2019高考数学一轮复习 第十一章 概率与统计 11.2 古典概型与几何概型练习 理

朝花夕拾杯中酒§11.2 古典概型与几何概型

考纲解读

考点 内容解读 ①理解古典概型及其概率计算公式; ②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 要求 高考示例 2017山东,8; 2016天津,16; 2015广东,4; 2014陕西,6 2017课标全国Ⅰ,2; 2016课标全国Ⅰ,4; 2015湖北,7 常考题型 预测热度 选择题 解答题 1.古典概型 掌握 ★★★ 2.几何概型 ①了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率; ②了解几何概型的意义 了解 选择题 ★☆☆ 分析解读 1.掌握在古典概型条件下,能应用任何事件的概率公式解决实际问题.2.通过实例,理解几何概型及其概率计算公式,并会运用公式求解一些简单的有关概率的问题.本节在高考中单独命题时,通常以选择题、填空题形式出现,分值约为5分,属中低档题.随机事件,古典概型与随机变量的分布列,期望与方差等综合在一起考查时一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中档题.

五年高考

考点一 古典概型

1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A. B. C. D. 答案 C

2.(2015广东,4,5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ) A. B. C. D.1 答案 B

3.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形．．．边长的概率为( ) A. B. C. D. 答案 C

4.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)==. 所以,事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==.

所以,随机变量X的分布列为

X 0 1 2 P 呵呵复活复活复活 朝花夕拾杯中酒

随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.

教师用书专用(5—11)

5.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 答案

6.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 . 答案

7.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是 . 答案

8.(2014广东,11,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 . 答案

9.(2013江苏,7,5分)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为 . 答案

10.(2013重庆,18,13分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖 级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).

解析 设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸到j个蓝球,则Ai(i=0,1,2,3)与Bj(j=0,1)独立. (1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)==. (2)X的所有可能的值为:0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=·=, P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=·=, P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=·==, P(X=0)=1---=.

综上知X的分布列为

X 0 10 50 200 P 从而有E(X)=0×+10×+50×+200×=4(元).

11.(2013湖南,18,12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

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解析 (1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种.选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.

故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为=. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列. 因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4).

所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.

记nk为其“相近”作物恰有k(k=1,2,3,4)株的作物株数,则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由P(X=k)=得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)==. 故所求的分布列为

Y 51 48 45 42 P 所求的数学期望为

E(Y)=51×+48×+45×+42×==46.

考点二 几何概型

1.(2017课标全国Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )

A. B. C. D. 答案 B

2.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A. B. C. D. 答案 B

3.(2014湖北,7,5分)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A. B. C. D. 答案 D

4.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 . 答案

22

5.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)+y=9相交”发生的概率为 . 答案

呵呵复活复活复活 朝花夕拾杯中酒教师用书专用(6—11)

6.(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥”的概率,p2为事件“|x-y|≤”的概率,p3为事件“xy≤”的概率,则( ) A.p1

7.(2013陕西,5,5分)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( ) ．

A.1- B.-1 C.2- D. 答案 A

2

8.(2015福建,13,4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .

答案

9.(2014福建,14,4分)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .

答案

10.(2013山东,14,4分)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为 . 答案

11.(2013福建,11,5分)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1>0”发生的概率为 . 答案

三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点一 古典概型

1.(2018广东兴宁沐彬中学第二次月考,9)“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,共5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是 ( ) A. B. C. D. 答案 B

呵呵复活复活复活 朝花夕拾杯中酒2.(2017高考押题卷(一),4)世界最大口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用,它被誉为“中国天眼”,从选址到启用历经22年,FAST选址时对一万多个地方逐一审查,为了加快选址的工作进度,将初选地方分配给工作人员进行审查.若分配给某个研究员8个地方,其中有3个地方是贵州省的,某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究,则这个月他能到贵州省的概率为( ) A. B. C. D. 答案 D

3.(2017福建福州外国语学校上学期适应性测试(一),7)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是( ) A. B. C. D. 答案 B

4.(人教A必3,三,3-2-1,例3,变式)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的概率是( ) A. B. C. D. 答案 B

考点二 几何概型

5.(2018河北衡水高考模拟联考,2)如图所示是一个长方形,其内部阴影部分为两个半圆,在此圆形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )

A. B. C.1- D.1- 答案 B

6.(2017陕西榆林二模,4)若函数f(x)=在区间[0,e]上随机取一个实数x,则f(x)的值不小于常数e的概率是( )

A. B.1- C. D. 答案 B

x

7.(2017湖南永州第一次模拟,8)如图所示的阴影部分是由x轴,直线x=1及曲线y=e-1围成的,现向矩形区域OABC内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率是( )

A. B. C.1- D. 答案 D

8.(2017北京师大附中期中,14)已知菱形ABCD的边长为4,∠ABC=150°,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离均不小于1的概率为 . 答案 1-

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:45分 时间:30分钟)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2018广西柳州高级中学、南宁第二中学第二次联考,10)老师计划在晚修19:00—20:00解答甲、乙两名学

呵呵复活复活复活

朝花夕拾杯中酒生的问题,预计解答完一名学生的问题需要20分钟.若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的,则两人独自去时不需要等待的概率为 ( ) A. B. C. D. 答案 B

2.(2018陕西西安长安区第一中学第八次质量检测,9)如图,三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3; j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( ) A. B. C. D. 答案 D

2

3.(2017湖北襄阳优质高中联考,10)已知λ=3xdx,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,则在矩形ABCD内(包括边界)任取一点P,使得·≥λ的概率为( ) A. B. C. D. 答案 D

4.(2017山西大学附中第二次模拟,10)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-20,在区间(3,5)内任取一个实数作为数列{an}的公差,则Sn的最小值仅为S6的概率为( ) A. B. C. D. 答案 D

5.(2016湖北华师一附中3月联考,5)在区间[0,4]上随机取两个实数x,y,使得x+2y≤8的概率为( ) A. B. C. D. 答案 D

二、填空题(共5分)

6.(2018江西重点中学盟校第一次联考,14)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是 . 答案

三、解答题(共15分)

7.(2018广东佛山三水区实验中学第一次模拟,19)某游乐园为吸引游客推出了一项有奖转盘活动.如图所示,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,每个游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下:

①若xy≤3,则奖励玩具一个; ②若xy≥8,则奖励水杯一个; ③其余情况则奖励饮料一瓶.

(1)求在一次活动中获得玩具的概率;

(2)请比较一次活动中获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

解析 (1)用数对(x,y)表示游客转转盘先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16. 记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共有5个, 为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=, 故在一次活动中获得玩具的概率为.

呵呵复活复活复活 朝花夕拾杯中酒(2)记“xy≥8”为事件B,“3

则事件B包含的基本事件共有6个,为(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)==. 事件C包含的基本事件共有5个,为(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=. 因为>,所以获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法1 古典概型及其求解方法

1.(2017山西吕梁孝义高考热身试题,5)大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,则其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率为( )

A. B. C. D. 答案 A

2.(2017江西宜春二模,9)将一个质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,若已知出现了点数5,则使不等式a-b+3>0成立的概率为( ) A. B. C. D. 答案 C

3.(2018上海复旦大学附属中学月考,10)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数,要使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是,则k= . 答案 7

方法2 几何概型的概率求法

4.(2017湖南长沙四县3月联考,4)如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )

A.1- B. C. D.1- 答案 A

5.(2017湖北黄石调研,9)假设小明家订了一份牛奶,送奶工在早上6:00~7:00之间随机地把牛奶送到小明家,而小明在早上6:30~7:30之间随机地离家上学,则小明在离开家前能收到牛奶的概率是( ) A. B. C. D. 答案 D

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6.(2018广东东莞模拟,14)已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),当x,y∈R时,满足(x-2)+(y-2)≤4的概率为 . 答案

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