2) a//b

【课后作业】

1．平面内给定三个向量 3,2 , 1,2 , 4,1 ，回答下列问题： （1）求满足 m n的实数m,n； （2）若a kc//2b a，求实数k；

2.(2005湖北)．已知向量 ( 2,2), (5,k).若| |不超过5，则k的取值范围是

3.设OA=（3，1），OB=（-1，2），OC⊥OB，BC∥OA，O为坐标原点，则满足

OD+OA=OC的OD的坐标是＿＿＿＿

§41 平面向量 3 (1)

【考点及要求】

熟练掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的几个重要性质及数量积运算规律解决有关问题。 【基础知识】

1． 知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则有a · b ＝___________ ，其中夹角θ

的取值范围是________。规定0·a＝___________；向量的数量积的结果是一个______。

2．设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ0是a与e夹角，θ是a与b夹角. ①e·a＝a·e＝｜a｜cosθ0；②a⊥b a·b＝_____；③当a与b同向时，a·b＝______； 当a与b反向时，a·b＝_______；特别地，a·a＝_______或｜a｜＝_________。④cosθ＝____________；⑤｜a·b｜____｜a｜｜b｜（用不等号填空）。

3．平面向量数量积的坐标表示： 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____________；记a与b的夹角为θ，则cosθ＝_______________。其中｜a｜=_________。

4.两向量垂直的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b ___________. 【基本训练】

1. 判断正误，并简要说明理由.

→→

①a·0＝0；②0·a＝0；③0－AB＝BA；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.⑨a·b>0，则它们的夹角为锐角。 →→2. 已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则BC·CA=__________

3．已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为90°，则a·b=_________ 4．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ） （1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b| （3）(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 （4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2 A.（2）（4） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（3）（4） 5．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）·（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为 （ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 【典型例题讲练】

例2、 已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求

a·b.

变式：设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ .

例2已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

变式: 已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

【课堂小结】

掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 【课堂检测】

→→

1．△ABC中，AB＝a，BC＝b，且a·b＞0，则△ABC为 （ ） A.锐角三角形

B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

→→→2．已知等边△ABC的边长为1，且BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于 （ ） 3A.

2

3

B. C.0

2

9

D.

4

3．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为 （ ） A.60° B.90° C.45° D.30°

4．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ . 5．已知| i |＝| j |＝1，i·j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a·b＝. 6．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝

§42 平面向量 3 (2)

【典型例题讲练】

例3已知a＝(1，3 )，b＝(3 ＋13 －1)，则a与b的夹角是多少?

变式: 已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.

→→

例4．在△ABC中，AB＝(1，1)，AC＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.

变式1: 已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？

→→

变式2:已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且AP＝tAB

→→

(0≤t≤1)，则OA·OP的最大值是多少?

【课堂小结】

掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 【课堂检测】 1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为 （ ） A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不对 2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·b为 （ ） A.63 B.83 C.23 D.57 3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于 （ ） A.－23

77

B. C.－

23

7

D.－

4

4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ） 10

A.，+∞）

310

C.（－∞，）

3

13 13

10

B.［，+∞）

3

10

D.（－∞， ］

3

5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为 （ ） A.

B.

13

C.0 13

D.1

【课后作业】

1．已知向量c与向量a＝（3 ，－1）和b＝（13 ）的夹角相等，c2 ，则 c＝ 2．若a＝（3，4），b＝(1，2)且a·b＝10，则b在a上的投影为. 3．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：

①|a|＝x1＋y1 ②b2＝x2＋y2 ③a·b＝x1x`2＋y1y`2 ④a⊥b x1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 . 4．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4）， →→（1）求证：AB⊥AD ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.

5．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？

6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.

§43 平面向量 4 (1)

【考点及要求】

利用平面向量的概念及运算法则，尤其在掌握向量平行与垂直的性质的基础上，解决向量相关问题。 【基础知识】

（1）平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝____________________；

（2）两个向量平行的充要条件

a∥b _______________ _________________ （3）两个向量垂直的充要条件

a⊥b _______________ _________________ 【基本训练】 1.选择题

已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( ) A．a与b相等

B．如果a与b平行，那么a与b相等 C. a·b＝1 D．a2＝b2

2．若a、b是两个非零向量，则下列命题正确的是

A.a⊥b a·b＝0 B.a·b＝｜a｜·｜b｜ C.a·b＝－b·a D.a·b＝－｜a｜·｜b｜ →→3．设A(1，3)，B(－2，－3)，C(x，7)，若AB∥BC，则x的值为

A.0 B.3 C.15 D.18 4．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为

A.30° B.60° C.120° D.150° 5．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为

A.－6 B.6 C.3 D.－3 6．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为

A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4 C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－4 7．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是

A.3i＋2j B.－2i＋3j C.－3i＋2j D.2i－3j 8．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为

A.2i－j B.i－2j C.2i＋j D.i＋2j

【典型例题讲练】

→→→→

例1四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?

→→

变式：在△ABC中，AB＝a，BC＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 例2若非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|. 证明：a⊥b.

变式引申: .已知a＋b＝c，a－b＝d 求证：|a|＝|b| c⊥d

【课堂小结】

1.熟悉向量的性质及运算律；2.能根据向量性质特点构造向量；3.熟练平面几何性质在解题中应用；4.熟练向量求解的坐标化思路. 【课堂检测】

1当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 2下面有五个命题，其中正确的命题序号为

①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |

A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤

3下列四式中不能化简为的是（ ） ．．

A. ( ) B.( ) ( )

B.直角三角形

D.不能确定

C. D.

3．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为

A.30° B.60° C.120° D.150° 4．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为

A.－6 B.6 C.3 D.－3 5．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为

A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4 C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－4 6．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是

A.3i＋2j B.－2i＋3j C.－3i＋2j D.2i－3j 7．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为

A.2i－j B.i－2j C.2i＋j D.i＋2j 8．已知a2＝2a·b，b2＝2a·b，则a与b的夹角为

A.0° B.30° C.60° D.180°

§44 平面向量 4 (2)

【典型例题讲练】

例3圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证： 2.

变式: 已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.

例4．已知A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin ). (1)若AC BC 1,求sin2 的值；

(2)若|OA OC| ,且 (0, ),求OB与OC 的夹角.

变式1: 平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C满足

OC= OA OB, 其中α、β∈R且α+β=1, 则点C的轨迹方程为

变式2: 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于m，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为

【课堂小结】

针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.在综合学习向量知识之后，解决问题的途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质.

【课堂检测】

a1．设a (1 cos ,), b (sin ,3),且∥b， 则锐角 为

2．已知点A( 2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足 x2，则点P的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

3．已知向量a (1,1,0),b ( 1,0,2),且ka b与2a b相互垂直，则k值是

4．已知a,b是非零向量且满足(a 2b) a,(b 2a) b,则a与b的夹角是【课后作业】

1．若A,B两点的坐标是A(3cos ,3sin ,1),B(2cos ,2sin ,1),||的取值范围是 A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]

2．（选做）从点A(2,－1,7)沿向量a (8,9, 12)方向取线段长|AB|=34,则点B的坐标为 A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 3．平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C满足

OC= OA OB, 其中α、β∈R且α+β=1, 则点C的轨迹方程为 ( )

A.3x 2y 11 0 B.(x 1) (y 2) 5 C. 2x y 0 D. x 2y 5 0

2

2

§45 等差数列(1)

【考点及要求】

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系. 【基础知识】

1.数列：按照______.数列中的每一个数叫做数列的数列可以看成是定义域为 __的函数，其图像是 __ .

2.一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于____________，那么这个数列就叫做____________，这个常数叫做等差数列的，其通项公式为 _____________或______________.

3.若a,b,c为等差数列，则称b为a与c的b a,b,c成等差数列是2b a c的 条件.

4.在等差数列 an 中，若m n p q，则am an _____________.

5.判断一个数列为等差数列的常用方法有： 6.等差数列的求和公式为Sn ___________或_____________；其推导方法为__________. 7.若数列{an}是等差数列，则从函数的观点看，an是关于n的_____次函数，其图象是直线上均匀排开的一群孤立的点，Sn是关于n的_______次函数，当a1____0，d____0时，

Sn有最_____值；当a1____0，d____0时，Sn有最______值；当d_____0时，等差数列为常数数列.

8.数列{an}的项an与其前n和Sn的关系是：an=_________________.

【基本训练】

1.在数列{an}中，a1 2，2an 1 2an 1，则通项an ___________，a101 2.在等差数列{an}中，首项a1 1，公差为d 3，如果an 2005，则n . 3.等差数列{an}中，已知a1

1

，a2 a5 4,an 33，则n=______. 3

4.高斯求和：1 2 3 100 .

5.在等差数列 an 中，若a1 11，d 4，则前n项和Sn=_____________. 【典型例题讲练】

例1 在等差数列{an}中，已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为个数.

85

，求这59

练习 在等差数列{an}中， (1)已知a15 33,a45 153，求a61；

例2 在等差数列{an}中，

(1)已知a6 10,S5 5，求a8和S8；

练习

(1)已知a10 30,a20 50，若Sn 242，求n. (2)已知S8 48,S12 168，求a1和d；

练习 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32：27，则公差d=_________

【课堂小结】

【课堂检测】

1.已知{an}为等差数列，a3 3，前4项和S4 16，则a2 .

2.已知等差数列{an}中，a2 7,a4 15，则前10项的和S10＝________. 【课后作业】

1.在等差数列{an}中，已知S9 18,an 4 30(n 9),Sn 240，求n.

(2)已知a16 3，求S31. (2)前三项是

151

,,，求a11. x 16xx

2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若

Sa55

,则9 _________.

S5a39

§46 等差数列(2)

【典型例题讲练】

例1 已知数列{an}中，Sn n2，求通项an.

练习 已知数列{an}中，Sn n2 n 1，求通项an.

例2 在等差数列 an 中，a1 25,S9 S17,问此数列前几项的和最大？

练习 等差数列 an 的前n项和为Sn，若S16 0,S17 0，则当n=_______时，Sn最大.

例3 已知

练习 已知数列{an}中，a1

111

,,成等差数列，求证：b c,a c,a b也成等差数列. abcabc

13

(n 2,n N*)，数列{bn}满足 ， an 2 an 15

bn

1

(n N*)，求证：数列{bn}是等差数列 an 1

【课堂小结】 1. 2. 3.

【课堂检测】

1.设等差数列 an 的前n项和Sn，已知a3 12,S12 0,S13 0.指出S1,S2, ，S12中哪一个值最大，并说明理由.

2.设{an}是等差数列，求证：bn

【课后作业】

1.在等差数列 an 中，a16 a17 a18 a9 36，其前n项和为Sn .（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；（2）求Tn |a1| |a2| |an|.

2.在等差数列 an 中，7a5 5a9 0,且a9 a5,则使数列前n项和Sn取最小值的n为_______.

3.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7 7,S15 75,Tn为数列{

a1 a2 an

(n N*)为通项的数列{bn}是等差数列.

n

Sn

的前n

n项和，求Tn.

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