一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题（含答案）

一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为 ；当a＜0时，解集为 .

2.一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.

(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.

(3)一元二次不等式的解：

函数与不等式 二次函数 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 x1，x2(x1＜x2) ① {x|x1＜x＜x2} bx1＝x2＝－ 2a② ? 无实根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ③ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 3.分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：

f（x）

的形式. g（x）

f（x）f（x）

＞0 ? f(x)g(x)＞0； ＜0 ? f(x)g(x)＜0； g（x）g（x）

?f（x）g（x）≥0，?f（x）g（x）≤0，??f（x）f（x）

≥0 ? ? ≤0 ? ? g（x）g（x）??g（x）≠0；g（x）≠0.??

(2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝

( )

A.[－2，－1] C.[－1，1]

B.[－1，2)

D.[1，2)

2

..

解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故选A.

设f(x)＝x＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( ) A.{x|x∈R} C.{x|x≥1}

B.{x|x≠1，x∈R} D.{x|x≤1}

2

解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b， 由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，

解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x－2x＋1>0，x的取值范围是x≠1.故选B. 11

已知－<<2，则x的取值范围是( )

2x11

A.－2

221

C.x<－或x>2

2

1

D.x<－2或x>

2

2

1

解：当x>0时，x>；当x<0时，x<－2.

21

所以x的取值范围是x<－2或x>，故选D.

21－2x 不等式＞0的解集是 .

x＋11－2x解：不等式>0等价于(1－2x)(x＋1)＞0，

x＋11?1?也就是?x－?(x＋1)＜0，所以－1＜x＜. 2?2?

??1

故填?x|－1＜x＜，x∈R?.

2??

3

武汉调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的 (2014·

8

取值范围为________.

3322

解：显然k≠0.若k＞0，则只须(2x＋x)max＜，解得k∈?；若k＜0，则只须＜(2x8k8k＋x)min，解得k∈(－3，0).故k的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).

类型一 一元一次不等式的解法

1?? 已知关于x的不等式(a＋b)x＋2a－3b＜0的解集为?－∞，－?，求关于x的

3??

不等式(a－3b)x＋b－2a＞0的解集.

1??解：由(a＋b)x＜3b－2a的解集为?－∞，－?，

3??3b－2a1

得a＋b＞0，且＝－，

a＋b3

..

从而a＝2b，则a＋b＝3b＞0，即b＞0， 将a＝2b代入(a－3b)x＋b－2a＞0，

得－bx－3b＞0，x＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨：

一般地，一元一次不等式都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.挖掘隐含条件a＋b＞0且3b－2a1

＝－是解本题的关键. a＋b3

解关于x的不等式：(m－4)x＜m＋2.

解：(1)当m－4＝0即m＝－2或m＝2时， ①当m＝－2时，原不等式的解集为?，不符合 ②当m＝2时，原不等式的解集为R,符合 (2)当m－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜(3)当m－4＜0即－2＜m＜2时，x＞

22

2

2

1

. m－2

1. m－2

类型二 一元二次不等式的解法

解下列不等式：

(1)x－7x＋12＞0; (2)－x－2x＋3≥0； (3)x－2x＋1＜0; (4)x－2x＋2＞0. 解：(1){x|x＜3或x＞4}. (2){x|－3≤x≤1}. (3)?.

(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R.

??－x＋1，x＜0，

(2013·金华十校联考)已知函数f(x)＝? 则不等式

?x－1，x≥0，?

2

2

2

2

x＋(x＋

1)f(x＋1)≤1的解集是( )

A.{x|－1≤x≤2－1} B.{x|x≤1}

C.{x|x≤2－1} D.{x|－2－1≤x≤2－1} 解：由题意得不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于①

??x＋1＜0，

? 或 ?x＋（x＋1）[－（x＋1）＋1]≤1?

??x＋1≥0，②? ?x＋（x＋1）[（x＋1）－1]≤1，?

解不等式组①得x＜－1；解不等式组②得－1≤x≤2－1. 故原不等式的解集是{x|x≤2－1}.故选C.

类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系

已知关于x的不等式x－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的

..

2

值.

解：∵不等式x－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}， ∴x1＝－5，x2＝1是x－bx＋c＝0的两个实数根，

??－5＋1＝b，??b＝－4，

∴由韦达定理知?∴?

??－5×1＝c，c＝－5.??

2

2

已知不等式ax＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx－bx＋a＞0

的解集.

解：∵不等式ax＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，

∴a＜0，且2和3是方程ax＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得

2

2

22

??c?a＝2×3，??a＜0.2

－＝2＋3，

bab＝－5a，??

即?c＝6a，

??a＜0.2

代入不等式cx－bx＋a＞0，得6ax＋5ax＋a>0(a＜0). 即6x＋5x＋1＜0，

?11?

∴所求不等式的解集为?x|－＜x＜－?.

23??

2

类型四 含有参数的一元二次不等式

解关于x的不等式：mx－(m＋1)x＋1＜0.

解：(1)m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}；

2

?1?(2)当m≠0时，不等式为m?x－?(x－1)＜0.

?

m?

?1?①当m＜0，不等式为?x－?(x－1)＞0，

?

m?

??11

∵＜1，∴不等式的解集为?x|x＜或x＞1?.

m?

m?

?1?②当m＞0，不等式为?x－?(x－1)＜0.

?

m?

?1?1

(Ⅰ)若＜1即m＞1时，不等式的解集为?x|＜x＜1?；

mmm?

m?

?1?1

(Ⅱ)若＞1即0＜m＜1时，不等式的解集为?x|1＜x＜?；

?

m?

1

(Ⅲ)若＝1即m＝1时，不等式的解集为?. 点拨：

当x的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x的系数正负(不等号方向)

2

2

..

1

的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1

m与m＝1进行讨论.

解关于x的不等式ax－2≥2x－ax(a∈R).

解：不等式整理为ax＋(a－2)x－2≥0， 当a＝0时，解集为(－∞，－1].

22

当a≠0时，ax＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，，所以当a＞0时，

2

2

a?2?解集为(－∞，－1]∪?，＋∞?；

?a?

?2?当－2＜a＜0时，解集为?，－1?；

a?

?

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 2??当a＜－2时，解集为?－1，?.

?a?

类型五 分式不等式的解法

x－1

(1)解不等式≤1.

2x＋1

x－1x－1－x－2x＋2解：≤1 ? －1≤0 ? ≤0 ? ≥0.

2x＋12x＋12x＋12x＋1

?（x＋2）（2x＋1）≥0，?x＋2

≥0 ? ? 2x＋1?2x＋1≠0.?

1

得{xx＞－或x≤－2}.

2※(2)不等式解：

2

x－2

＞0的解集是 .

x＋3x＋2

2x－2x－2

＞0?＞0?

x＋3x＋2（x＋2）（x＋1）

(x－2)(x＋2)(x＋1)＞0，

数轴标根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}， 故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}. 点拨：

分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解

..

集时要考虑分母不能为零.

(1)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝?x|

A.{x|－1≤x＜0} B.{x|0＜x≤1} C.{x|0≤x≤2}

D.{x|0≤x≤1}

?x（x－2）≤0，???x≠0

x－2?

≤0?，则A∩B＝( ) x??

?

解：易知A＝{x|－1≤x≤1}，B集合就是不等式组? 的解集，求出B＝

{x|0＜x≤2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}.故选B.

x－1

(2)不等式≤0的解集为( )

2x＋1

?1??1?A.?－，1? B.?－，1? ?2??2?

1?1???C.?－∞，－?∪[1，＋∞) D.?－∞，－?∪[1，＋∞)

2?2???

??（x－1）（2x＋1）≤0，x－1

解：≤0??

2x＋1??2x＋1≠0

1

得－

2

类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题

?1?2

(1)若不等式x＋ax＋1≥0对于一切x∈?0，?成立，则a的最小值为( )

?2?

5

A.0 B.－2 C.－ D.－3

2

?1?2

解：不等式可化为ax≥－x－1，由于x∈?0，?，

?2??1?∴a≥－?x＋?.∵f(x)＝

?

x?

1??∴?－x－?

x＋在?0，?上是减函数， ?x?2??

11

?

55

＝－.∴a≥－. x?max22

2

(2)已知对于任意的a∈[－1，1]，函数f(x)＝x＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( )

A.1＜x＜3 C.1＜x＜2

B.x＜1或x＞3 D.x＜1或x＞2

2

2

解：记g(a)＝(x－2)a＋x－4x＋4，a∈[－1，1]，

??g（1）＞0，??x－3x＋2＞0，

依题意，只须???2?x＜1或x＞3，故选B.

?g（－1）＞0??x－5x＋6＞0?

点拨：

对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，

..

把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围.

对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取

值范围.

解：原不等式转化为(x－1)a＋x－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x－2x＋1，则f(a)

????f（－2）＞0，?x－4x＋3＞0，?x＞3或x＜1，在[－2，2]上恒大于0，故有：? 即?2 解得?

?f（2）＞0?x－1＞0?x＞1或x＜－1.???

2

2

2

2

∴x＜－1或x＞3.

类型七 二次方程根的讨论

若方程2ax－x－1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是( ) A.a<－1 C.－1

B.a>1

22

D.0≤a<1

2

解法一：令f(x)＝2ax－x－1，则f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1. 解法二：当a＝0时，x＝－1，不合题意，故排除C，D；当a＝－2时，方程可化为4x＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.故选B.

1.不等式

x－2

≤0的解集是( ) x＋1

B.[－1，2]

A.(－∞，－1)∪(－1，2]

C.(－∞，－1)∪[2，＋∞) D.(－1，2] 解：

x－2

≤0?(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，故选D. x＋1

?1??的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为x|＜x＜2?，则?m?

2.关于xm的取值

范围是( )

A.m＞0 1

C.m＞ 2

B.0＜m＜2 D.m<0

解：由不等式的解集形式知m＜0.故选D.

?1???，则f(10x)>0的2013·安徽x|x<－1或x>3.()已知一元二次不等式f(x)<0的解集为

2??

解集为( )

A.{x|x<－1或x>lg2} B.{x|－1－lg2}

D.{x|x<－lg2}

?1??x1?从而10x<1，xx解：可设f(x)＝a(x＋1)?x－?(a<0)，由f(10)>0可得(10＋1)?10－?<0，

2?2?2??

解得x<－lg2，故选D.

4.(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m的内接

..

2

矩形花园(阴影部分)，

则其边长x(单位：m)的取值范围是( ) A.[15，20] C.[10，30]

B.[12，25] D.[20，30]

x40－y解：设矩形的另一边为y m，依题意得＝，即y＝40－x，

4040

所以x(40－x)≥300，解得10≤x≤30.故选C.

5.若关于x的不等式2x－8x－4－a>0在(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( ) A.a<－12 C.a>－12

2

2

B.a>－4 D.a<－4

2

2

2

解：关于x的不等式2x－8x－4－a＞0在(1，4)内有解，即a＜2x－8x－4在(1，4)内有解，令f(x)＝2x－8x－4＝2(x－2)－12，当x＝2时，f(x)取最小值f(2)＝－12；当

x＝4时，f(4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f(x)＜－4.要使a＜f(x)有

解，则a＜－4.故选D.

6.若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈(1，2)恒成立，则实数k的取值范围是____________.

解：∵x∈(1，2)，∴x－1>0.则x－kx＋k－1＝(x－1)(x＋1－k)>0，等价于x＋1－k>0，即k

2

7.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0

成立，则实数m的取值范围是________.

??f（m）＝2m－1＜0，

解：由题可得f(x)＜0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即? 解得2

?f（m＋1）＝2m＋3m＜0，?

2

－

22??

＜m＜0.故填?－，0?. 2?2?

8.若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，求实数a的取值范围.

解：x－ax－a≤－3的解集不是空集?x－ax－a＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a≤－6或a≥2.

2

2

9.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3).

(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围. 解：(1)∵f(x)＋2x＞0的解集为(1，3)， ∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0. 因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x ＝ax－(2＋4a)x＋3a.①

由方程f(x)＋6a＝0得ax－(2＋4a)x＋9a＝0.② 因为方程②有两个相等的实根，所以 Δ＝[－(2＋4a)]－4a·9a＝0，

2

2

2

..

12

即5a－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.

5

1

由于a＜0，舍去a＝1，将a＝－代入①得f(x)的解析式

5

f(x)＝－x2－x－.

156535

?1＋2a?－a＋4a＋1，

(2)由f(x)＝ax－2(1＋2a)x＋3a＝a?x－

a?a??

2

2

2

a2＋4a＋1

及a＜0，可得f(x)的最大值为－.

aa＋4a＋1??－＞0，

a由?解得a＜－2－3或－2＋3＜a＜0.

??a＜0，

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0). 10.解关于x的不等式：2

a（x－1）

＞1(a＞0).

x－2

解：(x－2)[(a－1)x＋2－a]＞0， 当a＜1时有(x－2)?x－若若若

??

a－2?＜0， a－1??

a－2a－2

＞2，即0＜a＜1时，解集为{x|2＜x＜}； a－1a－1a－2

＝2，即a＝0时，解集为?； a－1

a－2a－2

＜2，即a＜0时，解集为{x|＜x＜2}. a－1a－1

..

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