概率论与数理统计基础知识

第一部分 三角函数表

三角函数表

反三角函数表

arcsin1

2

,arcsin

1 ,arcsin ,arcsin( 1)

26232

1

arccos1 0,arccos ,arccos ,arccos( 1)

2326

arctan1

4

,arctan( 1)

4

,arctan0 0

第二部分 极限

极限

数列极限：

刘徽的“割圆术”，设有一个半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法之下，要

计算其面积：

方法：先做圆的内接正六边形，其面积记为A1，再做一内接正12边形，记其面积为A2

再做一内接正24边形，记其面积为A3,如此逐次将变数加倍。。。

得到数列A1,A2,...,An,.....，则当n无穷大时，有limAn s

n

函数极限：

x x0

limf(x) f(x0)

常用的极限公式

x x

lime

x

0(e

0)

lim

1

0n n

x

limex 0(e 0)

limarctanx

2

e0 1

常用的几个公式

x

limarctanx

2

1 2 ... n

n

n(n 1)

2

n

1111

()1 k 1n 1k 1k(k 1)k 1k

x2xn

e 1 x ... ...

n!2!

x

等比数列公式：

是等比数列

a1(1 qn)

,Sn

1 q

当q<1时，等比数列的无穷项级数和为S

a11 q

等差数列公式：Sn

n(a1 an)n(n 1)d

或者：Sn na1

22

例 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为

F(x,y) a(b arctanx)(c arctan2y), x , y .

求：（1）常数a, b, c;

(2) (X,Y)的概率密度.

解：（1）由分布函数的性质知

F( , ) a(b

2

c

2

) 1,

F(x, ) a(b arctan(x))(c F( ,y) a(b

从上面第二式得c

由于

2

) 0,

2

c arctan(2y)) 0,

2

, 从上面第三式 得b

2

, 再从上面第一式 得a

1

2

.

F(x,y)

1

( arctanx)( arctan2y), 2

2 2

从而概率密度为

2F(x,y)2

. f(x,y) 2

22

x y (1 x)(1 4y)

第三部分 导数

导数含义

函数值的增长与自变量增长之比的极限。 重要的求导公式

(C) 0. (xn) nxn 1 (ax) axlna. (ex) ex (logax)

11

． (lnx) ． xlnax

(sinx) cosx． (cosx)

sinx．

1

(arctanx)

1 x21

(logax)

xlna

(arcsinx)

(arccosx)

1 (arccotx) 21 x1

(lnx)

x

导数的四则运算

若函数u u(x)，v v(x)都在点x处可导，则有 (ⅰ)(u(x) v(x)) u (x) v (x)； (ⅱ)[u(x)v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x)；

u(x) u (x)v(x) u(x)v (x)(ⅲ) ， v(x) 0． 2 v(x) v(x)

例题：

(1).(2).(3).

y 2x3 5x2 3x 7,求y .,求f ().

22

y ex(sinx cosx),求y .

3

2

f(x) x3 4cosx sin

解：（1）y (2x) (5x) (3x) (7)

2(x3) 5(x2) 3(x) 0 2 3 x2 5 2 x 3 6x2 10x 3

(2) f (x) (x) (4 cosx) (sin

3

2

)

3 x2 4 (cosx) 0 3x2 4sinx f () 3 ()2 4 sin

2223 2

4

4

xx

(3) y (e) (sinx cosx) e (sinx cosx)

ex (sinx cosx) ex [(sinx) (cosx) ] ex (sinx cosx) ex (cosx sinx)

2excosx

（4）()

1x1 2x

在概率中的应用主要是知道分布函数求密度函数，需要对分布函数求导数。

． 3 复合函数的求导链式法则

两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

[f(g(x))] f (g(x))g (x)

在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以下几点： (1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数；

(2)复合函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量．

利用复合函数的求导法则求导的步骤如下：

(1)从外到里分层次，即把复合函数分成几个简单的函数；

(2)从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来； (3)利用链式求导法则，从左到右作连乘． 例题：

y tan 1 2x ,求y .

解 函数y tan 1 2x 可分解为y tanu,u 1 2x. 则

dy'

tanu u sec2u,du

由复合函数求导法则有

du

(1 2x)'x 2. dx

dydydu sec2u ( 2) 2sec2(1 2x). dxdudx

y 8 y 8 y 8 y 8 1 )F*F (FX X X *

2222 2

主要在第二章第四节里面用

第四部分 原函数和不定积分

原函数：

已知

f(x)是一个定义在区间I内的函数，如果存在着函数F(x)， 使得对I内任何

一点x，都有

F (x) f(x) 或 dF(x) f(x)dx

那么函数F(x)就称为例如：F(x)

f(x)在区间I内的原函数。

sinx是f(x) cosx在区间I ( , )上的原函数。

不定积分

在区间I内，函数分， 记作 其中：

f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积

f(x)dx，即 f(x)dx F(x) C。

称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。

基本积分公式

f(x)dx F(x) C

由基本微分公式可得基本积分公式 1kdx kx C (k为常数)， ○2xdx ○

0dx C 1dx x C

1 1

x C ( 1)， 1

4sinxdx cosx C， ○3cosdx sinx C， ○5sec2xdx ○

112

dx tanx C， 6cscxdx dx cotx C， ○cos2xsin2x

7secxtanxdx secx C， ○8cscxcotxdx cscx C， ○9axdx ○

1xxxa C， 10edx e C， ○lna

11○

1

dx lnx C， x

12○

1 x

2

dx arcsinx C，

13○

1

dx arctanx C. 2

1 x

这些基本公式是求不定积分的基础，应熟记． 求不定积分的方法 一． 第一类换元法 先看下例： 2cos2xdx

回忆： (sin2x) cos2x(2x) 2cos2x

2cos2xdx cos2x(2x) dx cos2x(d2x) 令 u 2x，

cosudu sinu C sin2x C

定理1 （第一类换元法）：

g(x)dx f[ (x)] (x) f[ (x)]d (x)

u (x)

f(u)du [F(u) C]|

u (x)

这种方法称为凑微分法．（将公式中的箭头作出动态效果）

例1求下列不定积分

1、 解1、

2

， 2 (3 2x)6dx

3 2x

211

(32x)dx 3 2x 3 2x 3 2x(3 2x) 令 u 3 2x

du

ln|u| C ln|3 2x| C

u16

(32)(3 2x) dx x 216

(3 2x)d(3 2x) 令 u 3 2x

2111716

(3 2x)7 C = udu u C

22714

6

2、(3 2x)dx

注意：

f(ax b)dx

1

f(ax b)d(ax b) a

由上面的解题可发现，变量u只是一个中间变量，在求不定积分的过程中，只是起过渡作用，最终都要换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以采用不直接写出中间变量的做法。 例如：

2cos2xdx cos2xd2x sin2x C

2d(3 2x) 3 2x 3 2x ln|3 2x| C

通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：

f(ax b)dx f(ex)exdx f(lnx)

dx

x

1a

f(ax b)d(ax b) (a 0)；

f(ex)dex；

f(lnx)dlnx；

f(cosx)sinxdx f(cosx)dcosx； f(sinx)cosxdx f(sinx)dsinx；

f(tanx)sec2xdx

f(tanx)dtanx；

f(arctanx)

dx

2

1 x

f(arctanx)darctanx；

等等．

第二类换元法

1 1 1 1f 2dx f d x x x x

f(x)dx

x (t)

1

f[ (t)] (t)dt (t) C (x) C

2、 分部积分法

利用复合函数微分法则导出了换元积分法，它能解决许多积分问题，但仍有许多类型的积分用换元法也不能计算，例如xexdx、x2cosxdx、arctanxdx等等

本节我们用乘积的微分公式导出另一种重要的积分方法——分部积分法，可以解决许多积分问题．

设u(x)、v(x)是两个可微函数，由

d(uv) vdu udv

得

udv d(uv) vdu．

两边积分，可得

即

udv d(uv) vdu．

udv uv vdu． 分部积分公式

例子：

oo

xedx

x

oo

xdex sinxcosxdx sinxdsinx

二、特殊情况

1、用分部积分法计算．不过有时需要多次使用分部积分法． 例6 求x2e xdx．

解

x2e xdx x2de x (x2e x e xdx2)

xe

2 x

2 xe xdx

x2e x 2 xde x

x2e x 2(xe x e xdx)

x2e x 2xe x 2e x C． 小结：

1．对可微函数u(x)、v(x)，有分部积分公式：

udv uv vdu．

当v容易求出，且vdu比udv易于积分时．利用分部积分公式易于计算．

2．要记住适合使用分部积分法的常见题型及凑微分dv的方式．

如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。

第五部分 定积分的基本性质

定积分性质

b

b

b

性质1

a

[f(x) g(x)]dx

a

f(x)dx g(x)dx．

a

这个性质可推广到有限多个函数的情形． 性质2

b

a

kf(x)dx k

b

a

f(x)dx （k为常数）．

性质3 不论a,b,c三点的相互位置如何，恒有

b

a

f(x)dx

c

a

f(x)dx

b

c

f(x)dx．

这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 牛顿－莱布尼茨公式

定理2 （ 牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式 ） 如果函数F(x)是连续函数f(x)

在区间[a,b]上的一个原函数，则

定积分的计算

b

a

f(x)dx F(b) F(a)

1．定积分的分部积分法

设函数u(x)与v(x)均在区间[a,b]上有连续的导数，由微分法则d(uv) udv vdu，可得

udv d(uv) vdu．

等式两边同时在区间[a,b]上积分，有

b

a

udv (uv)a vdu． 定积分的分部积分公式，

a

b

b

例5 设f(x)在[ a,a]上连续，证明： (1) 若f(x)为奇函数，则

a

a

f(x)dx 0；

(2) 若f(x)为偶函数，则

a

a

f(x)dx 2

a

f(x)dx．

小结：

1．定积分换元积分定理：

b

a

f(x)dx f (t) (t)dt．

注意：换元必换限， 下限对下限，上限对上限

2．定积分分部积分法：设函数u(x)与v(x)均在区间[a,b]上有连续的导数，则有

(1) 若f(x)为奇函数，则(2) 若f(x)为偶函数，则

b

a

udv (uv)a vdu．

a

b

b

3．对称区间上的积分：设f(x)在[ a,a]上连续，则有

a

aa

f(x)dx 0； f(x)dx 2

a0

a

f(x)dx．

广义积分

1．设f(x)在积分区间上连续，定义

a

f(x)dx limf(x)dx lim

b a

b

f(x)dx

b

a a

b

f(x)dx，

c

f(x)dx

c

f(x)dx

f(x)dx．

变上限的积分

如果f(x)在区间[a,b]上连续，则有

x

a

f(t)dt f(x)．

例一 设随机变量X的概率密度为

0 x 1, x,

f x 2 x,1 x 2,

0,其他.

求X的分布函数F x .

解 当x 0时, F x 当0 x 1时,

x

f t dt 0;

x2

F x tdt ;

02

x

当1 x 2时, F x

当x 2时, F x 即X的分布函数为

tdt

01

1x

1

x2

2 t dt 2x 1;

2

tdt 2 t dt 1,

1

2

x 0,0,

x2

,0 x 1, 2 F x 2

x 2x 1,1 x 2, 2 x 2.1,

例二 设连续型随机变量X的分布函数为

x 0, 0,

2

F x x,0 x 1,

1,x 1.

（2）X落在区间(0.3,0.7)的概率. 求（1）X的概率密度f(x)；解 （1）f x F x

（2）有两种解法：

P 0.3 X 0.7 F 0.7 F 0.3 0.7 0.3 0.12;

2

2

2x,0 x 1,

0,.其他

或者,P 0.3 X 0.7

0.7

0.3

f x dx 2xdx 0.12.

0.3

0.7

例三 设某种型号电子元件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度

1000 ,x 1000,

f x x2

其他. 0,

现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立）,问

（1） 任取1只,其寿命大于1500小时的概率是多少？

（2） 任取4只,4只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少？ （3） 任取4只,4只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？

10002 1000

解 （1）P X 1500 . 1500x2x 15003

（2）各元件工作相互独立,可看作4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时. 令Y表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数,则Y～B(4,),所求概率为

2 2 Y 2 C4 P

3

2

23

8 1

.

327

4

2

2

Y 1 1 P Y 0 1 C (3) 所求概率为P

3 1 80 .

81 3

4

第六部分 偏导数求法

1．偏导数的定义 设函数z = f (x, y)在点P(x , y)的某邻域有定义，函数z在点P(x , y)

处对变量x的偏导数和对变量y的偏导数分别定义为

z x z y

ff(x x,y) f(x,y)'

= fx(x,y) lim； zx

x 0 x x ff(x,y y) f(x,y)

z'y=fy(x,y) lim.

y 0 y y

更多元的函数可以类似地定义偏导数．

2．偏导数的计算 对一个自变量求偏导数时，只要把其它的自变量都当常数就行了．因此，一元函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数．

3．高阶偏导数 对函数z = f(x, y)的偏导数再求偏导数就得到高阶偏导数，例如

z 2z z 2z

= fxy； 2=fxx；

y x x y x x x

z 2z z 2z= fyx；=fyy．

x y y x y y y2

其中fxy、fyx称为混合偏导数．类似地可以定义更高阶的偏导数． 注意：1、更多元的函数可以类似地定义偏导数．

2、计算法：对一个自变量求偏导时，只要把其他自变量都当常数就行

z求时，把y看作常量，而对x求导数； x

求

z

时，把x看作常量，而对y求导数。 y

例1求z

x2 3xy y2在点(1,2)处的偏导数。

z z

解法1： 2x 3y, 3x 2y

x y

则

z

x

8 ,

(1,2)

z y

7

(1,2)

解法2：

f(x,2) x2 6x 4， f(1,y) 1 3y y2

则

fx(1,2) 2x 6x 1 8

fy(1,2) 3 2yy 2 7

主要用于第三章的二维随机变量的分布函数的求导 例一 设(X, Y)的概率密度为

8xy,

f(x,y)

0,

0 x y,0 y 1,

其他.

求：关于X 及关于Y的边缘概率密度, 并判断X与Y是否相互独立. 解：关于X的边缘概率密度fX(x) 当0 x 1时, fX(x)

f(x,y)dy.

x

8xydy 4x3,

当x 0或x 1时 , fX(x) 0,

4x3,

所以fX(x)

0,

0 x 1,其他.,

12 8xydx，0 y 1, 4y(1 y),

同理fY(y) y

其他,0, 0，

0 y 1,

其他,

当0 x 1,0 y 1时,f(x,y) fX(x)fY(y), 所以X与Y不独立.

第七部分 二重积分的性质

由于二重积分的定义与定积分的定义是类似的，因而二重积分有与定积分类似的性

质，叙述于下（假定所出现的二重积分均存在）：

性质1 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

kf(x,y)d k f(x,y)d (k为常数)．

D

D

特别，令 f (x, y)≡1，则有

． 1d （D的面积）

D

性质2 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

[f(x,y) g(x,y)]d f(x,y)d g(x,y)d ．

D

D

D

性质3 如果区域D可以划分为D1与D2，其中D1与D2除边界外无公共点，则

f(x,y)d = f(x,y)d ＋ f(x,y)d ．

D

D1D2

例 1 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在[0, 1]服从均匀分布, Y的概率密度为

y

1 2

fY(y) 2e,

0,

y 0,

y 0.

求: (1) (X, Y)的概率密度； (2) P{X Y 1}; (3) P{X Y 3}.

解: (1)由已知X与Y相互独立, (X, Y)的概率密度为

y

1 2

f(x,y) fX(x)fY(y) 2e,

0,

1

0 x 1,y 0,

其他.

1 x

(2)P{X Y 1}

x y 11

f(u,v)dudv (

1 x 2

1 2

edy)dx2

y

(1 e

)dx 2e

1 2

1.

3 x

(3)P{X Y 3}

1

x y 3

f(u,v)dudv (

3 x 2

1

1 2

edy)dx2

y

(1 e

)dx 2e

3 2

2e 1 1.

例2 设(X,Y)的概率密度为

e (x y),x 0,y 0,

f(x,y)

其他. 0,

求(X,Y)的分布函数F(x,y). 解: 由定义5知

F(x,y)

x

y

f(u,v)dudv,

当x>0, y>0时,

F(x,y)

x

x

u

y

e (u v)dudv

y

edu e vdv

(1 e x)(1 e y),

当x 0或y 0 时, F(x,y) 0,

(1 e x)(1 e y),x 0,y 0,

从而F(x,y)

其他.0，

例3 设X的概率密度为

0 x 1, x,

f(x) 2 x,1 x 2, 求E[X E(X)].

0,其他，

解：

E(X) xf(x)dx x2dx x(2 x)dx

1

12

131122

x0 x21 x313311

4 1 (8 1)33 1,

E[X E(X)] E[X 1]

xx 1 x (2 x)dx

1

1

2

x(1 x)dx (x 1(2 x)dx

1

12

x(1 x)dx 2 (x 1)dx

1

22

1 .3

例4 设（X,Y）服从在D上的均匀分布,其中D为x轴, y轴及x+y=1所围成，求D(X). 解: E(X)

21 0 0033

11 x1211

E(X2) 2x2dydx 2x2(1 x)dx

000326111

D(X) = .

6918

11 x

2xdydx (2x 2x2)dx 1

1

二、 二重积分的计算

按照二重积分的定义计算二重积分，只对少数特别简单的被积函数和积分区域是可行的，对一般的函数和区域，这种“和式的极限”是无法直接计算的．下面我们介绍将二重积分转化为两次定积分来计算的方法，这是计算二重积分的一种行之有效的方法．

1．X—型区域上二重积分的计算

设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示3），则称D为X—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为

D： 1(x) y 2(x),

a x b．

图3

在区间[a，b]上任取一点x，过点x作与x轴垂直的直线，它与D相交于 1(x), 2(x)两点，

A(x)

2(x)

1(x)

f(x,y)dy，a x b．

b

因此

b

a

A(x)dx [

a

2(x)

1(x)

f(x,y)dy]dx

经过以上两步计算，f(x,y)相当于在区域D上累加了一遍。

f(x,y)d [

D

a

b

2(x)

1(x)

f(x,y)dy]dx． （1）

由此可见，二重积分可以化为两次定积分来计算．第一次对变量y积分，将x当作常数，

积分区间是区域D的下边界的点到对应的上边界的点．第二次对x积分，它的积分限是常数．这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次(或二次)积分法．公式（1）是先对y后对x的累次积分公式，通常简记为

D

f(x,y)d dx

a

b

2(x)

1(x)

f(x,y)dy．

2．Y—型区域上二重积分的计算 设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示4），则称D为Y—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为

D： 1(y) x 2(y),

c y d．

图4

利用与前面相同的方法，可得先对x后对y的累次积分公式： 通常简记为

D

f(x,y)d [

c

d

2(y)

1(y)

f(x,y)dx]dy． （2）

f(x,y)d cdy (y)

D

1

d

2(y)

f(x,y)dx． （3）

3．一般区域上二重积分的计算

如果区域D不属于上述两种类型，则二重积分不能直接利用公式(1)、(3)来计算．这时可以考虑将区域D划分成若干个小区域，使每个小区域或是X—型区域、或是Y—型区域．在每个小区域上单独算出相应的二重积分，然后利用二重积分对区域的可加性即可得所求的二重积分值．

例1

计算二重积分I

D

xyd ,其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及y＝x 所围的闭区域。

解法1. 将D看作X–型区域, 则

2

1

D:1 y x,1 x 2

o

x [1,2]，过x作直线平行于y轴，交区域下边界为y 1，上边界为y x，则

12

I dx xydy [xy]dx

21111

2

x

2

x

1

2

1

x3 1x dx

9

8

2解法2. 将D看作Y–型区域, 则

D:y x 2,1 y 2

1

y [1,2]，过y作直线平行于x轴，交区域左边界为

x y，右边界为x 2，则

12

I dy xydx [xy]dy

2yy11

2

2

2

2

o

2

1

913

2y ydy 8

xy

xe dxdy，其中D为矩形域D：D

例2 计算二重积分

1 x 2，0 y 1．

解 采用先y后x的积分次序，则

xyxyxy

xedxdydxxedydxe dxyD

1

1

xy1

e0 dx1

e2 e 1.22

1

2

1

1

(ex 1)dx．

1

2

o注意： 例2中的二重积分若采用先x后y的积分次序，则

xe

D

xy

dxdy dy xexydx，函数xexy先对x积分时需要用分部积分法来计算，这将

1

12

使计算工作量增加（请读者自己完成，作一比较）．由此可见，计算二重积分要根被积函数选择适当的积分次序．

例3 计算积分

xydxdy，其中D是由抛物线y = x和直线y =

2

D

x－2所围成的闭区域．

解 ：易求抛物线y2 = x和直线y = x－2的交点为 （1，-1）和 （4，2）

积分区域如图示5所示．D看作Y–型区域,

采用先x后y的积分次序，则将区域D表示为

D：y2 x y+2，－1 y 2．

故有

xydxdy

D

2

1

dy 2

y

y 2

x2

xydx

12

2

y dy y2

图5

2

y 2

12

y(y 2)2 y5dy 2 1

y6 1 y4432

y 2y 2 436 15 5．

8

注意 本例若D看作X–型区域，采用先y后x的积分次序，由于区域D的下边界曲线，需要用分段函数表示：当x∈[0，1]时， 1(x) x；当x∈[1，4]时， 1(x) x 2．将D划分为D1、D2两个部分区域(如图6)，其中

D1：

x y x,0 x 1；

x,1 x 4．

D2：x 2 y

由此可利用二重积分的区域可加性计算

此积分：

xydxdy xydxdy xydxdy．

D

D1

D2

图6

将D1、D2的表示式代入上式化为两个累次积分后可计算出积分结果．显然，这次序比较麻烦．

将二重积分I =例4 设D是由y = x2, y =－x和 x = 1所围成的闭区域，为累次积分（两种次序）．

解 区域D如图示7所示．

（1）将D看作Y–型区域, 先x后y: D应表为D = D1∪D2，其中

D1： y x 1, 1 y 0； D2：

故

f(x,y)d 化

D

y x 1,0 y 1．

I f(x,y)d f(x,y)d

D1

D2

1

dy f(x,y)dx dy y

111y

f(x,y)dx.

（2）将D看作X–型区域, 先y后x：

D应表为：－x y x2，0 x 1．故

I dx f(x,y)dy．

1

x2

x

图7a

2

图7b例5 计算二重积分

y

edxdy，其中D是由直线y = x, y = 1与y轴围成的闭区域． D

解 积分区域D如图示7．我们选取先x后y的积分次序．将D表示为：

D：0 x y，0 y 1． 故有

y

e

D

y2

dxdy dy e

1y

y2

dx e yx0dy

21

e y

2

1

2

ye

1

y

2

dy

1

10

图8

1

(1 e 1). 2

2

注意：若先对y积分后对x积分，

y y y

，由于函数e对变量y的edxdy dxedy D

x

22

原函数不能表为初等函数，，第一步的积分将无法计算．

小结：

1．X—型区域：设区域D： 1(x) y 2(x),

a x b．则

b

f(x,y)d [

D

a

b

2(x)

1(x)

f(x,y)dy]dx dx

a

2(x)

1(x)

f(x,y)dy．

2．Y—型区域：设区域D：ψ1(y) x ψ2(y), c y d．则有

D

f(x,y)d c[

d

2(y)

1(y)

f(x,y)dx]dy dy f(x,y)dx．

c (y)

1

d

2(y)

3．如果区域D不属于上述两种类型，可将区域D划分成若干个小区域，使每个小区域

属于以上某一类．在每个小区域上单独算出相应的二重积分再相加即可．

4．计算二重积分的主要步骤如下：

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