数学培优班题典(四年级)

专题一 速算与巧算

知识对对碰

在加法、减法和加减混合运算中，常常利用改变运算顺序进行巧算，其中有利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等，还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算。 整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简单化。

1. 同学们要记住一些速算结果，如2×5=10，25×4 =100，125×8 =1000，625×8 =5000，625×16= 10000等，这样，在计算时才能迅速而准确。

2. 灵活地运用“头同尾合十”和“尾同头合十”的巧算法求积。

“头同尾合十”的巧算方法是：用十位上的数字乘十位上的数字加1的积，再乘100，最后加上个位上两个数字的乘积。

如23×27 =2×(2+l)×100+3×7 =621.

“尾同头合十”的巧算方法是：十位数字的乘积加上个位数字的和，再乘100，最后加上个位上的数字的积。

如：如72×32=(7×3+2)×100+2×2 =2304。

3.两数之和乘这两数之差的只等于这两个数的平方差。

4. 另外有一些常用方法。 (??5)(a?5)?a2?b2 (1)乘数凑整法

乘数凑整法是利用特殊数的乘积特性进行速算，如：5×2= 10，25×4= 100，125×8=1000，?

运算时可将包含这几个因子的乘数分解然后提出这几个因子，实现速算。例如：32×625 =4×8×125×5。

(2)乘法分配律、结合律

该方法利用求几个乘积之和时拥有共同乘数的特点，直接利用乘法结合律，先求和再求积。例如：87×28+28×73-28×10=28×(87+73-10)。如果没有出现乘数相同的情况，可以想办法进行拆分得到相同乘数，可以分成两数之和或是之积。 (3)特殊方法

针对特定的题还可以采用特定的方法，如“头同尾补”或是“尾同头补”等方法。 一、加减法中的速算与巧算

例1(★)8+ 98+ 998+ 9998+ 99998+ 999998

例2(★)巧算:599996 +49997 + 3998 +407 + 89

例3 (★★)5723-(723 -189)+576-(276-21l)

例4(★★)l00 +99-98+97-96+?+3-2+1

例5 (★★★)98+97-96-95+94+93-92-91+90+89?? 4-3+2+1

二、乘除法中的速算与巧算 例1（★）计算：（1）125×25×32

（2）576×422 + 576 + 577×576 （3）37500 +25 +4

例2(★)简算:(1)29×31 (2)68×72

例3 (★★)19981999×19991998 - 19981998×19991999

例4(★★)计算：4444×33333

例5（★★★）99???9?99???9?99???9的末尾有多少个零？

1992个91992个91992个9

例6（★★★）（福建第3届小伙炬杯）计算：98989898×99999999÷1010101÷1111111

魔法训练营 1.简便计算:

(1) 199999+29999+3999+499+59 (2)998+1413+9989

(3)799998+79997+7996+797+18 2.计算:

(1)1456 - 302 (2)2541 - 1998 (3)548 - 164 - 236 (4)8495 - (495 -281 ) 3.计算:

(1)(50-43) + (43-41) + (41-39) + (39-32) (2)812-593 + 193-647+247-374 + 174+200

4．某养猪专业户七月份出售了10头肥猪，每头肥猪的质量分别是：125,128,119,118,1t8,131,135,140, 115,115（千克）。七月份出售肥猪总共多少千克？ 5．用简便方法计算下面各题。

(1)1 -2 +3-4 +5-6+?+1991 -1992 +1993= _________ (2)1+2+3+4+5+6+?+100=____________ (3)9+99+ 999+ 9999+ 99999=__________

6．计算：1234567 +2345671 +3456712 +4567123 +5671234 +6712345 +7123456 7．计算：123 +234 +345 +456 +567 +678

8．计算：(2 +4 +6+?+1998 +2000) -(1 +3 +5+?+1997 +1999) 9．计算：1 +2+3+?+999+1000+999+?+3 +2 +1 10.用简便方法计算：

(1)3600000÷125 ÷32 ÷25 (2)3456×998

(3)347×69 +653×31+306×19

11.计算：22222×22222

12.计算：99999×77778 +33333×66666 13.计算：9÷13+13÷9+11÷13+14÷9+6÷13 14.计算：156 +78×1983+22×1985 15.计算：33???3?33???34

99个399个316.计算：111111× 999999+999999×777777

17.计算：19961997×19971996 - 19961996×19971997 18.计算：76000?100???0?200???0

100个098个019.计算：66???6?66???67

1997个61996个6 20.计算：123456789×987654321 - 123456788×987654322

这个铜币哪去了

这天，太阳刚刚出来，阿凡提就骑着小毛驴赶集来了。阿凡提一边逛着，一边不住地和朋友们打着招呼。只听见有人高喊他的名字，阿凡提回头一看，原来是西瓜店老板沙拉。此人既贪财又奸诈，还专门放高利贷剥削老百姓。阿凡提早就想找机会教训教训这家伙。此时沙拉正手忙脚乱地卖着西瓜。阿凡提走过去，见西瓜半数是大的，半数是小的。大西瓜7贪铜币买2个，小西瓜一个铜币买3个。阿凡提对沙拉说：“啊，沙拉老弟，你可真笨，何不把大小西瓜合在一起，不论大小，按2个铜币买5个来算，不是省事了吗？”沙拉一听，顿时眉开眼笑，连忙谢道，：“阿凡提大哥真是聪明，果然名不虚传。”

过了没多久，沙拉又急急忙忙地追上了阿凡提说：“阿凡提大哥，我刚才用您教的方法卖了30个大西瓜、30个小西瓜，真是快多了。可我点钱时发现只卖得24个铜币，而按老办法卖30个大西瓜应得15个铜币，30个小西瓜应得10个铜币，合在一起一共25个铜币，怎么会少一个铜币呢？” 阿凡提暗自好笑，却故作吃惊地说：“不会少一个铜币吧，一定是你数错了。”

沙拉左思右想，也不知这个铜币哪里去了，还真以为数错呢。瞧，他又在瓜摊旁一遍一遍地数着铜币。 同学们，你知道这个铜币哪去了吗？

专题二 错中求解

在加、减、乘、除试题的计算中，如果粗心大意将算式中的一些数字或符号抄错，会使结果发生错误。能不能根据错误的计算结果，求出正确的结果呢？这就是所谓的“错中求解”。 解答这样的题目，我们要熟悉加、减、乘、除各部分间的关系。 一个加数=和一另一个加数 减数=被减数一差 被减数=减数+差

一个因数=积÷另一个因数 除数=被除数÷商 被除数=商×除数

在有余数的除法里还有： 被除数=商×除数+余数

除数=（被除数一余数）÷商

在熟悉这些关系的基础上，要根据题目中所给的条件，认真分析隐含的数量关系，从而找到正确的结果。 名题典中典

例1(★)张小明计算一道除法算式，把被除数532写成523，结果商是65，余数是3，正确的商是多少？余数是多少？

例2(★)小红做一道减法题时，把减数个位上的8错写成5，十位上的6错写成9，得到的差是435，请你算一算，正确的差是多少？

例3(★★)小玲在做两位数乘两位数的乘法时，她把一个因数个位上的5错写成2，乘得的积是832，实际的积是910，这两个因数分别是多少？

例4(★★)甲、乙两学生同算两数之和，甲得685，计算正确，乙得460，计算错误，乙所以算错的原因是将其中一个加数末尾的0漏掉了。这两个加数各是多少？

例5(★★)张鹏做两位数乘两位数的题时，把第二个乘数的个位数4错当作1，乘得的结果是525，实际应为600，这两个两位数各是多少？

例6(★★)小马虎在计算有余数的除法时，把被除数137错写成了174，这样商比原来多了3，余数比原来多了1。请你算出这道题的除数和余数各是多少？

例7(★★★)陈敏同学在计算一道减法题时，把被减数3085错写成了3058，把减数百位上的4错写成了l，十位上的3错写成8，这样得到的差是2146。问正确的差应是多少？

例8(★★★)一个人去商店买了两件商品，他把一个商品的标价个位上的零忽略了，只付给售货员162元，售货员却让他付款270元，这两种商品的标价各是多少？

魔法训练营

1．陈程做题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3写成8，把十位上的O错写成6，这样算得的差是199，正确的差是多少？

2．小明和小红同算两数之和，小红算得785，计算正确。小明算得578，计算错误，经查找原因，小

明发现将其中一个加数末尾的“O”漏掉了，这两个加数各是多少？

3．两数相乘，如果一个因数减少3，积就减少48，如果另一个因数增加4，积就增加108，原来两个因数各是多少？

4．小强在做计算题（1800-□）÷25+192时，没有注意题里的括号，选有□里的数除以25，然后按加减运算的顺序计算，得1968。问这道题应该得多少呢？

5．小刚在计算除法时，把除数65写成了56，结果得到商是13，还余52，正确的商应是多少？

6．小虎做两位数乘两位数的题时，把一个乘数的个位数字6错当作1，乘得的结果是775，实际应为900，这两个两位数各是多少？

7．小方在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少3，但余数恰好相同，这道题的除数和余数各是多少？

8.1000个单位的年收人为8200万元到98000万元。由于失误，把一个最大的收入记为980000万元输入计算机。那么输入的错误数据的平均值与准确数据的平均值相差多少万元？

几个9

明明和沉沉都十分喜欢数学。一天明明问沉沉：“你最喜欢几？”“我最喜欢9。?‘那你说说从1数到100，要说几次‘9’？”“啊！??这”沉沉被难住了，“这要数一数才能知道，一分钟时间。”明明说。小朋友，请你在一分钟内说出从1到100衣多少个9 。

例5(★★★)如图6-5，直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，那么∠1和∠2的大小有什么关系？∠3和∠4的大小有什么关系？为什么？

例6 (★★★)在图6-6中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F和∠G的度数和是多少？

例7(★★★)图6-7由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的4个内角各是多少度。

魔法训练营

1．既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫等腰直角三角形，等腰直角三角形的底角是多少度？

2．如图6-9，求∠1，∠2，∠3。

3．已知一个三角形的一个内角是900，是另一个内角的3倍，这个三兔形的另外两个角各是多少度？

4．如图6 -10，在正三角形ABC中，∠1=∠2，∠3 =∠4，求x的度数。

5．如图6 -11，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高。 (1) ∠1和∠2的大小有什么关系？ (2) ∠3和∠4的大小有什么关系7

6．如图6 -12，求∠1，∠2，∠3，∠4与∠5的度数之和。

专题七 三角形的等积变形

把一个图形变为与它面积相等的图形，叫做等积变形。等积变形前后两个图形的面积相等，但形状并不一定一样。

最常用的等积变换是三角形等积变换，要熟记下面的结论： 1.等底等高的两个三角形面积相等； 2.两条平行线间的距离处处相等；

3.底在同一条直线E并且相等，该底所对应的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线七，那么这两个三角形面积相等；

4.如果两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的底（或高）的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

名题典中典

例1 (★)用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。

例2(★)如图7-4，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。

例3(★)如图7-6，在△ABC中，BD：2DC，AE：BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于多少平方厘米？

例4(★★)用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为1:3:4。

例5(★★)如图7 -11，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD。若△ADE的面积为l平方厘米，求三角形ABC的面积。

例6(★★)如图7 -13，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的长的2倍，那么三角形CDE的面积是多少平方厘米？

例7(★★★)如图7 -14，在△ABC中，BD= 2AD，AG =2CG，BE=EF= FC，求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？

例8(★★★)如图7 -15，四边形ABCD为平行四边形，EF平行于AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。

魔法训练营

1．你能用不同的方法将一个三角形五等分吗？

2．如图7 -16，A、曰两点分别是长方形EFGH长和宽的中点，如果长方形的面积是16平方米，那么阴影部分的面积是多少平方米？

3．如图7 - 17，在△ABC中，EF与BC平行，AB= 4AE，已知△ABC的面积为144平方厘米，那么△AEF的面积是多少平方厘米？

4．如图7 -18，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，已知ABCD的面积是108平方厘米。那么△BEF的面积是多少？

5．如图7 -19，已知正方形的面积是50平方厘米，三角形ABC两条直角边中，长边是短边的2.5倍，求三角形ABC的面积。

6．如图7 -20，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

7．如图7 -21，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC= 27平方厘米，求S△DEF。

8．如图7 - 22，E是长方形ABCD的BC上一点，使SABE?1S梯形AECD，BC=9厘米，求BE是多少厘2米。

9.如图7-23，将四边形ABCD各边都延长一倍至A’、B’、C’、D’。如果四边形ABCD的面积是1，求四边形A'B'C'D'，的面积。

10.如图7- 24，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF=CE，BG=DE，如果四边形ABCD的面积是l，求△EFG的面积。

阿拉伯数字

在生活中，我们经常会用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字。那么你知道这些数字是谁发明的吗？

这些数字符号原来是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯，又从阿拉伯传到欧洲，欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫做“阿拉伯数字”，因为流传了许多年，人们叫得顺口，所以至今人们仍然将错就错，把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字。

现在，阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符。

专题八 巧求周长

长方形和正方形的周长是指围成这个图形的四条线段的长度总和。计算长方形、正方形的周长公式是：长方形周长=（长+宽）×2，正方形周长=边长×4。对于一些多边形，我们也可以经过转化，把它们变成正方形或长方形，然后再利用这两个公式来求周长。

在平时的学习过程中，经常会遇到表面看起来根本不是长方形、正方形或其他标准图形，这就需要运用平移、转化、分解、合并等技巧，找到突破口、化难为易、化繁为简。

名题典中典

例1(★)求图8-1中(a)、(b)的周长（单位：分米）。

例2(★)一个长方形拆成两个大小相同的正方形，周长之和比原来的长方形的周长多了6厘米，原来长方形的周长是多少？

例3(★)图8 -3(a)中的小方格与图(b)中的小方格一样，图(a)的周长为48厘米，求图(b)的周长。

例4(★★)四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图8-4。大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。问长方形的短边长是几米？

例5(★★)图8-5是由六个正方形重叠起来的，连接点正好是正方形边的中点，正方形边长是o，该图的周长是________。

例6 (★★)图8 -6(a)是一块草坪的示意图，求这块草坪的周长（单位：米）。

例7(★★)一个正方形被分割成3个大小、形状完全一样的长方形，如图8-7，每个小长方形的周长都是24厘米，求这个正方形的周长。

(★★★)求图8-8中实线部分“E”字形的周长（单位：厘米）。

1．学校有一个长方形的操场，四角上都修了一个正方形看台，如图8-9，你知道这个操场的周长吗？

2．求图8 -10中阴影部分的周长。

3．如图8 -11，小冬和小明同时从学校出发，走两条不同的路线到少年官，问 两人一共走了多少米？

4．边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？

5．一根铁丝长12厘米，能围成几种长和宽都是整厘米数的长方形？每种长方形的长和宽各是几厘米？围成的正方形的边长是几厘米？

6．如图8 -12所示，有一个八边形，任意相邻的两条边都互相垂直。为确定这个八边形的周长，最少需要知道其中几条边的长度？分别是哪几条？

7．在一张纸上画出由四个边长为2厘米的正方形拼凑组合成的图形，重叠的线段只算画一次。在所有的这些画法中：

(1)哪种画法画出的线段总长最长？长度为多少厘米？

(2)哪种画法画出的线段总长最短？长度为多少厘米？

8．把若干长20厘米，宽16厘米的长方形纸片按图8 -13所示方法一层、二层、三层地摆下去，共要摆十层。求摆好后图形的周长。

9.8个同样大小的小长方形拼成一个大的长方形，如图8-14所示。已知大长方形的周长是56厘米，求一个小长方形的周长。

10.图8-15(1)和(2)是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形中放入4个如图(3)所示的小长方形，斜线区域为空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米。问：哪个图中画斜线的区域的周长长？长多少厘米？

专题九 巧求面积

长方形、正方形的面积是指它们所占平面的大小。长方形和正方形面积的计算公式是：长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

在学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽，图形比较复杂，不能简单地用公式直接求出所求面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。

例1(★)如图9-1所示，计算阴影部分的面积（单位：米）。

例2(★)比较图9-2中两个阴影部分I和Ⅱ的面积，它们的大小关系是________。

例3(★)用1、2、3、4、5、7作为图9 -4(a)中的六条边长。问：这个图形的最大面积是多少？

例4(★★)长方形ABCD的周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，如图9-5。已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。

例5(★★)用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形的面积是多少平方厘米？

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