第八章 回归方程的函数形式

第八章 回归方程的函数形式

回忆参数线性模型和变量线性模型（见5.4）。我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X一定是线性的。

在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。 我们将特别讨论下面几种形式的回归模型： (1) 对数线性模型(不变弹性模型) (2) 半对数模型。 (3) 双曲函数模型。 (4) 多项式回归模型。

上述模型的都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。

8.1 三变量线性回归模型

以糖炒栗子需求为例，现在考虑如下需求函数：

Y =

AXiB2 ( 8 - 1 )

此处变量Xi是非线性的。但可将式( 8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式： lnYi= lnA+B2lnXi ( 8 - 2 )

其中，ln表示自然对数，即以e为底的对数；令 B1= lnA ( 8 - 3 )

可以将式( 8 - 2 )写为：

lnYi = B1 + B2lnXi ( 8 - 4 )

加入随机误差项，可将模型( 8 - 4 )写为：

lnYi = B1+B2lnXi+ui ( 8 - 5 )

( 8 - 5 )是一个线性模型，因为参数B1和B2是以线性形式进入模型的；形如式( 8 - 5 )的模型称为双对数模型或对数-线性( log-linear )模型。

一个非线性模型可以通过适当的变换转变为线性(参数之间)模型的： 令 Yi* = lnYi ,

Xi* = lnXi 则( 8 - 5 )可写为：

Yi* = B1 + B2 Xi* + ui ( 8 - 6 )

这与前面讨论的模型相似：它不仅是参数线性的，而且变形后的变量Y*与X*之间也是线性的。

如果模型( 8 - 6 )满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法来估计它，得到的估计量是最优线性无偏估计量。

双对数模型(对数线性模型)的应用非常广泛，原因在于它有一个特性：

斜率B2度量了Y对X的弹性。如果Y代表了商品的需求量，X代表了单位价格，?Y代表

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Y的一个小的变动，?X代表X的一个小的变动（?Y/?X是dY/dX的近似），E是需求的价格弹性，定义弹性E为：

E=

?Y100/Y ?X100 / X=

?Y X ?X YY=斜率×X ( 8 - 7 )

对于变形的模型（8 - 6） B2= ?Y? ??lnY

?X? ?lnX? ?Y/Y ?Y X

??X/X ?X Y可得B2是Y对X的弹性。因为

?lnYdlnY1???YdYY

?Y?lnY?Y所以对数形式的改变量就是相对改变量：?

图8 - 1 a描绘了函数式( 8 - 1 )，图8 - 2 b是对式( 8 - 1 )做对数变形后的图形。图8 - 1 b中的直线的斜率就是价格弹性的估计值(－B2)。

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由于回归线是一条直线(Y和X都采取对数形式)，所以它的斜率(－B2)为一常数；又由于斜率等于其弹性：所以弹性为一常数—它与X的取值无关。

由于这个特殊的性质，双对数模型(对数线性模型)又称为不变弹性模型。

例8.1 对炒栗子的需求 回顾炒栗子一例的散点图，不难发现需求量和价格之间是近似线性关系的，因为并非所有的样本点都恰好落在直线上。如果用对数线性模型拟合表8-1给出的数据，情况又会怎样？

OLS回归结果如下：

ln Yi = 3.9617 - 0.2272lnXi

se = (0.0416) (0.0250) ( 8 - 8 ) t = (95.233) -(9.0880) r 2 = 0.9116

可知价格弹性约为－0.23，表明价格提高1个百分点，平均而言需求量将下降0.23个百分点。

截距值3.96表示了lnX为零时，lnY的平均值，没有什么具体的经济含义。 r2=0.9166，表示logX解释了变量logY91%的变动。

对数线性模型的假设检验

线性模型与对数线性模型的假设检验并没有什么不同。在随机误差项服从正态分布(均值为0，方差为

如果用

?22)的假定下，每一个估计的回归系数均服从正态分布。

?的无偏估计量

S2代替，则每一个估计的回归系数服从自由度为(n－k)的t

分布，其中k为包括截距在内的参数的个数。在双变量模型中，k为2，在三变量模型中，k为3，等等。

根据式( 8 - 8 )的回归结果，很容易检验每一个估计的参数在5%的显著水平下，都显著不为零，t值分别为9.08(b2)，95.26(b1)，均超过了t临界值2.306 (自由度为8，双边检验)。

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8.3 多元对数线性回归模型

双变量对数线性回归模型很容易推广到模型中解释变量不止一个的情形。例如，可将三变量对数模型表示如下：

lnYi= B1+ B2lnX2i+ B3lnX3i+ ui ( 8 - 9 )

偏斜率系数B2、B3又称为偏弹性系数。

B2是Y对X2的弹性(X3保持不变)，即在X3为常量时，X2每变动1%，Y变化的百分比。由于此时X3为常量，所以称此弹性为偏弹性。类似地，B3是Y对X3的(偏)弹性(X2保持不变)。

简而言之，在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。

例8.2 柯布-道格拉斯生产函数

模型( 8 - 9)是著名的柯布-道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)(C-D函数, Y=B1X2B2X3B3)。令Y表示产出，X2表示劳动投入，X3表示资本投入，式( 8 -9 )反映了产出与劳动力、资本投入之间的关系。

表8 - 2给出1955～1974年间墨西哥的产出Y，用国内生产总值GDP度量，劳动投入X2，以及资本投入X3的数据。

得到如下回归结果1：

lnYt = -1.6524 + 0.3397 lnX2t + 0.8640 lnX3t

se= (0.6062) (0.1857) (0.09343) (8-10) t = (-2.73) (1.83) (9.06) p= (0.014) (0.085) ( 0.000 ) R2 = 0.994

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偏斜率系数0.3397表示产出对劳动投入的弹性，即在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平均产出将增加3 4%。类似地，在劳动投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增加0.85个百分点。

将两个弹性系数相加，得到一个重要的经济参数—规模报酬参数(returns to scale

parameter)，它反映了产出对投入的比例变动。如果两个弹性系数之和为1，则称规模报酬不变(例如，同时增加劳动和资本为原来的两倍，则产出也是原来的两倍)；如果弹性系数之和大于1，则称规模报酬递增(increasing returns to scale)。如果弹性系数之和小于1，则称规模报酬递减(decreasing returns to scale)。

本例中，两个弹性系数之和为1.185 7，表明当时墨西哥经济是规模报酬递增的。 R2值为0.995，表明(对数)劳动力和资本解释了大约99.5%的(对数)产出的变动，表明了模型很好地拟合了样本数据。

8.4 半对数模型：被解释变量是对数形式

用来测量被解释变量的增长率（相对变动率）

例8.4 美国消费信贷的增长率

表8 - 3给出了美国1973～1987年间消费者信贷的数据。现求此期间信贷的增长率(Y)。 复利计算公式：

Yt= Y0 ( 1+ r) t ( 8 - 11 ) 其中，Y0—Y的初始值

Yt—第t期的Y值

r—Y的增长率(复利率) 将式( 8 - 11 )两边取对数，得： lnYt= lnY0 + tln(1+r) 令

B1= lnY0 B2=ln(1+r) 可得

lnYt=B1+B2t

引进随机误差项，得：

lnYt=B1+B2t+ut ( 8 - 12 )

用普通最小二乘法来估计模型，得到如下回归结果：

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lnYt = 12.007 + 0.094 6t se = (0.0319) (0.0035) t = (376.40) (26.03) R2 = 0.9824

形如式( 8 - 12 )的回归模型称为半对数模型，因为仅有一个变量以对数形式出现。 斜率0.0946表示Y的年增长率为9.46%，因为，在诸如式(8-12)的半对数模型中，斜率度量了给定解释变量的绝对变化所引起的Y的比例变动或相对变动。将此相对改变量乘以100，就得到增长率。

利用微分，可以证明：

B2 =

dYdlnY1dYdt??dtYdtY

8.5 线性对数模型：解释变量是对数形式

度量解释变量每变动1%所引起的被解释变量的绝对改变量。

例8.5 美国GNP与货币供给

假定联储很关注货币供给的变动对GNP的影响。表8 - 4给出了GNP和货币供给(用M2度量)的数据。

考虑下面模型：

Yt=B1+B2lnX2t+ut ( 8 - 13 ) 其中，Y=GNP，X=货币供给。

用微分，可以证明：

dY1?B2 dXXdYdY ( 8 - 14 ) B2?X?dX(dX)X=Y的绝对变化量 X的相对变化量

因此，模型( 8 - 13 )中的斜率系数度量了Y的绝对变化量和X的相对变化量的比值。若乘以100，则式( 8 - 14 )给出了X每变动一个百分点引起的Y的绝对变动量。

回归结果：

Yt = -16329.0 + 2584.8lnXt t = (-23.494) (27.549) R2= 0.9832

发现货币供给每增加一个百分点，平均而言，GNP将增加25.84亿美元。

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形如式( 8 - 13 )的线性对数模型常用于研究解释变量每变动1%，相应应变量的绝对变化量的情形。

当然，模型可以有不止一个的对数形式的解释变量。每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，某一给定变量X每变动1%所引起的应变量的绝对改变量。

8.6 双曲函数模型

形如下式的模型称为双曲函数模型：

1Yi = B1 + B2（）+ ui ( 8 - 15 )

Xi该模型变量之间是非线性，因为X以倒数形式进入模型的，但模型是参数线性模型。 模型的显著特征是，随着X的无限增大，(1/Xi)将接近于零，Y将逐渐接近B1渐进值或极值。

双曲函数模型的一些可能的形状：

平均固定成本

若Y表示生产的平均固定成本( A F C )，也即总固定成本除以产出，X代表产出，则随着产出的不断增加，AFC将逐渐降低，最终接近其渐进线(X=B1)。

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菲利普斯曲线(Philips curve)

工资的变化对失业水平的反映是不对称的：失业率每变化一个单位，则在失业率低于自然失业率UN水平时的工资上升的比在当失业率在自然失业率水平以上时快。B1表明了渐进线的位置。

菲利普斯曲线这条特殊的性质可能是由于制度的因素，比如工会交易势力、最少工资、失业保险等等。

8.8 不同函数形式模型小结

*表示弹性系数是一个变量，其值依赖于X或Y或X与Y。

可见，对变量之间是线性的模型，其斜率为一常数，而弹性系数是一个变量；但对双对数模型，弹性系数是一常数，而斜率为一变量。表中的其他模型，斜率和弹性系数都是变量。

可以将上述不同形式的模型联合起来，得到多元回归模型，即应变量是对数形式，有些解释变量是对数形式，有些解释变量是线性形式。

由于理论本身不非完美的，因此也就没有完美的模型。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/69px.html