2020年九年级上学期第一次月考数学试题 (123)

2019----2020学年度北师大版九年级上学期第一次月考

数学试卷

一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）

1．一元二次方程x2=4x的解是( )

A．x=0

B．x=4

C．x1=2，x2=﹣2

D．x1=0，x2=4

2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )

A．正方形

B．菱形

C．矩形

D．等腰梯形

3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的

)

面积是矩形ABCD的面积的(

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )

A．4

B．1

C．2

D．﹣2

5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )

A ．

2

B ．

C ．

D．无法确定

6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )

A．AB=CD，AD=BC

B．AB=CD，AB∥CD

C．AB=CD，AD∥BC

D．AB∥CD，AD∥BC

7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )

A．梯形

B．正方形

C．矩形

D．菱形

8．下列说法不正确的是( )

A．一组邻边相等的矩形是正方形

B．对角线相等的菱形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形

D．有一个角是直角的平行四边形是正方形

9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( ) A．6

B．10

C．12

D．6或10或12

二、填空题（每小题3分，共27分）

10．请你给出一个m值，当m

=__________，使方程x2+m=0有整数根．

11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．

2

12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x

满足的方程为__________．

13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是

__________．

14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．

15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．

17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为

__________．

18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．

三、简答题（本大题共24分）

19．（16分）解方程：

（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；

（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；

（3）2x2+3x﹣1=0；

（4）（x﹣1）（x+2）=70．

2

20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．

四、证明题：（本题共10分）

21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．

（1）求证：BH⊥DE；

（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）

2

五、应用题

22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

2

六、探索证明

23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC 的中点．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

（直接写出结论，不必写证明过程）

2

2015-2016学年辽宁省丹东七中九年级（上）第一次月考

数学试卷

一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）

1．一元二次方程x2=4x的解是( )

A．x=0

B．x=4

C．x1=2，x2=﹣2

D．x1=0，x2=4

考点：解一元二次方程-因式分解法．

专题：计算题．

分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，

分解因式得：x（x﹣4）=0，

解得：x1=0，x2=4．

故选D．

点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．

2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )

A．正方形

B．菱形

C．矩形

D．等腰梯形

考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．

专题：证明题．

分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A

点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．

3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )

2

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：矩形的性质．

分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB 与△ABC同底且△AOB的高是△ABC 高的得出结论．

解答：解：∵四边形为矩形，

∴OB=OD=OA=OC，

在△EBO与△FDO中，

∵，

∴△EBO≌△FDO（ASA），

∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，

∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC 高的，

∴S△AOB=S△OBC =S矩形ABC D．

故选：B．

点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．

4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )

A．4

B．1

C．2

D．﹣2

考点：根与系数的关系．

分析：可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．

解答：解：设方程的另一根为x1，

又∵x=2，

∴x1?2=﹣4，

解得x1=﹣2．

2

故选D．

点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．

5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )

A ．

B ．

C ．

D．无法确定

考点：概率公式．

分析：列举出所有情况，看两次都是正面的情况占总情况的多少即可．

解答：解：随机掷一枚均匀的硬币两次，共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；

两次都是正面是其中的一种情况；

所以两次都是正面的概率是．

故选C．

点评：此题考查概率的求法．

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )

A．AB=CD，AD=BC

B．AB=CD，AB∥CD

C．AB=CD，AD∥BC

D．AB∥CD，AD∥BC

考点：平行四边形的判定．

分析：A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．

解答：解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，

故选：C．

点评：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )

A．梯形

B．正方形

2

C．矩形

D．菱形

考点：中点四边形．

分析：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．

解答：解：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，

如图所示：

已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC=BD，

求证：四边形EFGH为菱形，

证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，

∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，

∴EH∥BD，EH =BD，FG∥BD，FG =BD，

∴EH∥FG，EH=FG =BD，

∴四边形EFGH为平行四边形，

又EF为△ABC的中位线，

∴EF =AC，又EH =BD，且AC=BD，

∴EF=EH，

∴四边形EFGH为菱形．

故选D

点评：此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，以及菱形的判定，利用了数形结合及等量代换的思想，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．

8．下列说法不正确的是( )

A．一组邻边相等的矩形是正方形

B．对角线相等的菱形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形

D．有一个角是直角的平行四边形是正方形

考点：正方形的判定．

专题：证明题．

2

分析：根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进行分析，从而得到答案．

解答：解：A、矩形是对边平行且相等，加上一组邻边相等，正好属于正方形，故A选项正确；

B、菱形的对角线是相互垂直的，加上对角线相等，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故B选项正确；

C、矩形的对角线是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故C选项正确；

D、有一个角是直角的平行四边形，是符合矩形的判定方法，故D选项不正确；

故选D．

点评：此题主要考查学生对正方形的判定方法的理解及运用．

9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( ) A．6

B．10

C．12

D．6或10或12

考点：根的判别式；三角形三边关系．

分析：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．

解答：解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，

解得k ≥，

∵整数k＜5，

∴k=4，

∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，

∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，

∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．

∴△ABC的周长为6或12或10．

故选D．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．

二、填空题（每小题3分，共27分）

10．请你给出一个m值，当m=﹣1，使方程x2+m=0有整数根．

考点：根的判别式．

专题：开放型．

分析：由于x2=﹣m，所以﹣m是完全平方数且为正数．

解答：解：把方程变形得：x2=﹣m，

∵方程有整数根，

∴﹣m必须是完全平方数且为正数．

2

∴当m=﹣1时，方程x2+m=0有整数根．

故答案为：﹣1．

点评：本题考查了一元二次方程的解，属于开放题，注意答案的不唯一性，同时本题还考查了一元二次方程根的判别式的应用．

11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连

接OE，则线段OE

的长等于3

cm．

考点：菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．

分析：由菱形ABCD的周长为24cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E 是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．

解答：解：∵菱形ABCD的周长为24cm，

∴AD=6cm，AC⊥BD，

∵E是AD的中点，

∴OE=AD=3（cm）．

故答案为：3cm．

点评：此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为（40﹣2x）（26﹣x）=144×6．

考点：由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：几何图形问题．

分析：如果设甬路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为40﹣2x，26﹣x；那么根据题意即可得出方程．

解答：解：设甬路的宽度为xm，

那么草坪的总长度和总宽度应该为40﹣2x，26﹣x；

根据题意即可得出方程为：（40﹣2x）（26﹣x）=144×6．

点评：本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．

2

13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm ，则菱形的周长是20cm ，面积是24cm 2．

考点：菱形的性质；勾股定理．

专题：计算题．

分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，求出对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，然后根据周长公式计算即可求解；

根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可求解．

解答：解：∵菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，

∴两条对角线的长的一半分别是4cm和3cm，

∴菱形的边长为=5cm，

∴菱形的周长是：5×4=20cm；

面积是×8×6=24cm2．

故答案为：20cm，24cm2．

点评：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理的应用，菱形的面积的特殊求法，熟练掌握性质是解题的关键．

14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是4．

考点：概率公式．

分析：根据概率公式列出从中任取一个球恰好是红球的概率公式，求出n的值即可．

解答：解：袋子里有8个白球，n个红球，若从中任取一个球恰好是白球的概率是，根据题意可得：

=，

解得n=4．

故答案为：4．

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为10%．

考点：一元二次方程的应用．

专题：增长率问题；压轴题．

分析：此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．

解答：解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得

100×（1﹣x）2=81

2

解得x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去），

所以本题答案为0.1，即10%．

点评：找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为﹣1．

考点：一元二次方程的解；代数式求值．

专题：方程思想；整体思想．

分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=m入方程即可得到m2+3m的形式，再整体代入m2+3m=1，即可求解．

解答：解：根据题意得：m2+3m﹣1=0

∴m2+3m=1

∴2m2+6m﹣3=2（m2+3m）﹣3=2﹣3=﹣1

故答案是﹣1．

点评：此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．

17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为﹣1．

考点：一元二次方程的解．

专题：计算题．

分析：由题意知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，所以直接把一个根是0代入一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0中即可求出a．

解答：解：∵0是方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根，

∴a2﹣1=0，

∴a=±1，

但a=1时一元二次方程的二次项系数为0，舍去，

∴a=﹣1．

故答案为：﹣1．

点评：此题主要考查一元二次方程的定义，比较简单，直接把x=0代入方程就可以解决问题，但求出的值一点要注意不能使方程二次项系数为0．

18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为5．

2

考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

分析：取CD的中点F′，由菱形的性质可知点F′和F关于AC对称，故PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，PE+PF有最小值，然后求得EF′的长度即可．解答：解：取CD的中点F′，连接EF′交BD于点P．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AP⊥PB，P A =AC=4，PB =BD=3．

在Rt△ABP中，AB ==5．

∵ABCD为菱形，E、F′分别是AD、CD的中点，

∴PF=PF′．

∴PE+PF=PE+PF′．

两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，PE+PF的最小值．

∵EF′=AB，

∴PE+PF的最小值为5．

故答案为：5．

点评：本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用，明确当E、P、F′在一条直线上时PE+PF有最小值是解题的关键．

三、简答题（本大题共24分）

19．（16分）解方程：

（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；

（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；

（3）2x2+3x﹣1=0；

（4）（x﹣1）（x+2）=70．

考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．

专题：计算题．

分析：（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；

（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；

（3）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；

（4）方程整理后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解

解答：解：（1）分解因式得：（x﹣1）（x﹣1+2x）=0，

即（x﹣1）（3x﹣1）=0，

2

解得：x1=1，x2=；

（2）分解因式得：（2x﹣5+x+4）（2x﹣5﹣x﹣4）=0，即（x﹣9）（3x﹣1）=0，

解得：x1=9，x2=；

（3）这里a=2，b=3，c=﹣1，

∵△=9+4=17，

∴x =，

则x1=，x2=；

（4）方程整理得：x2+x﹣72=0，

分解因式得：（x﹣8）（x+9）=0，

解得：x1=8，x2=﹣9．

点评：此题考查了解一元二次方程﹣分解因式法，以及公式法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．

20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．

考点：列表法与树状图法．

专题：计算题．

分析：先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两数乘积大于10的结果数，然后根据概率公式求解．

解答：解：画树状图：

共有6种等可能的结果数，其中两数乘积大于10的结果数为2，

所以乘积大于10的概率==．

点评：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

四、证明题：（本题共10分）

2

21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．

（1）求证：BH⊥DE；

（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

分析：（1）先由四边形ABCD和CGFE是正方形求证△DCE≌△BCG，再得出BG⊥DE．（2）连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE，从而找到BD =，CE=BE ﹣BC =﹣1，根据全等三角形的性质求解即可．

解答：（1）证明：

∵正方形ABCD，

∴∠BCD=90°，BC=CD，

同理：CG=CE，

∠GCE=90°，

∴∠BCD=∠GCE=90°，

，

∴△BCG≌△DCE，

∴∠GBC=∠CDE，

在Rt△DCE中∠CDE+∠CED=90°，

∴∠GBC+∠BEH=90°，

∴∠BHE=180°﹣（∠GBC+∠BHE）=90°，

∴BH⊥DE；

（2）当CG =﹣1时BH垂直平分DE，

理由如下：

若BH垂直平分DE，连接BD，

∴BD=BE，

∵BD =

∴CG=CE=BE﹣BC =﹣1．

2

点评：此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．特殊图形的特殊性质要熟练掌握．

五、应用题

22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

考点：一元二次方程的应用．

专题：增长率问题．

分析：（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．

解答：（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分

根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．…4分

化简，得x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分

答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分

（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．

因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．

此时，售价为：60﹣6=54（元），．…9分

答：该店应按原售价的九折出售．…10分

点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．

六、探索证明

23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC 的中点．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

（直接写出结论，不必写证明过程）

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考点：正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．

分析：（1）根据三角形中位线的性质可得EF 平行且等于AB，GH =AB，GH∥AB，根据

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；

（2）根据临边相等的平行性四边形是菱形可得当四边形ABCD满足AB=CD时，EFGH是菱形；

（3）根据有一个角为直角的菱形是正方形可得当AB和CD垂直且相等时，四边形EFGH 是正方形．

解答：证明：（1）∵E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．

∴EF是△ABD的中位线，

∴EF 平行且等于AB，

同理GH =AB，GH∥AB，

∴EF∥GH，EF=GH，

∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）当四边形ABCD满足AB=CD时，EFGH是菱形，

因为，E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．

∴EF是△ABD的中位线，

∴EF 平行且等于AB，

同理EH 平行且等于CD，

∴EF=EH，

∵四边形EFGH是平行四边形．

∴平行四边形EFGH是菱形；

（3）当AB和CD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．

延长BA、CD交于M，

∵AB=CD时，EFGH是菱形，

∵AB⊥CD，

∴∠M=90°，

∵EF∥AB，EH∥CD，

∴∠FEH=∠M=90°，

∴四边形EFGH是正方形．

故梯形ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形EFGH是正方形．

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点评：此题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定、菱形和正方形的判定，关键是掌握平行四边形的判定、菱形和正方形的判定定理．

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