河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）解析版

河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）

文数试题

第l卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合A??x|1?x?3?,B?x|x2?3x?0则如图所示表示集合为

A.?0,1? B.?0,3? C.(1,3) D.?1,3? 【答案】C 【分值】5分

【解析】A??x|1?x?3?,B?x|x2?3x?0??x|x?0或x?3?，?RB=?x|0?x?3?,图中阴影部分所表示的集合为(?RB )∩A=?x|1?x?3?.故选C

【解题思路】1.先求出集合A中的不等式，2.用集合表示出图中阴影部分即可得出结果。

【易错点】用集合表示出图中阴影部分容易出错。

【考查方向】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围

??阴影部分表示的

????????2. 已知向量m??a,2?,n??1,1?a?，且m?n，则实数a的值为（ ）

A．0 B．2 C．?2或1 D．?2 【答案】B 【分值】5分

??????【解析】因为m?n，所以m?n?a?2(1?a)?2?a?0，即a?2，故选B.

【解题思路】把向量垂直关系转化为数量积为零，代入坐标运算即得出结果。 【易错点】容易混淆两向量垂直与平行的坐标运算公式。

【考查方向】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算.考查考生的基本运算求解能力。 3．设复数z满足?1?i??z?1?2i(i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内（ ）

3A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分值】5分

【解析】试题分析：因为?1?i??z?1?2i，所以z?31?2i(1?2i)(1?i)31???i，即复数z对应的点1?i(1?i)(1?i)22位于复平面内第一象限，故选A.

【解题思路】先把z化为分式，再利用复数的除法法则进行计算。 【易错点】在复数的除法法则计算中，容易用错法则。

【考查方向】本题主要考查了复数的四则运算问题：1.复数相关的概念；2.复数的运算.

4．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ）

A．1 B．【答案】C 【分值】5分

【解析】甲、乙两人选择卡片的所有基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)，

111 C． D． 1642(3,1),(3,2)，(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共16个基本事件，选择同一张卡片的有4个，所以他

们选择同一张卡片的概率为P?41?,故选C. 164【解题思路】先列举出所有的基本事件；然后列举出选择同一张卡片的基本事件。 【易错点】古典概型题目列举基本事件时容易出错。 【考查方向】本题主要考查了概率中的古典概型.

x2y25．若直线l:mx?ny?4和圆O:x?y?4没有交点，则过点?m,n?的直线与椭圆??1的交点个

9422数为（ ）

A．0 B．至多有一个 C．1 D．2

【答案】D 【分值】5分

【解析】因为直线l:mx?ny?4和圆O:x?y?4没有交点，所以224m2?n2?2，即m2?n2?2，

x2y2??1内部，所以过点(m,n)的直线与椭圆有两个公共点，所以点(m,n)在圆O内，即点(m,n)在椭圆94故选D.

【解题思路】先利用直线与圆没有交点，得出m、n之间的关系m?n?2；然后判断点(m,n)与椭圆的位置关系即可求解

【易错点】1.不会处理直线与园的位置关系；2.不会处理过定点的直线与椭圆的位置关系

【考查方向】本题主要考查知识点：1.直线与圆的位置关系；2.点与圆、点与椭圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系.

22 6．在四面体S?ABC中，AB?BC,AB?BC?积是（ ）

A．86? B．6? C．24? D．6? 【答案】D 【分值】5分

【解析】因为AB?BC,AB?BC?2,SA?SC??2,SB?6，则该四面体外接球的表面

2,所以AC?SA?SB?2，设AC的中点为D，连接AD，则三

13AD?，又三角形ABC的外心为D，又33角形SAC的外心O1为在线段AD上，且DO1?SD?AC,BD?AC，所以AC?平面SDB，过D垂直于平面ABC的直线与过O1垂直于平面SAC的直

线交于点O，则O为四面体外接球的球心，在三角形SDB中，由余弦定理得cos?SDB??3，所以3?36sin?ODO1?sin(?SDB?)??cos?SDB?，所以OO1?O1D?tan?ODO1?，设外接圆半

236径为R，则R2?SO12?OO12?3，所以S?4?R2?6?，故选D. 2

【解题思路】本题关键是找出外接球的球心，先找出三角形ABC与三角形SAC的外接圆的圆心D和O1，然后求解三角形SDB，先解出cos?SDB??3，然后利用OD与DB垂直，求出3?3sin?ODO1?sin(?SDB?)??cos?SDB?，即可求出结果。

23【易错点】不容易找出球心位置，不会利用球心与三角形外心连线与截面垂直的性质。

【考查方向】本题主要考查的知识点为：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.

7．已知?an?为等差数列，Sn为其前n项和，公差为d，若A．

S2017S17??100，则d的值为（ ） 20171711 B． C．10 D．20 2010【答案】B 【分值】5分

n(n?1)dSn(n?1)2【解析】试题分析：因为??a1?d，所以

nn2S2017S172017?117?11??a1?d?(a1?d)?1000d?100，所以d?，故选B. 2017172210S【解题思路】利用n为等差数列这个性质即可求解。

nS【易错点】对n为等差数列这个性质不了解，无法利用性质求解。

n【考查方向】本题主要考查了等差数列的前n项和公式与性质.

na1?8．若函数f?x??Asin??x????A?0?的部分图象如图所示，则关于f?x?的描述中正确的是（ ）

A．f?x?在???5?????5?,?上是减函数 B．f?x?在?,?1212??36?5?????5?,?上是增函数 D．f?x?在?,?1212??36??上是减函数 ???上是增减函数 ?C．f?x?在??【答案】C 【分值】5分

【解析】由图象可知，A?2,T?2[??2??(?)]??，所以???2，这时f(x)?2sin(2x??)，又因36T?(?)36??时，f(x)有最大值，即f(?)?2sin(2????)?2，所以sin(???)?1，所为当x?21212126以

???6????2,???3，即f(x)?2sin(2x???5???,?上是增函数,)，由正弦函数的性质可知f?x?在??1212?3?故选C.

【解题思路】根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A，再根据周期确定?，由最高点的

值或最低点的值确定?，求出解析式后再研究函数相关性质

【易错点】求?时，要由最高点的值或最低点的值确定?，在由零点的值确定?时，容易出错错误，注意上升阶段的零点与下降阶段的零点的区别。

【考查方向】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题. 9．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是

23，则（ ） 12

A．a?13 B．a?12 C．a?11 D．a?10 【答案】C 【分值】5分

【解析】该程序框图逆反心理表示的算法功能为

S?1?由2?111111111111， ?????1?1??????????2?1?22?33?4k?(k?1)22334kk?1k?1123?提，k?11，这时运行程序得k?11?1?12，所以a?11符合题意，故选C. k?112【解题思路】利用S?1?111123求出a的值。 ?????1?22?33?4k?(k?1)12【易错点】在条件k>a的判断中，关键是最后一次循序的判断容易出错。

【考查方向】本题主要考查含有当型循环结构的程序框图等基础知识，意在考查考生转化和划归能力、运算求解能力，难度中等。

1312ax?ax?2ax?2a?1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ） 32411A．??a?? B．?1?a??

33263C．?2?a?0 D．??a??

51610．函数f?x??【答案】D 【分值】5分

【解析】f??x??ax?ax?2a?a(x?2)(x?1),由f?(x)?0得x??2或x?1，所以函数f(x)的两个极

2

1312ax?ax?2ax?2a?1的图象经过四个象限的3263一个充分必要条件是f(?2)f(?1)?0???a??,故选D.

516值点为?2和1，所以函数f?x??【解题思路】先求出两个零点x??2或x?1，利用图像要经过四个象限，只需要f(?2)f(?1)?0即可。 【易错点】1.注意充分条件与必要条件的区别；2.不能分析图像得出f(?2)f(?1)?0。 【考查方向】1.导数与函数的单调性、极值；2.函数的图象与性质.

11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．

113104107 B．35 C． D． 334【答案】C 【分值】5分

【解析】上三视图可知，该几何体为下面的多面体ABCDEF，其体积可分割为三棱柱EGH?FG1H1与两个四棱锥F?AG1H1D、E?GBCH的体积，所以多面体的体积V?故选C.

FE11104，?4?4?3?2??2?2?4?233DAH1HCG1GB

【解题思路】首先由三视图回溯几何体，然后把几何体分割为一个三棱柱与两个四棱锥。

【易错点】由三视图回溯几何体的原型是一个难点，也是一个易错点，解决此类问题应当先从俯视图入手，结合另两个视图综合想象原直观图的组合关系。

【考查方向】本题主要考查了三视图及其对应的几何体的体积计算问题，体现了空间想象能力的实际应用。

??log5?1?x??x?1?12．已知函数f?x???，则关于x的方程2????x?2??2?x?1?为（ ）

1??f?x??2??a，当1?a?2时实根个数

x?? A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分值】5分

【解析】试题分析：令t?x?1?2，则x1??f?x??2??a转化为f(t)?a，在直角坐标系内作出函数

x??y?f(x)与函数y?a的图象，由图象可知，当1?a?2时，f(t)?a有三个根t1,t2,t3，其中

?24?t1??4,1?t2?2,2?t3?3，由x?故选B.

111?2?t1,x??2?t2,x??2?t3,得x共有6个不同的解，xxx

【解题思路】先用换元法令t?x?得出x的值的个数。 【易错点】在由t?x?11即得f(t)?a，利用（fx）的图像先得出t的值，再利用t?x??2?2，xx1?2判断交点个数时，没有注意到t的取值范围导致错误。 x【考点】函数与方程.

【考查方向】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点?2,?1?，则它的离心率为 ．

【答案】5 2【分值】5分

【解析】因为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点?2,?1?，所以?1??b?2，即a a?2b,c?a2?b2?5b，所以e?c5?. a2bx即可求解。 a【解题思路】将点?2,?1?代入渐近线方程y??【易错点】在求解椭圆与双曲线的相关题目时，对于a、b、c之间的关系式：椭圆中a2?b2?c2，双曲线中c2?a2?b2，两个公式容易混淆。

【考查方向】本题主要考查双曲线的几何性质；

14．曲线f?x??x?3x?2lnx在x?1处的切线方程为 ．

2【答案】x?y?3?0 【分值】5分

【解析】f?1??1?3?2ln1??2，f??x??2x?3?22，f??1??2?3?2?1，所以切线方程为xy?2?x?1即x?y?3?0.

【解题思路】利用导数求出f（x）在x=1处的切线斜率即可求出切线方程。 【易错点】曲线在某点处的切线与过某点的切线容易混淆。 【考查方向】本题主要考查了导数的几何意义.

15．某大型家电商场为了使每月销售A和B两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的A和B进行了相关调查，得出下表：

如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为 元． 【答案】960 【分值】5分

?300x?200y?3000?50x?100y?1100?【解析】设月销售A产品x台，B产品y台，则?，利润z?60x?80y，在直角坐标

x?0???y?0系中作出可行域，由图可知当目标函数经过可行域内的点B(4,9)时，利润的最大值，最大值为

z?60?4?80?9?960.

【解题思路】根据题意列出目标函数的线性约束条件，根据约束条件画出图像，利用线性规划的相关知识即可求解。

【易错点】线性规划问题容易把目标函数所表示的直线斜率画错，导致最优解错误。

【考查方向】本题考查线性规划，属中题；线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.

16．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出1行；

现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．

【答案】194 【分值】5分

【解析】则题意可知，前19行共有

1?19所第20行从左到右的数字依次191,192,193,194,?，?19?190，

2所以第4个数为194.

【解题思路】先由图表总结出数字规律：行数就等于这一行的数字个数，且奇数行从右向左排，偶数行从左向右排，然后求出前19行数字的个数，即可得出结果。

【易错点】不能从列表中总结出其中的规律；奇数行和偶数行排列顺序容易出错。

【考查方向】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知顶点在单位圆上的?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2?c2?a2?bc. （1）求角A的大小； 【答案】60?

【解析】（1）由b2?c2?a2?bc得b2?c2?a2?bc，

b2?c2?a21故cosA??

2bc2又∵0?A?? ∴A?60?

【解题思路】由b2?c2?a2?bc得b2?c2?a2?bc代入余弦定理即可求出角A。

【易错点】在利用正弦定理与余弦定理求角时，注意角的范围，用正弦定理时要注意一解两解的判断。

【考查方向】本题考查正、余弦定理的应用，容易题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷． （2）若b?c?4,求?ABC的面积.

22【答案】3 4a?2得a?2sinA?3 sinA【解析】由

由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA 即

??321?b2?c2?2bccos60?，即3?4?2bc?∴bc?1

2∴S?ABC?113. bcsinA??1?sin60??224【解题思路】由正弦定理先求出边a，再由余弦定理可求出bc，代入三角形面积公式即可.

【易错点】对于正弦定理与余弦定理的选择容易混淆。如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

【考查方向】本题考查正、余弦定理的应用，容易题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．

18．（12分）如图，三棱柱ABC?A1B1C1中,CA?CB,AB?AA1,?BAA1?60?.

（1）证明:AB?AC； 1【答案】见解析

【解析】证明：如图，取AB的中点O，连结OC,OA1,A1B．因为CA?CB，所以OC?AB． 由于AB?AA1，?BAA1?60，故?AA1B为等边三角形， 所以OA1?AB．

因为OC?OA1?0，所以AB?平面OAC. 1又A1C?平面OAC，故AB?AC. 11?

【解题思路】欲证AB?AC，可构造过AC取AB的中点O,构造平面OAC，11的一个平面与AB垂直即可，1证明AB?平面OAC即可； 1【易错点】不能构造过AC1的一个平面与AB垂直是关键； 【考查方向】本题主要考查的知识点为线面垂直的判定与性质。

?（2）若AB?CB?2,AC1【答案】 3

6,求三棱住ABC?A1B1C1的体积.

【解析】由题设知?ABC与?AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC?OA1?3．又AC?6，则A1C2?OC2?OA1，故OA1?OC. 12因为OC?AB?0，所以OA1?平面ABC,OA1为三棱柱ABC?A1B1C1的高． 又?ABC的面积S?ABC?3.

故三棱柱ABC?A1B1C1的体积V?S?ABC?OA1?3?3?3．

【解题思路】由题设知?ABC与?AA1B都是边长为2的等边三角形,只要证OA1?平面ABC,即可求三棱柱的体积.

【易错点】三棱柱的高容易求解错误。

【考查方向】本题主要考查的知识点为多面体的表面积与体积. 19．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出

未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市1盒该产品获利润50元；

场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100?x?200）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的中位数； 【答案】

460； 3【解析】由频率直方图得：需求量为?100,120?的频率=0.05?20?0.1，

需求量为?120,140?的频率=0.01?20?0.2，需求量为[140,160）的频率=0.015?20?0.3， 则中位数x?140?2460 ?20?331时对应的横坐标即为中位数的值； 2【解题思路】频率分布直方图中从左到右面积之和为

【易错点】容易混淆中位数、众数、平均数这几个概念。

【考查方向】本题主要考查了中位数、众数、平均数中的中位数，中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列,处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数,注意：和众数不同,中位数不一定在这组数据中）.

（2）将y表示为x的函数；

【答案】y???80x?4800,100?x?160；

?8000,160?x?200【解析】因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，

y?50x?30??160?x??80x?4800所以当100?x?160时，，

当160?x?200时，y?160?50?8000

?80x?4800,100?x?160y???8000,160?x?200所以.

【解题思路】每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，分需求量大于160与需求量在[100,160]之间分别求其利润即可列出函数关系式； 【易错点】容易对漏掉对x进行讨论导致错误；

【考查方向】本题主要考查分段函数的相关知识。

（3）根据直方图估计利润不少于4800元的概率. 【答案】p?0.9

【解析】因为利润不少于4800元，所以80x?4800?4800，解得x?120, 所以由（1）知利润不少于4800元的概率p?1?0.1?0.9.

【解题思路】由80x?4800?4800，解得x?120,由频率分布表可知，利润在100?x?120之间的概率为0.1，由对立事件即可求概率.

【易错点】求解频率分布直方图题目时注意纵坐标为

频率，容易当作频率，每个小矩形面积表示频率。 组距【考查方向】本题主要考查的相关知识为：1.频率分布直方图；2.对立事件的概率.

220．（12分）在平面直角坐标系xOy中,过点C?2,0?的直线与抛物线y?4x相交于A,B两

点,A?x1,y1?,B?x2,y2?. （1）求证:y1y2为定值； 【答案】见解析；

【解析】（解法1）当直线AB垂直于x轴时，y1?22,y2??22, 因此y1y2??8（定值）,

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y?k(x?2)

由??y?k(x?2)2得ky?4y?8k?0 2?y?4x?y1y2??8因此有y1y2??8为定值

（解法2）设直线AB的方程为my?x?2

由??my?x?22得y?4my?8?0 ?y1y2??8 2?y?4x因此有y1y2??8为定值. （Ⅱ）设存在直线

l：x?a满足条件，则

AC的中点E(x1?2y1,)，AC?(x1?2)2?y12 2211122AC?(x1?2)2?y1?x1?4 222因此以AC为直径的圆的半径r?又E点到直线x?a的距离d?|x1?2?a| 212x?2(x1?4)?(1?a)2 42所以所截弦长为2r?d222?2?x1?4?(x1?2?2a)2??4(1?a)x1?8a?4a2

当1?a?0即a?1时，弦长为定值2，这时直线方程为x?1.

【解题思路】设出过点C?2,0?的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x，由根与系数关系可得

y1y2??8为定值；

【易错点】容易遗漏当直线AB垂直于x轴时的情况的讨论，可设直线AB的方程为my?x?2此种设法可以避免讨论直线AB垂直于x轴时的情况。

【考查方向】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，重点考查直线方程的设法，注意直线的斜率的存在性的讨论分析。

（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.

【答案】存在平行于y轴的定直线x?1被以AC为直径的圆截得的弦长为定值. 【解析】（Ⅱ）设存在直线

l：x?a满足条件，则

AC的中点E(x1?2y1,)，AC?(x1?2)2?y12 2211122AC?(x1?2)2?y1?x1?4 222因此以AC为直径的圆的半径r?又E点到直线x?a的距离d?|x1?2?a| 212x?2(x1?4)?(1?a)2 42所以所截弦长为2r?d222?2?x1?4?(x1?2?2a)2??4(1?a)x1?8a?4a2

当1?a?0即a?1时，弦长为定值2，这时直线方程为x?1.

【解题思路】先设存在直线：x?a满足条件，求出以AC为直径的圆的圆心坐标和l半径，利用勾股定理求出弦长表达式2r?d?弦长为定值.

【易错点】考生不会分析弦长表达式2r?d?2222?4(1?a)x1?8a?4a2，由表达式可知，当a?1时，

?4(1?a)x1?8a?4a2得不出a=1.

【考查方向】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

21．（12分）已知函数f?x??ax?bx?lnx?a,b?R?.

2（1）当a??1,b?3时,求函数f?x?在?,2?上的最大值和最小值；

2【答案】f(x)的最大值为2，f(x)的最小值为2?ln2；

【解析】（1）当a??1,b?3时，f?x???x?3x?lnx，且x??,2?，

22?1???

?1???2x?1??x?1??12x2?3x?1?f?x???2x?3?????．

xxx1?x?1；由f?(x)?0，得1?x?2， 21所以函数f(x)在(,1)上单调递增；函数f(x)在(1,2)上单调递减，

2由f?(x)?0，得

所以函数f?x?在区间?,2?仅有极大值点x?1，故这个极大值点也是最大值点，

2?1???

故函数在?,2?上的最大值是f?1??2，

2又f?2??f??1???3?1??5?3?2?ln2??ln2??2ln2??ln4?0， ?????4?2??4?4?1??1?，故函数在,2?上的最小值为f?2??2?ln2． ???2??2?2故f?2??f?【解题思路】当a??1,b?3时，f?x???x?3x?lnx，且x??,2?，f??x???2论函数在区间?,2?上的单调性与极值，与两端点值比较即可求其最大值与最小值；

2

?1????2x?1??x?1?,讨

x?1???

【易错点】函数求导容易出现错误；f(x)在(,1)上单调递增；函数f(x)在(1,2)上单调递减，求最大值时容易和有对称轴的题目混淆，利用到极值点1的远近判断最值出现错误。

【考查方向】本题主要考查了导数的运算，利用导数求函数的单调区间、极值、最值。

（2）设a?0,且对于任意的x?0,f?x??f?1?,试比较lna与?2b的大小. 【答案】lna??2b；

【解析】由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，

1212ax2?bx?1又f(x)?2ax?b??

xx'设f(x)?0的两个根为x1,x2，则x1x2??不妨设x1?0,x2?0，

'1?0 2a则f(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,??)单调递增，故f(x)?f(x2)， 又f(x)?f(1)，所以x2?1，即2a?b?12，即b?1?2a 令g?x??2?4x?lnx，则g'?x??当0?x?1?4x1令g'?x??0，得x?, x41?1?时，g'?x??0,g?x?在?0,?上单调递增； 4?4?当x

11??）上单调递减； ?x时，g'?x??0,g?x?在（，44因为g?x??g??1???1?ln4?0 ?4? 故g?a??0，即2?4a?lna?2b?lna?0，即lna??2b.

【解题思路】因为x?0,f?x??f?1?，所以f(x)的最小值为f(1),设f?(x)?0的两个根为x1,x2，则

x1x2??1?0,不妨设x1?0,x2?0，则x2?1，所以有即b?1?2a，令g?x??2?4x?lnx,求导讨2a论函数g(x)的单调性可得g?x??g??1???1?ln4?0，即g(a)?0，可证结论成立. 4??【易错点】利用导数证明不等式的题目对学生的逻辑思维能力及转化的能力及学生的运算能力要求较高，

难度较大。

【考查方向】本题主要考查了利用导数证明不等式等考查了学生的逻辑思维能力及转化的能力，同时考查学生的运算能力。

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,A,B,C,D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.

（1）若

EC1ED1DC的值； ?,?,求

EB3EA2AB【答案】6; 6【解析】解：因为A,B,C,D四点共圆；??EDC??BEF,又

??DEC??BEA,??ECD??EAB,?EC1ED1CD6ECEDDC?,?,?,又?. ??EB3EA2AB6EAEBAB

【解题思路】由圆的知识及已知先证?ECD??EAB，所以有可求出

ECEDDCEC1ED1，又???,?，

EAEBABEB3EA2CD； AB

【易错点】两组相似三角形?ECD??EAB、?FAE??FEB不容易得出。 【考查方向】本题主要考查了圆的几何性质、三角形相似、圆的性质与应用.结合图形和圆的几何性质求解，考查了数形结合能力和逻辑推理能力。 （2）若EF2?FA?FB,证明:EF?CD. 【答案】见解析.

【解析】?EF2?FA?FB,?EFFB,又??EFA??BFE,??FAE??FEB??FEA??FBE, ?FAEF又因为A,B,C,D四点共圆；??EDC??EBF??FEA??EDC?EF?CD.

【解题思路】欲证EF?CD，证?FEA??EDC即可，由已知先证?FAE??FEB由此可得

?FEA??FBE，又由圆的性质得?EDC??EBF，即可证?FEA??EDC.

【易错点】两组相似三角形?ECD??EAB、?FAE??FEB不容易得出。 【考查方向】本题主要考查了圆的几何性质、三角形相似、圆的性质与应用.结合图形和圆的几何性质求解，考查了数形结合能力和逻辑推理能力。

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线方程为:

l的参数

?3x??1?t??2(t为参数）,曲线C的极坐标方程为:??4cos?. ??y?1t??2（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线

2l的普通方程;

【答案】曲线C的直角坐标方程为?x?2??y2?4,l的普通方程为x-3y+1?0;

【解析】???4cos?,???4cos?,由??x?y,?cos??x,得x?y?4x,

222222 ?3x??1?t?2?22所以曲线C的直角坐标方程为?x?2??y?4,由?,消去?y?1t??2x-3y+1?0.所以直线l的普通方程为x-3y+1?0.

t解得：

【解题思路】在极坐标方程两边同乘以?，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程，消去参数即可求出直线的普通方程； l【易错点】参数方程、普通方程和极坐标方程之间的转化容易出现错误。

【考查方向】本题主要考查的知识点为：1.极坐标与直角坐标的互化；2.参数方程与普通方程的互化；能力：三种方程转化的过程中考查了运算求解能力和问题的转化能力。 （2）设直线【答案】7.

l与曲线C相交于P,Q两点,求PQ的值.

?3x??1?t??2代入x2?y2?4x,整理得t2?33t?5?0, 【解析】把 ??y?1t??2设其两根分别为t1,t2，则t1?t2?33,t1t2?5,?PQ?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2?7.

【解题思路】将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由直线参数的几何意义与根与系数关系即可求

PQ.

【易错点】参数方程、普通方程和极坐标方程之间的转化容易出现错误。

【考查方向】本题主要考查的知识点为：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义.能力：三种方程转化的过程中考查了运算求解能力和问题的转化能力。 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??2x?a?2x?3,g?x??x?1?2. （1）解不等式g?x??5； 【答案】?x|?2?x?4?；

【解析】由x?1?2?5得?5?x?1?2?5，?x?1?3，解得?2?x?4． 所以原不等式的解集为?x|?2?x?4?.

【解题思路】g?x??5?x?1?2?5??5?x?1?2?5?x?1?3???3?x?1?3,解这即可；

【易错点】本题目比较简单，注意绝对值不等式的基本解法，此题含有两个绝对值。 【考查方向】本题主要考查了含绝对值不等式的解法。

（2）若对任意x1?R,都有x2?R,使得f?x1??g?x2?成立,求实数a的取值范围. 【答案】???,?5????1,???; 【解析】因为对任意所以

x1?R，都有x2?R，使得f?x1??g?x2?成立

?y|y?f?x????y|y?g?x??，

有f(x)?2x?a?2x?3??2x?a???2x?3??a?3，当且仅当?2x?a??2x?3??0时,取等号,g?x??x?1?2?2,所以a?3?2从而a??1或a??5.所以实数a的取值范围

???,?5????1,???.

【解题思路】任意x1?R，都有x2?R，使得f?x1??g?x2?成立等价于y|y?f?x??y|y?g?x?，分别求函数f(x)与g(x)的值域即可.

【易错点】两个函数值域的包含关系容易出错，这是这道题的关键。

【考查方向】本题主要考查了含绝对值不等式的解法、含绝对值函数值域的求法.能力：利用绝对值的代数意义化简函数式，考查了转化思想。

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