对数函数中档题(含答案)

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3.2 对数函数中档题

一.填空题(共10小题)

1.(2016?长沙校级模拟)函数y=2x+log2x在区间[1,4]上的最大值是.2.(2016?江西模拟)若函数f(x)=alog2x+blog3x+2,且,则f(2012)的

值为.

3.(2016?普陀区一模)方程的解x= .4.(2016?静安区一模)方程的解为.5.(2016?延边州模拟)已知a>0且a≠1,若函数f(x)=log a(ax2﹣2x+3)在[,2]

上是增函数,则a的取值范围是.

6.(2016?泰州二模)已知函数f(x)=log a(x+b)(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a+b的值是.

7.(2016春?高安市校级期末)若函数y=log a(﹣x2﹣ax﹣1),(a>0且a≠1)有最大值,则实数a的取值范围是.

8.(2016春?丰城市校级期末)若函数f(x)=|log a x|(0<a<1)在区间(a,3a﹣1)上单调递减,则实数a的取值范围是.

9.(2016春?宝应县期中)已知a=log0.23,b=(π﹣3)﹣1,c=2﹣1;则a,b,c从小到大排列是.(用“<”连接)

10.(2016春?桐城市校级月考)函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b﹣a的最小值为.

二.解答题(共12小题)

11.(2016?广州二模)已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣a).

(Ⅰ)当a=7时,求函数f(x)的定义域;

(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的最大值.

12.(2016春?徐州期末)已知函数f(x)=log 2.

(1)求f(x)的定义域A;

(2)若函数g(x)=3x2+6x+2在[﹣1,a](a>﹣1)内的值域为B,且A∩B=?,求实数a 的取值范围.

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13.(2016春?泉州校级期末)设a、b∈R,且a≠1,若奇函数f(x)=lg在区间(﹣

b,b)上有定义.

(1)求a的值;

(2)求b 的取值范围;

(3)求解不等式f(x)>0.

14.(2016春?宁夏校级期末)已知函数f(x)=(log2x﹣2)(log4x ﹣)

(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;

(2)若f(x)>mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.

15.(2016春?重庆校级期中)已知函数g(x)=log2(x﹣1),f(x)=log(x+1),

(1)求不等式g(x)≥f(x)的解集;

(2)在(1)的条件下求函数y=g(x)+f(x)的值域.

16.(2016春?淄博校级月考)已知函数f(x)=lg(m x﹣2x)(0<m<1).

(1)当m=时,求f(x)的定义域;

(2)试判断函数f(x)在区间(﹣∞,0)上的单调性并给出证明;

(3)若f(x)在(﹣∞,﹣1]上恒取正值,求m的取值范围.

17.(2015?天津校级模拟)对于函数f(x)=log(x2﹣ax+3),解答下列问题:

(1)若f(x)的定义域是R,求a的取值范围;

(2)若f(x)的值域是R,求a的取值范围;

(3)若f(x)在[﹣1,+∞)内上有意义,求a的取值范围;

(4)若f(x)的值域是(﹣∞,﹣1],求a的取值范围;

(5)若f(x)在(﹣∞,﹣1]内为增函数,求a的取值范围.

18.(2015?信阳模拟)已知函数f(x)=log2(2x+1)

(Ⅰ)求证:函数f(x)在(﹣∞,+∞)内单调递增;

(Ⅱ)若g(x)=log2(2x﹣1)(x>0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]上有解,求m的取值范围.

19.(2015?万州区模拟)函数f(x)=(m>0),x1,x2∈R,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=.

(1)求m的值;

(2)解不等式f(log2(x﹣1)﹣1)>f ((x﹣1)﹣).

20.(2015春?临沂校级期中)已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1﹣x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)﹣g(x).

(1)求h(x)的定义域;

(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;

(3)若a=log327+log2,求使f(x)>1成立的x的集合.

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21.(2015秋?莆田校级月考)在对数函数y=log x的图象上(如图),有A、B、C三点,

它们的横坐标依次为t、t+2、t+4,其中t≥1,

(1)设△ABC的面积为S,求S=f(t);

(2)判断函数S=f(t)的单调性;

(3)求S=f(t)的最大值.

22.(2014秋?抚顺期中)设函数f(x)=log3(9x)?log3(3x),且≤x≤9.

(1)求f(3)的值;

(2)若令t=log3x,求实数t的取值范围;

(3)将y=f(x)表示成以t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数y=f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.

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3.2 对数函数中档题

参考答案与试题解析

一.填空题(共10小题)

1.(2016?长沙校级模拟)函数y=2x+log2x在区间[1,4]上的最大值是.

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性直接求解即可.

【解答】解:∵y=2x和y=log2x在区间[1,4]上都是增函数,

∴y=2x+log2x在区间[1,4]上为增函数,

即当x=4时,函数y=2x+log2x在区间[1,4]上取得最大值y=y=24+log24=16+2=18,

故答案为:18

【点评】本题主要考查函数最值的计算,利用指数函数和对数的函数的单调性是解决本题的关键.

2.(2016?江西模拟)若函数f(x)=alog2x+blog3x+2,且,则f(2012)的值为.

【分析】利用对数的运算性质,可得,由此,即可求解f(2012)的值.【解答】解:由函数f(x)=alog2x+blog3x+2,

得f ()=alog 2+blog 3+2=﹣alog2x﹣blog3x+2=4﹣(alog2x+blog3x+2),

因此f(x)+f ()=4

再令x=2012得f(2012)+f ()=4

所以f(2012)=4﹣=﹣1,

故答案为:﹣1.

【点评】本题考查了对数的运算性质,函数的简单性质,利用互为倒数的两个自变量的函数值之间的关系,是解决本题的关键.

3.(2016?普陀区一模)方程的解x= .

【分析】化简可得4x﹣5=4(2x﹣2),从而可得(2x)2﹣4?2x+3=0,从而解得.

【解答】解:∵,

∴4x﹣5=4(2x﹣2),

即(2x)2﹣4?2x+3=0,

∴2x=1(舍去)或2x=3;

∴x=log23,

故答案为:log23.

【点评】本题考查了对数运算及幂运算的应用,同时考查了指数式与对数式的互化.

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4.(2016?静安区一模)方程的解为.【分析】利用换底公式变形,转化为一元二次方程,求解后验根得答案.

【解答】解:由方程,

得=3,

即,

∴,

∴2lg(x﹣1)=lg(x2+x﹣8).

∴(x﹣1)2=x2+x﹣8

解得:x=3.

验证当x=3时,原方程有意义,

∴原方程的解为x=3.

故答案为:x=3.

【点评】本题考查对数的运算性质,考查了对数方程的解法,关键是注意验根,是基础题.5.(2016?延边州模拟)已知a>0且a≠1,若函数f(x)=log a(ax2﹣2x+3)在[,2]上是增函数,则a的取值范围是.

【分析】对a是否大于1进行分情况讨论,利用复合函数的单调性得出二次函数在[,2]的单调性,列出不等式组解出a的范围.

【解答】解:设g(x)=ax2﹣2x+3,则g(x)的图象开口向上,对称轴为x=.

(1)若0<a<1,则g(x)在[,2]上是减函数,且g min(x)>0,

∴,解得;

(2)若a>1,则g(x)在[,2]上是增函数,且g min(x)>0,

∴,解得a≥2.

综上,a 的取值范围是(,]∪[2,+∞).

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【点评】本题考查了复合函数的单调性,对数函数,二次函数的性质,属于中档题.

6.(2016?泰州二模)已知函数f(x)=log a(x+b)(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a+b的值是.

【分析】由函数f(x)=log a(x+b)(a>0,a≠1,b∈R)的图象过(﹣3,0)点和(0,﹣2)点,构造方程组,解得答案.

【解答】解:∵函数f(x)=log a(x+b)(a>0,a≠1,b∈R)的图象过(﹣3,0)点和(0,﹣2)点,

∴,

解得:

∴a+b=,

故答案为:

【点评】本题考查的知识点是函数的图象,方程思想,难度中档.

7.(2016春?高安市校级期末)若函数y=log a(﹣x2﹣ax﹣1),(a>0且a≠1)有最大值,则实数a的取值范围是.

【分析】若函数y=log a(﹣x2﹣ax﹣1),(a>0且a≠1)有最大值,由函数y=log a t为增函数,且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正,由此构造不等式组,解得答案.

【解答】解:若函数y=log a(﹣x2﹣ax﹣1),(a>0且a≠1)有最大值,

由函数y=log a t为增函数,且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正,

即,解得:a>2,

故实数a的取值范围是:a>2.

故答案为:a>2

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,难度不大,属于基础题.

8.(2016春?丰城市校级期末)若函数f(x)=|log a x|(0<a<1)在区间(a,3a﹣1)上单调递减,则实数a的取值范围是.

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【分析】由 f(x)在(a,3a﹣1)上递减,知(a,3a﹣1)?(0,1),结合已知a的范围可求.

【解答】解:当0<x<1时,f(x)=log a x递减;当x>1时,f(x)=﹣log a x递增,

所以f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,

因为f(x)在(a,3a﹣1)上递减,所以(a,3a﹣1)?(0,1),

所以,解得a,

故答案为:a.

【点评】本题考查复合函数单调性,解决本题的关键是正确理解“f(x)在区间(a,3a﹣1)上单调递减”的含义,注意(a,3a﹣1)为减区间的子集.

9.(2016春?宝应县期中)已知a=log0.23,b=(π﹣3)﹣1,c=2﹣1;则a,b,c从小到大排列是.(用“<”连接)

【分析】由于a=log0.23<0,b=(π﹣3)﹣1>1,c=2﹣1=,即可得出大小关系.

【解答】解:∵a=log0.23<0,b=(π﹣3)﹣1>1,c=2﹣1=,

∴a<c<b,

故答案为:a<c<b.

【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

10.(2016春?桐城市校级月考)函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b﹣a的最小值为.

【分析】先画出函数图象,再数形结合得到a、b的范围,最后计算b﹣a的最小值即可【解答】解:函数f(x)=|log3x|的图象如图

而f ()=f(3)=1

由图可知a∈[,1],b∈[1,3]

b﹣a的最小值为a=,b=1时,即b﹣a=

故答案为

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【点评】本题考查了数形结合解决函数问题的方法,解题时要准确画图,精确分析,善于用形解决代数问题

二.解答题(共12小题)

11.(2016?广州二模)已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣a).

(Ⅰ)当a=7时,求函数f(x)的定义域;

(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的最大值.

【分析】(Ⅰ)a=7时便可得出x满足:|x+1|+|x﹣2|>7,讨论x,从而去掉绝对值符号,这样便可求出每种情况x的范围,求并集即可得出函数f(x)的定义域;

(Ⅱ)由f(x)≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立,而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3,这样便可得出3≥a+8,解出该不等式即可得出实数a的最大值.

【解答】解:(Ⅰ)由题设知:|x+1|+|x﹣2|>7;

①当x>2时,得x+1+x﹣2>7,解得x>4;

②当1≤x≤2时,得x+1+2﹣x>7,无解;

③当x<﹣1时,得﹣x﹣1﹣x+2>7,解得x<﹣3;

∴函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞);

(Ⅱ)解:不等式f(x)≥3,即|x+1|+|x﹣2|≥a+8;

∵x∈R时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3;

又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R;

∴a+8≤3,即a≤﹣5;

∴a的最大值为﹣5.

【点评】本题考查对数的真数大于0,函数定义域的定义及求法,不等式的性质,以及含绝对值不等式的解法,恒成立问题的处理方法.

12.(2016春?徐州期末)已知函数f(x)=log 2.

(1)求f(x)的定义域A;

(2)若函数g(x)=3x2+6x+2在[﹣1,a](a>﹣1)内的值域为B,且A∩B=?,求实数a 的取值范围.

【分析】(1)通过对数定义域求得f(x)定义域

(2)根据g(x)单调性,求g(x)的值域,并计算两集合关系

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Word 完美格式 【解答】解:(1)由题知

,即(2x ﹣1)(x+2)>0,所以定义域A= (2)g (x )的轴为x=﹣1,∴g (x )在[﹣1,a]上单调递增,∴B=[﹣1,3a 2

+6a+2],由A∩B=?,得,解得 【点评】本题考查了对数函数定义域及二次函数值域的求法

13.(2016春?泉州校级期末)设a 、b ∈R ,且a ≠1,若奇函数f (x )=lg

在区间(﹣b ,b )上有定义.

(1)求a 的值;

(2)求b 的取值范围;

(3)求解不等式f (x )>0.

【分析】(1)根据f (x )为奇函数便可得出

,这样便可得出1﹣a 2x 2=1﹣x 2,从而有a 2=1,再根据a ≠1即可得出a 的值;

(2)求出a 便得出

,从而可求出该函数的定义域,进而求出b 的取值范围; (3)由f (x )>0即可得出

,这样便可建立关于x 的不等式,解不等式即可得出原不等式的解集.

【解答】解:(1)f (x )为奇函数;

∴f (﹣x )=﹣f (x ),即

; 即,整理得:1﹣a 2x 2=1﹣x 2; ∴a=±1;

又a ≠1,故a=﹣1;

(2)f (x )=lg 的定义域是(﹣1,1);

∴0<b ≤1;

∴b 的取值范围为(0,1];

(3)f (x )=

; ∴; 解得﹣1<x <0;

∴原不等式的解集为(﹣1,0).

【点评】考查奇函数的定义,多项式相等的充要条件,对数的真数满足大于0,以及对数函数的单调性,分式不等式的解法.

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14.(2016春?宁夏校级期末)已知函数f(x)=(log2x﹣2)(log4x ﹣)

(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;

(2)若f(x)>mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.

【分析】(1)f(x)=(log2x﹣2)(log4x ﹣)=(log2x)2﹣log2x+1,2≤x≤4,令

t=log2x,则y=t2﹣t+1=(t ﹣)2﹣,由此能求出函数的值域.

(2)令t=log2x ,得t2﹣t+1>mt对于2≤t≤4恒成立,从而得到m <t+﹣对于t

∈[2,4]恒成立,构造函数g(t)=t+﹣,t∈[2,4],能求出m的取值范围.

【解答】解:(1)f(x)=(log2x﹣2)(log4x ﹣)

=(log2x)2﹣log2x+1,2≤x≤4

令t=log2x,则y=t2﹣t+1=(t ﹣)2﹣,

∵2≤x≤4,

∴1≤t≤2.

当t=时,y min=﹣,当t=1,或t=2时,y max=0.

∴函数的值域是[﹣,0].

(2)令t=log2x ,得t2﹣t+1>mt对于2≤t≤4恒成立.

∴m <t+﹣对于t∈[2,4]恒成立,

设g(t)=t+﹣,t∈[2,4],

∴g(t)=t+﹣=(t+)﹣,

∵g(t)=t+﹣在[2,4]上为增函数,

∴当t=2时,g(t)min=g(2)=0,

∴m<0.

【点评】本题考查函数的值域的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.

15.(2016春?重庆校级期中)已知函数g(x)=log2(x﹣1),f(x)=log(x+1),

(1)求不等式g(x)≥f(x)的解集;

(2)在(1)的条件下求函数y=g(x)+f(x)的值域.

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【分析】(1)由对数函数的单调性和换底公式,可得x﹣1≥>0,由不等式的解法,即

可得到所求解集;

(2)由复合函数的单调性:同增异减,求得函数y在[,+∞)为增函数,即可得到所求值域.

【解答】解:(1)由g(x)≥f(x)得log2(x﹣1)≥log(x+1),

即为x﹣1≥>0,

有x ≥或x ≤﹣,且x+1>0,x﹣1>0,

则不等式g(x)≥f(x)的解集为{x|x ≥};

(2)y=g(x)+f(x)=log2(x﹣1)﹣log2(x+1)=log 2,

由y=log2(1﹣),由t=1﹣在(1,+∞)递增,y=log2t在(0,+∞)递增,

可得函数y=log 2在[,+∞)为增函数,

则x=时,y取得最小值log2(3﹣2),

且t<1,可得y=log2t<0,

即有函数y=g(x)+f(x)的值域为[log2(3﹣2),0).

【点评】本题考查对数函数的单调性的运用,以及复合函数的单调性:同增异减,考查不等式的解法,属于中档题

16.(2016春?淄博校级月考)已知函数f(x)=lg(m x﹣2x)(0<m<1).

(1)当m=时,求f(x)的定义域;

(2)试判断函数f(x)在区间(﹣∞,0)上的单调性并给出证明;

(3)若f(x)在(﹣∞,﹣1]上恒取正值,求m的取值范围.

【分析】(1)须()x﹣2x>0,即2﹣x>2x,根据单调性求解即可

(2)利用函数单调性判断即可

(3)利用函数的单调性得出,f(x)在(﹣∞,﹣1]上的最小值为f(﹣1)=lg(m﹣1﹣2﹣1),所以要使f(x)在(﹣∞,﹣1]上恒取正值,只需f(﹣1)=lg(m﹣1﹣2﹣1)>0

【解答】解:(1)当m=时,要使f(x )有意义,须()x﹣2x>0,即2﹣x>2x,

可得:﹣x>x,∴x<0

∴函数f(x)的定义域为{x|x<0}.

(2)设x2<0,x1<0,且x2>x1,则△=x2﹣x1>0

令g(x)=m x﹣2x,

则g(x2)﹣g(x1)=m x2﹣2x2﹣m x1+2x1

=m x2﹣m x1+2x1﹣2x2

∵0<m<1,x1<x2<0,

∴m x2﹣m x1<0,2x1﹣2x2<0

g(x2)﹣g(x1)<0,∴g(x2)<g(x1)

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∴lg[g(x2)]<lg[g(x1)],

∴△y=lg(g(x2))﹣lg(g(x1))<0,

∴f(x)在(﹣∞,0)上是减函数.

(3)由(2)知:f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,

∴f(x)在(﹣∞,﹣1]上也为减函数,

∴f(x)在(﹣∞,﹣1]上的最小值为f(﹣1)=lg(m﹣1﹣2﹣1)

所以要使f(x)在(﹣∞,﹣1]上恒取正值,

只需f(﹣1)=lg(m﹣1﹣2﹣1)>0,

即m﹣1﹣2﹣1>1,∴>1+=,

∵0<m<1,∴0<m <.

【点评】本题综合考查了函数的单调性,运用转化出不等式求解问题,属于中档题,但是难度不大.

17.(2015?天津校级模拟)对于函数f(x)=log(x2﹣ax+3),解答下列问题:

(1)若f(x)的定义域是R,求a的取值范围;

(2)若f(x)的值域是R,求a的取值范围;

(3)若f(x)在[﹣1,+∞)内上有意义,求a的取值范围;

(4)若f(x)的值域是(﹣∞,﹣1],求a的取值范围;

(5)若f(x)在(﹣∞,﹣1]内为增函数,求a的取值范围.

【分析】(1)转化为x2﹣ax+3>0在R上恒成立,利用二次函数性质求解即可.

(2)判断得出y=x2﹣ax+3的图象不能在x轴上方,即△=a2﹣12≥0求解.

(3)转化x2﹣ax+3>0在[﹣1,+∞)上恒成立,根据二次函数性质得出△<0或.(4)利用复合函数性质得出:y=x2﹣ax+3的值域为[2,+∞),最小值=2,

求解即可.

(5)根据复合函数的单调性得出y=x2﹣ax+3在(﹣∞,﹣1]内为减函数,且x2﹣ax+3>0在(﹣∞,﹣1]恒成立.再利用二次函数性质求解即可.

【解答】解:对于函数f(x)=log(x2﹣ax+3),

(1)∵f(x)的定义域是R,

∴x2﹣ax+3>0在R上恒成立,

即△=a2﹣12<0,

得:a∈(﹣2,2)

(2)∵f(x)的值域是R,

∴y=x2﹣ax+3的图象不能在x轴上方,

即△=a2﹣12≥0,得:a∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

(3)∵f(x)在[﹣1,+∞)内上有意义,

∴x2﹣ax+3>0在[﹣1,+∞)上恒成立,

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. .

Word 完美格式 即△<0或

得a ∈(﹣2,2)∪(﹣4,﹣2),

(4)∵f (x )的值域是(﹣∞,﹣1],

∴y=x 2

﹣ax+3的值域为[2,+∞),

=2,即a=±2,

故a 的取值范围:a=﹣2或a=2

(5)∵f (x )在(﹣∞,﹣1]内为增函数,

∴y=x 2﹣ax+3在(﹣∞,﹣1]内为减函数,且x 2﹣ax+3>0在(﹣∞,﹣1]恒成立. ∴即a ≥﹣2.

【点评】本题结合对数函数的单调性,复合函数的单调性的应用与二次函数及对数函数的性质,还考查了二次函数在区间上单调,但不要忽略了函数的定义域,

18.(2015?信阳模拟)已知函数f (x )=log 2(2x +1)

(Ⅰ)求证:函数f (x )在(﹣∞,+∞)内单调递增;

(Ⅱ)若g (x )=log 2(2x ﹣1)(x >0),且关于x 的方程g (x )=m+f (x )在[1,2]上有解,求m 的取值范围.

【分析】(1)根据定义对函数的单调性判断证明.

(2)转化为m=g (x )﹣f (x )值域求解范围.

【解答】解:(1)∵函数f (x )=log 2(2x +1),

任取x 1<x 2,则f (x 1)﹣f (x 2)=log 2(2x+1+1)﹣log 2(

+1)=log 2,

∵x 1<x 2,

∴0<<1, ∴log 2<0,

∴f (x 1)<f (x 2),

∴函数f (x )在(﹣∞,+∞)内单调递增;

(2)∵g (x )=m+f (x ),

∴m=g (x )﹣f (x )=log 2(2x ﹣1)﹣log 2(2x +1)=log 2

=log 2(1﹣), ∵1≤x ≤2,∴2≤2x ≤4,

. .

Word 完美格式 ∴log 2≤log 2(1﹣)≤log 2,

故m 的取值范围.[log 2,log 2].

【点评】本题综合考查了指数函数,对数函数的单调性,函数的定义,不等式,方程与函数的关系,属于中档题.

19.(2015?万州区模拟)函数f (x )=

(m >0),x 1,x 2∈R ,当x 1+x 2=1时,f (x 1)

+f (x 2)=.

(1)求m 的值;

(2)解不等式f (log 2(x ﹣1)﹣1)>f ((x ﹣1)﹣). 【分析】(1)由得,代入x 1+x 2=1

化简可得

或2﹣m=0;从而解m ;

(2)由(1)知f (x )在(﹣∞,+

∞)上为减函数,故不等式

可化为

,从而解得.

【解答】解:(1)由得,, ∴

, ∵x 1+x 2=1, ∴

, ∴

或2﹣m=0; ∵

, 而m >0时2﹣m <2, ∴

, ∴m=2.

. .

Word 完美格式 (2)由(1)知f (x )在(﹣∞,+∞)上为减函数, 由得,

, ∴, ∴不等式的解集为.

【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用,属于中档题.

20.(2015春?临沂校级期中)已知函数f (x )=log a (1+x ),g (x )=log a (1﹣x ),其中(a >0且a ≠1),设h (x )=f (x )﹣g (x ).

(1)求h (x )的定义域;

(2)判断h (x )的奇偶性,并说明理由;

(3)若a=log 327+log 2,求使f (x )>1成立的x 的集合.

【分析】(1)根据对数的定义得出不等式组,求解即可得出定义域.

(2)先判断定义域关于原点对称,利用定义h (﹣x )=log a (1﹣x )﹣log a (1+x )=﹣h (x ),判断即可.

(3)了;利用对数的运算得出即log 2(1+x )>log 22,再根据对数函数的单调性得出1+x >2,即可求解不等式.

【解答】解:(1)由题意得,即﹣1<x <1.

∴h (x )=f (x )﹣g (x )的定义域为(﹣1,1);

(2)∵对任意的x ∈(﹣1,1),﹣x ∈(﹣1,1)

h (﹣x )=log a (1﹣x )﹣log a (1+x )=﹣h (x ),

∴h (x )=log a (1+x )﹣log a (1﹣x )是奇函数;

(3)由a=log 327+log 2,得a=2.

f (x )=lo

g a (1+x >1,即log 2(1+x )>log 22,

∴1+x >2,即x >1.

故使f (x )>1成立的x 的集合为{x|x >1}

【点评】本题本题考察了对数函数的概念性质,解不等式,考察了学生的化简运算能力,属于容易题.

. .

21.(2015秋?莆田校级月考)在对数函数y=log x的图象上(如图),有A、B、C三点,

它们的横坐标依次为t、t+2、t+4,其中t≥1,

(1)设△ABC的面积为S,求S=f(t);

(2)判断函数S=f(t)的单调性;

(3)求S=f(t)的最大值.

【分析】根据已知条件,A、B、C三点坐标分别为(t,log t),(t+2,log(t+2)),(t+4,log(t+4)),

对于(1)由图形得S ABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF﹣S梯形ACNE,根据面积公式代入相关数据即可得到三角形面积的表达式

(2)根据(1)中所求的表达式研究函数的单调性并进行证明即可

(3)由(2)所求的单调性求出三角形面积的最大值.

【解答】解:(1)A、B、C三点坐标分别为(t,log t),(t+2,log(t+2)),(t+4,log(t+4)),由图形,当妨令三点A,B,C在x轴上的垂足为E,F,N,则△ABC的面

积为

S ABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF﹣S梯形ACNE

=﹣[log t+log(t+2)]﹣[log(t+2)+log(t+4))]+2[log t+log(t+4))] =[log t+log(t+4)﹣2log(t+2)]==

即△ABC的面积为S=f(t)=(t≥1)

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. .

(2)f(t)=(t≥1)是复合函数,其外层是一个递增的函数,t≥1

时,内层是一个递减的函数,故复合函数是一个减函数,

(3)由(2)的结论知,函数在t=1时取到最大值,故三角形面积的最大值是

S=f(1)==

【点评】本题考查对数函数的图象和性质的综合运算,解题时要结合图象进行分析求解,注意计算能力的培养.

22.(2014秋?抚顺期中)设函数f(x)=log3(9x)?log3(3x),且≤x≤9.

(1)求f(3)的值;

(2)若令t=log3x,求实数t的取值范围;

(3)将y=f(x)表示成以t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数y=f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.

【分析】(1)根据解析式求解,(2)根据对数函数的单调性求解.(3)转化二次函数求解,g(t)=t2+3t+2,﹣2≤t≤2,

【解答】解:(1)∵函数f(x)=log3(9x)?log3(3x),且≤x≤9.

∴f(3)=log3(9×3)?log3(3×3)=3×2=6,

(2)令t=log3x,

∵f(x)=log3(9x)?log3(3x),且≤x≤9.

∴≤t(x)≤log39,

∴实数t的取值范围:﹣2≤t≤2,

(3)g(t)=t2+3t+2,﹣2≤t≤2,

对称轴t=﹣,根据二次函数的性质可得:

g ()=﹣,,x=,

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. .

g(2)=12,log3x=2,x=9

故函数y=f(x)的最大值12,x=9,最小值,x=,

【点评】本题考查了二次函数的性质,对数函数的性质,属于中档题.

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/69yl.html

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