概率论与数理统计2—修改版答案

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（一）

一．选择题

1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 （D）样本事件

2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A）A1?{抽到的三个产品全是合格品} A2?{抽到的三个产品全是废品}

（B）B1?{抽到的三个产品全是合格品} B2?{抽到的三个产品中至少有一个废品} （C）C1?{抽到的三个产品中合格品不少于2个} C2?{抽到的三个产品中废品不多于2个} （D）D1?{抽到的三个产品中有2个合格品} D2?{抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A?B不等价的是 [ C ] （A）A?AB （B）(A?B)?B （C）AB （D）AB 4．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则A?B表示 [ C] （A）二人都没射中 （B）二人都射中 （C）二人没有都射着 （D）至少一个射中

5．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为. [ D] （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”； （C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销

6．设??{x|???x???},A?{x|0?x?2},B?{x|1?x?3}，则AB表示 [ A] （A）{x|0?x?1} （B）{x|0?x?1}

（C）{x|1?x?2} （D）{x|???x?0}?{x|1?x???}

7．在事件A，B，C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为 [ A] （A）AC?BC； （B）ABC； （C）ABC?ABC?ABC； （D）A?B?C.

8、设随机事件A,B满足P(AB)?0，则 [ D ] （A）A,B互为对立事件 (B) A,B互不相容

1

(C) AB一定为不可能事件 (D) AB不一定为不可能事件

二、填空题

1．若事件A，B满足AB??，则称A与B 互不相容或互斥 。 2．“A，B，C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为

ABC?ABC?ABC?ABC或AB?AC?BC 。

三、简答题：

1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：

（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。 答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝ （2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝ (3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝

2．设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件。 （1）A、B、C中只有A发生； （2）A不发生，B与C发生； （3）A、B、C中恰有一个发生； （4）A、B、C中恰有二个发生； （5）A、B、C中没有一个发生； （6）A、B、C中所有三个都发生； （7）A、B、C中至少有一个发生； （8）A、B、C中不多于两个发生。 答：

(1)ABC(6)ABC

(2)ABC(3)ABC?ABC?ABC(5)ABC(8)C?A?B?ABC

(4)ABC?ABC?ABC(7)A?B?C2

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（二）

一、 选择题：

1．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 [ B ] （A）

1111 （B） （C） （D）

181211362．袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球

的概率是 [ B ] （A）

3396 （B） （C） （D）

102025253． 已知事件A、B满足A?B，则P(B?A)? [ B] （A）P(B)?P(A) （B）P(B)?(A)?P(AB) （C）P(AB) （D）P(B)?P(AB)

4．A、B为两事件，若P(A?B)?0.8,P(A)?0.2,P(B)?0.4，则 [ B] （A）P(AB)?0.32 （B）P(AB)?0.2 （C）P(B?A)?0.4 （D）P(BA)?0.48

5．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D] （A）

744!?6!4!?7! （B） （C） （D）

101010!10!二、选择题：

1．设A和B是两事件，则P(A)?P(AB)? P(AB)

2．设A、B、C两两互不相容，P(A)?0.2,P(B)?0.3,P(C)?0.4，则P[(A?B)?C]?0.5

P[(A?B)?C]?P(A?B)?P((A?B)C）解答：?P(A?B)?P(?)(因为A,B,C两两互不相容）

＝P(A)+P(B)?0.53．若P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A?B)?0.3，则P(A?B)? 0.8 。

P(A?B)?P(A)?P(AB)解：0.3?0.5?P(AB)?P(AB)?0.2

P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.83

4．设两两独立的事件A，B，C满足条件ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?1，且已知 2P(A?B?C)?9，则P(A)?1/4 。 16P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)2解：9/16?3P(A)?3P(A)(A,B,C两两独立，且ABC=?)

P(A)?1/4(3/4舍）5．设P(A)?P(B)?P(C)?率为 1/2 。

11，P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?，则A、B、C全不发生的概

84P(ABC)?1?P(A?B?C)解：

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?3/4?2/8?0?1/2(ABC?AB)

6．设A和B是两事件，B?A，P(A)?0.9,P(B)?0.36，则P(AB)?0.54 。 解：P(AB)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.54(B?A)

三、计算题：

1．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率；

（2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。

33(1)P1?C8/C12?14/5513(2)P2?C82C4/C12?28/55解：（1）

(3)P3?1?P1?41/5533(4)P4?(C83?C4)/C12?41/55

2．加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解：A,B,C,D分别表示第一、二、三四道工序出现次品

P(A)?2%,P(B)?3%,P(C)?5%,P(D)?3%加工出的成品率P(ABCD)?P(A)P(B)P(C)P(D)?0.98*0.97*0.95*0.97?0.876次品率1－P(ABCD)＝0.1244

3．袋中人民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。

法一：大于12的有13,14,15,16P（大于12元）＝P(13)?P(14)?P(15)?P(16)235221521255解：?C2C3/C10?C2C3C5/C10?C2C3C5/C10?C22C53/C10?2/9

法二：235P（大于12元）＝C2C8/C10?2/9

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（三）

选择题：

一、

1．设A、B为两个事件，P(A)?P(B)?0，且A?B，则下列必成立是 [ A ] （A）P(A|B)?1 （D）P(B|A)?1 （C）P(B|A)?1 （D）P(A|B)?0 2．设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”，B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)=[ D ]。 （A）

6644 （B） （C） （D） 1016711 3．设A、B为两事件，且P(A),P(B)均大于0，则下列公式错误的是 [ B ] （A）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) （B）P(AB)?P(A)P(B) （C）P(AB)?P(A)P(B|A) （D）P(A)?1?P(A)

4．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 [ B ] （A）

5

2113 （B） （C） （D） 5525

解：A：至少有一件不合格品，B：两件均是合格品。B?A

2C4P(AB)P(B)4?3/2P(B|A)???2??1/5 11P(A)P(A)C4?C4C66?24

5．设A、B为两个随机事件，且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A)，则必有 [ C ] （A）P(A|B)?P(A|B) （B）P(A|B)?P(A|B) （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(AB)?P(A)P(B)

0?P(A)?1,P(B)?0,P(AB)P(BA)P(B)?P(AB)??P(A)P(A)1?P(A)解：?P(AB)(1?P(A))?P(A)(P(B)?P(AB))

?P(AB)?P(AB)P(A)?P(A)P(B)?P(A)P(AB)P(B|A)?P(B|A)??P(AB)?P(A)P(B)二、填空题：

1．设A、B为两事件，P(A?B)?0.8,P(A)?0.6,P(B)?0.3，则P(B|A)? 1/6

?P(A?B)?0.8,P(A)?0.6,P(B)?0.3?0.8?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.3?P(AB) 解：P(AB)?0.1

?P(B|A)?P(AB)0.1??1/6P(A)0.62．设P(A)?0.6,P(A?B)?0.84,P(B|A)?0.4，则P(B)? 0.6

P(AB)P(A)?P(AB)0.6?P(AB)??P(A)P(A)0.6解：?0.6?P(AB)?0.24,?P(AB)?0.36

?P(A)?0.6,P(B|A)?0.4??P(A?B)?0.84?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?P(B)?0.36?P(B)?0.6 3．若P(A)?0.6,P(B)?0.8,P(B|A)?0.2，则P(A|B)? 0.9

6

P(A)?0.6,P(B)?0.8,P(B|A)?0.2?解：

P(BA)0.8?P(AB)0.8?P(AB)??P(A)1?P(A)0.4?P(AB)?0.72P(A|B)?P(AB)0.72??0.9P(B)0.8

4．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的

概率为 0.735

解：A：合格品；C：一等品. P(C|A)?0.75,P(C)?P(A)P(C|A)?0.98*0.75?0.735

5．已知A1,A2,A3为一完备事件组，且P(A1)?0.1,P(A2)?0.5,P(B|A1)?0.2P(B|A2)?0.6

P(B|A3)?0.1，则P(A1|B)? 1/18

P(A1|B)?解：

P(A1B)P(A1)(B|A1)?P(B)P(A1)(B|A1)?P(A2)(B|A2)?P(A3)(B|A3)?0.1?0.2?1/180.1?0.2?0.5?0.6?0.1?0.4

三、计算题：

1．某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？

解：A: 某种动物由出生活到10岁.B: 某种动物由出生活到12岁

B?A?P(B|A)? P(AB)P(B)??0.7P(A)P(A)2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙

车间的正品率为95%，求：

（1）任取一件产品是正品的概率；

（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。

解：A：某产品由甲两车间生产。B：任取一件产品是正品。

P(A)?0.6,P(A)?0.4,P(B|A)?0.9,P(B|A)?0.95已知：(1)P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.6?0.9?0.4?0.95?0.92

(2)P(A|B)?

P(AB)P(A)P(B|A)0.4?(1?0.95)???25%1?P(B)1?0.92P(B)7

3．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B失灵的条件下，A有效的概率。

解: 设A为系统A有效, B为系统B有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B|A)?0.85

(1) 两个系统至少一个有效的事件为A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即A?B?AB, 而P(B|A)?1?P(B|A)?1?0.85?0.15, 则

P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.92)?0.15?0.08?0.15?0.012P(A?B)?1?P(AB)?1?0.012?0.988(2) B失灵条件下A有效的概率为P(A|B), 则

P(A|B)?1?P(A|B)?1?

P(AB)0.012?1??0.829

P(B)1?0.934．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区

别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为0.96,0.92和0.90。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？ 解：A：这瓶酒是一等品。

B1,B2,B3分别表示甲、乙、丙说是一等品。B1,B2,B3相互独立。

已知：

8

P(B1|A)?0.96,P(B2|A)?0.92,CP(B3|A)?0.9,P(A)??5/12CP(B1B2B3)?P(B1B2B3|A)P(A)?P(B1B2B3|A)P(A)?P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)?P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)55?0.96?0.08?0.1??0.04?0.92?0.9?(1?)1212P(B1B2B3A)P(A|B1B2B3)?P(B1B2B3)P(B1B2B3|A)P(A)?P(B1B2B3)50.96?0.08?0.1?12?550.96?0.08?0.1??0.04?0.92?0.9?(1?)1212?14.2%9

110124概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（四）

一、选择题：

1．设A，B是两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则一定有P(A?B)? [ B ] （A）P(A)?P(B) （B）1?P(A)P(B) （C）1?P(A)P(B) （D）1?P(AB) 2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 [ B ] （A）0.75 （B）0.56 （C）0.50 （D）0.94 3．某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ] （A）0.8?0.2 （B）0.8 （C） 4．设A，B是两个相互独立的事件，已知P(A)?23222?0.82 （D）C50.82?0.23 511,P(B)?，则P(A?B)? [ C ] 23 （A）

1523 （B） （C） （D） 2634 5．若A，B之积为不可能事件，则称A 与B [ B ] （A）独立 （B）互不相容 （C）对立 （D）构成完备事件组 二、填空题：

1．设A与B是相互独立的两事件，且P(A)?0.7,P(B)?0.4，则P(AB)? 0.12 2．设事件A，B独立。且P(A)?0.4,P(B)?0.7，则A，B至少一个发生的概率为 0.82 3．设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为

C52(0.1)3(0.9)2?0.0081

4．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率为 C5(0.2)(0.8)?0.2048 ，5件中至多有2件次品的概率 2230.2)0(8.?)C5 C5(0.8)?C5(05142230(2.)0(?8.)090 8 . 4 2 。

三、计算题：

1．设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为

10

P?K?2?P(k)?1?P(0)?P(1)

666656 ?1?(0.4)?6?(0.6)(0.4)?0.95904

2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。

解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则P(A)?0.2 所求的概率为 P?C3P(A)P(A)?C3P(A)P(A) ?(0.2)?3?(0.2)?0.8?0.104

3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。 解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” Dk =“k人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中” P(D1)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) ?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36 3203012P(D2)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) ?0.4?0.5?0.3?.0?4.0?5.0?7.0?6.0?5.0? 7.P(D3)?P(ABC)?0.4?0.5?0.7?0.14

D)P(H|1D?) P(H)?P(1P(D)2D)P(H2|?3P(D)P( H3|D) ?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458

4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为p。 （1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）； （2）求缺陷在第n个过程结束之前被查出的概率；

（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。

（4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；

（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设p?0.5）。

11

解：设Ak =“第k个过程前有缺陷的元件被查出” B =“元件有缺陷” C =“元件通过检查” （1） P(A1?A1A2)?P(A1)?P(A1)P(A2)?p?p(1?p)?2p?p （2） P(A1?A1A2?A1A2A3???A1A2?An?1An) ?p?p(1?p)?p(1?p)???p(1?p) ?1?(1?p) （3）P(A1A2A3)?(1?p) （4）P(C)?P(BA1A2A3?B)?0.1?(1?p)?0.9 （5）P(A1A2A3|C)?3322n?1

nP(BA1A2A3) P(C)0.1(1?p)3?0.0137 （p?0.5） ?0.1(1?p)3?0.95．设A，B为两个事件，P(A|B)?P(A|B),P(A)?0,P(B)?0，证明A与B独立。 证： 由于P(A|B)?P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)? P(A|B)? P(B)1?P(B)P(B) 已知 P(A|B)?P(A|B) 有 P(AB)P(A)?P(AB) ?1?P(B)P(B) 即 P(AB)?P(A)P(B) 所以 A与B独立

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（五）

一、选择题：

12

1．对于任意两个事件A和B [ B ] （A）若AB??，则A，B一定独立 （B）若AB??，则A，B有可能独立 （C）若AB??，则A，B一定独立 （D）若AB??，则A，B一定不独立 2．设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1，则 [ D ] （A）事件A和B互不相容 （B）事件A和B互相对立 （C）事件A和B互不独立 （D）事件A和B相互独立

3．设A，B为任意两个事件且A?B，P(B)?0，则下列选项必然成立的是 [ B ] （A）P(A)?P(A|B) （B）P(A)?P(A|B) （C）P(A)?P(A|B) （D）P(A)?P(A|B) 二、填空题：

1．已知A，B为两个事件满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)? 1?p 2．设两两独立的事件A，B，C满足条件ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?1，且已知 2P(A?B?C)?9，则P(A)? 0.25 163．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 2/3 三、计算题：

1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为率相等，求A发生的概率P(A) 解：已知 P(AB)?P(A)P(B)?1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概91 又P(AB)?P(BA) 9 而 P(AB)?P(A)?P(AB) P(BA)?P(B)?P(AB) 所以，有P(A)?P(B) P(A)? 故 P(A)?

2．如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善

13

1 32 3可靠性。在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。

解：设一个电路闭合的可靠性为p，已知 C2p(1?p)?p?0.96，

所以 p?0.8

设n个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999 则

12?Ck?1nknkp(1?p)??Cn(0.8)k(0.2)n?k?1?(0.2)n?0.9999 kkk?1n 即 (0.2)?0.000 1 n?nlg0.0001?5.722, 7

lg0.2所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。

3．将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为?，而输出为其他一字母的概率为

1??。今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道，输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分2别为p1,p2,p3(p1?p2?p3?1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的） 解：P(AAAA|ABCA) ?P(AAAA)P(ABCA|AAAA) P(AAAA)P(ABCA|AAAA)?P(BBBB)P(ABCA|BBBB)?P(CCCC)P(ABCA|CCCC)2?1???p1??2??2?? ? 233?1????1????1???3p1??2???p????p???2??????2??2??2? ?

4．一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为

2p1? (3p1?1)??p2?p3?nn!e??(n?0,1,2,?)，假设产品的优质

14

率为p(0?p?1)。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：

（1）计算生产线在两次故障间共生产k件（k = 0，1，2，?）优质品的概率；

（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。 解：

An:生产n件产品不出故障；B:共生产k件优质品。????1）P(B)??P(B|Akn)P(An)??CknP(1?P)n?k?nn?kn?kn!e?? 2）P(AP(AmB)P(B|Am)P(Am)m|B)?P(B)?P(B)

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量及其分布（一）

一．选择题：

1．设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是 [ ] Xxxx （A）

123x4Xxx2x3x4p1214181 （B）

116p1214181

8Xx1x2x3x4Xx1x2xx （C）

34p11 （D）

2131 412p11

2134?112 2．设随机变量ξ的分布列为 X0123p0.10.30.40.2F(x)为其分布函数，则F(2)= [ ]

（A）0.2 （B）0.4 （C）0.8 （D）1

二、填空题：

1．设随机变量X 的概率分布为

X012pa0.20.5，则a =

15

（（

2.(1)FY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)?0 y?1 ? ?FX(lny)??lny 1?y?e?1 y?e ??1dFY(y)? 1?y?e?fY(y)???yy?0 other?(2)FY(y)?P(Y?y)?P(?2lnX?y)?P(X?e ?1?P(X?ey?2?y2X

)y???1?e2 0?y??? )???? 0 y?0 y?1?2dFY(y)?e 0?y????fY(y)???2y?0 other?3．设X~N(0,1)，求： （1）Y?2X?1的概率密度； （2）Y?|X|的概率密度。

2

21

3.(1)FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)y?1 ?P(??X?2 ?2P(X?y?1)2

2y?1y?1)?1?2FX()?122y?111?fY(y)?2fX()222y?1 ?11ey?1?222(y?1)2??112(y?1)2?e?y?14(y?1)y?1??14e y?1??fY(y)??2?(y?1)?0 other?

22

(2)FY(y)?P(Y?y)?P(X?y) ?P(?y?X?y)?2?X(y)?1?1e y?0 ?2 ?fY(y)??2??0 other? ?2x?4．设随机变量X的概率密度为f(x)???2??0

y2?20?x??其他，求Y?sinX的概率密度。

4.FY(y)?P(Y?y)?P(sinX?y)?P(X?arcsiny?X???arcsiny ) ?P(X?arcsiny)?1?P(X???arcsiny)?fY(y)?fX(arcsiny) ?2arcsiny11?y211?y2?fX(??arcsiny)(?11?y211?y2)?2?2(??arcsiny)?2(0?y?1)2? 0?y?1?2?fY(y)???1?y?0 other?

23

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第三章 多维随机变量及其分布（一）

一、填空题：

?Axy2,0?x?1,0?y?11、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，则常数

?0,其他A?1/6 。

1?????????x21y31f(x,y)dxdy?A?xdx?ydy?A|0|0?6A 00231122、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??数A? 4/? 。

2?Aarctanx?arctany,x?0,y?0，则常

?0,其他1?F(??,??)?Alimarctanxlimarctany?Ax??y???24

二、计算题：

1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： X???0若第一次出的是正品?0若第二次出的是正品 ， Y??

?1若第一次出的是次品?1若第二次出的是次品试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：1．（1）放回抽样 （2）不放回抽样

Y 0 1 Y 0 1

X X

0 25/36 5/36 0 15/22 5/33

1 5/36 1/36 1 5/33 1/66

2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求

X Y 13（1）P{?X?,0?Y?4}，

221201/430041/161/401224

1/41/16031/161/16（2）P{1?X?2,3?Y?4}

13P{?X?,0?Y?4}22解：（1）?P(X?1,Y?2)?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?1)，

?1/4P{1?X?2,3?Y?4}（2）?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?4)?P(X?2,Y?3)?P(X?2,Y?4)

?5/16

3．设随机变量(X,Y)的联合分布律如表：

求：（1）a值； （2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y) （3）(X,Y)关于X，Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y) 解：（1）1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3

Y ?1 0 X 1 1/4 1/4 2 1/6 a ?0?1??4??5F(x,y)??（2）?12?1?2??1?（3）

x<1或y<-11?x?2,?1?y?0x?2,?1?y?01?x?2，y?0x?2,y?0

25

X

Y 0 1 p? j

-1 0 1/4 1/4 1/6 1/3 5/12 7/12

pi?

1/2

1/2

?0x?1?1?FX(x)??1?x?2；?2??1x?2?0y??1?5?FY(y)???1?y?0.

?12y?0??1?k(6?x?y)0

0其他? （1）常数k； （2）求P{X?1,Y?3}； （3）P{X?1.5}； （4）P{X?Y?4}

1（1）?0?2k(6?x?y)dydx?1?k?;

81313（2）P(X?1,Y?3)??0?2(6?x?y)dydx?;

8824（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,2?Y?4)??21.50?42127(6?x?y)dydx?; 832（4）P(X?Y?4)??0?4?x212(6?x?y)dydx?. 8326

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第三章 多维随机变量及其分布（二）

一、选择题：

1、设随机变量X与Y独立，且X?N(?1,?1),Y?N(?2,?2)，则Z?X?Y仍服从正态分布，且有

[ D ] （A）Z?N(?1??2,?1??2) (B) Z?N(?1??2,?1??2) (C) Z?N(?1??2,?1??2) (D) Z?N(?1??2,?1??2) 2、若(X,Y)服从二维均匀分布，则 [ B ] （A）随机变量X,Y都服从均匀分布 （B）随机变量X,Y不一定服从均匀分布 （C）随机变量X,Y一定不服从均匀分布 （D）随机变量X?Y服从均匀分布 二、填空题：

2222222222?2xy?x?,0?x?1,0?y?21、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??， 3?其他.?0,则P(X?Y?1)? 。

11?x1xxy2x25x37(x?)dy?1??(??)dx?

0633682 1?P(X?Y?1)?1??dx?00?32?x,0?x?22、设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为f(x)??8，设A?{X?a}与

??0,其他B?{Y?a}相互独立，且P(A?B)?3，则a? 4a034 。

P(A)?P(X?a)?1?P(X?a)?1??3x2a3dx?1? 88P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2P(A)?[P(A)]2

27

a3a32a63 ?2(1?)?(1?)?1??

88644三、计算题：

ab,P{Y??k}?2,(k?1,2,3)，X与Y独立，确定a，b的值，求出(X,Y)kk的联合概率分布以及X?Y的概率分布。

1．已知P{X?k}? 解：由归一性

?P(X?k)?a?kaa11a6???1 所以 a? 23611bb49b36 ???1 所以 b?493649 Y ?3 ?2 ?1 X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 由归一性

?P(Y??k)?b?k(X,Y)的联合概率分布

由于 P(X?Y??2)? P(X?Y??1)?24 539666 ?5394925112672 P(X?Y?1)? P(X?Y?2)? P(X?Y?0)?539539539X?Y的概率分布为：

X?YP

?224539?16653901272 539251126539539?12e?3x?4y,x?0,y?02．随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)??，分别求下列概率密度函

其他?0,数：（1）Z?X?Y； （2）M?max{X,Y}； （3）N?min{X,Y}。 解：（1）FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ?x?y?z??f(x,y)dxdy??dx?0zz?x012e?3x?4ydy

28

?3?z?3x0e(1?e?4(z?x))dx

?(?e?3x?3ex?4z)|z0

?1?4e?3z?3e?4z

即 F?0z?0Z(z)???1?4e?3z?3e?4zz?0

所以 Z的概率密度函数为 f?0z?0Z(z)???12e?3z?12e?4zz?0

或 当z?0时，fZ(z)?0 当z?0时， fZ(z)??????f(x,?zx) dx ??z012e?3x?4(z?x)dx

?12e?4z?ex|z0

?12e?4z?(ez?1)

所以 Z的概率密度函数为 f?0z?0Z(z)???12e?3z?12e?4zz?0

（2）由于fxX(x)????)dy??????f(x,y012e?3x?4ydy?3e?3

fY(y)????f(x,y)dy??????012e?3x?4ydx?4e?4y

则X与Y相互独立。 当z?0时，FM(z)?0

当z?0时，FM(z)?P(M?z)?P(X?z,Y?z)?P(X?z)P(Y?z) ?FX(z)FY(z)?(1?e?3z)(1?e?4z)

所以 f?0M(z)???3e?3z(1?e?4z)?4e?4z(1?3?3z)?3e?3z?4e?4z?7e?7z29

z?0z?0

（3） 当z?0时，FN(z)?0 当z?0时，

FN(z)?P(N?z)?1?P(N?z)?1?P(X?z,Y?z)?1?P(X?z)P(Y?z)

?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]?1?e 所以 fN(z)??

3．设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U(0,1)。试求 （1）Z?X?Y的分布函数与概率密度函数； （2）U?2X?Y的概率密度函数。 解：（1）fZ(z)??3z?4ze?1?e?7z

?0?7z?7ez?0z?0

??????z?x? 1)fX(x)fY(z?x)dx (0?x?1,0 当z?0或z?2时，fZ(z)?0 当0?z?1时，fZ(z)? 当1?z?2时，fZ(z)??1z0dx?z dx?2?z

?z?10?z?1?z? 所以，fZ(z)??2?z1?z?2

?0其他?

（2）当u??1时，FU(u)?0；当u?2时，FU(u)?1 当?1?u?0时，FU(u)??1udy?y?u20dx??1uy?u1dy?(1?2u?3u2)； 24 当0?u?1时，FU(u)??10dy?1y?u20dx?2x?u1(1?2u)； 4 当1?u?2时，FU(u)?1??dx?u20u2dy?u?

430

??0u??1?1?(1?2u?3u2)?1?u?0 即 U?2X?Y的分布函数为： F?4?1U(u)??(1?2u)0?u?1 ?4?u2?u?1?u??42??1u?2 所以 U?2X?Y的概率密度函数为：

??13u2??1?u?0?21f(u)?F(u)???0?u?1UU??

?2?1?u1?u?2?2??0其它

4．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为f?10?x?1?Ae?yX(x)??，?0其它fY(y)???0求：（1）常数A， （2）随机变量Z?X?Y的概率密度函数。 解：（1） 由于1?F?yY(??)????0Aedy??Ae?y|??0?A，所以A = 1

（2） 随机变量Z?X?Y的概率密度函数

f??Z?z?????fX?x?fY?z?x?dx （0?x?1,z?x?0）

当Z?0时，fZ?z??0 当0?z?1时，fZ?z???z01?e?(z?x)dx?e?z?zexdx?1?e?z0

当z?1时， fZ?z???10e?(z?x)dx?e?z?1exdx?e?z?1?e?z0

31

y?0y?0，

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一）

一、选择题：

1．设随机变量X，且E(X)存在，则E(X)是 [ B ] （A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数

x?1?9?e 2．设X的概率密度为f(x)??9?0?x?0x?0，则E(?1X)? [ C ] 9xx1??1??99 （A）?x?edx （B）??x?edx （C）?1 （D）1

9??9?? 3．设?是随机变量，E(?)存在，若?? （A）E(?) （B）二、填空题：

??23，则E(?)? [ D ]

E(?)E(?)2 （C）E(?)?2 （D）? 333 1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则E(X)? 0.5

(x?1)?1e8，则E(2X2?1)? 9 2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为f(x)?22?222 ? 3．设随机变量X的概率分布 X ? 1 0 1 2 ，则E(X?3X)? 116/15

P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30

4．设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???)，则E(X)? 0 2三、计算题：

1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编

32

号，求E(X)

解：X的可能取值为3，4，5

2C32C43611 P(X?3)?3?， P(X?4)?3? P(X?5)?3?101010CCC555E(X)?3?

133?4??5??4.5 101052．设随机变量X的密度函数为f(x)???2(1?x)0?x?1，求E(X)

0其它?解：E(X)?

?10x?2(1?x)dx?1 3 3．设随机变量X~N(?,?)，求E(|X??|) 解：

2????|x??|y2212??dy?e2??(x??)22?2dx令y?x????2?????|y|e?y22dy

?2?2???0ye???

?e?x 4．设随机变量X的密度函数为f(x)???0（1） Y1?e?2Xx?0x?0，试求下列随机变量的数学期望。

（2）Y2?max{X,2} （3）Y3?min{X,2}

解：（1）E(Y)? （2）E(Y2)????0e?2x?e?xdx???21 3?2202e?xdx??xe?xdx

?2 ?2?2e（3）E(Y3)??3e?2?2?e?2

??2?0xedx??2e?xdx

?2e?2?1?e?2

?x ?1?3e

?233

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（二）

一、选择题：

1．已知E(X)??1,D(X)?3，则E[3(X?2)]? [ B ]

2 （A）9 （B）6 （C）30 （D）36

2．设X~B(n,p)，则有 [ D ] （A）E(2X?1)?2np （B）D(2X?1)?4np(1?p)?1 （C）E(2X?1)?4np?1 （D）D(2X?1)?4np(1?p)

3．设?服从参数为?的泊松分布，??2??3，则 [ D ] （A）E(?)?2??3D(?)?2??3 （B）E(?)?2?D(?)?2?

（C）E(?)?2??3D(?)?4??3 （D）E(?)?2??3D(?)?4? 二、填空题：

1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 D(X)? 0.45 2．设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???)，则D(X)? 2 2D(X)? 1/3 2[E(X)] 3．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则

4．设正态分布Y的密度函数是1?e?(y?3)，则D(X)? 1/2

2三、计算题：

1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：Y?2X?1的期望与方差；

解：E(X)?1?0.3?2?0.5?3?0.2?1.9

D(X)?E(X2)?(EX)2?1?0.3?4?0.5?9?0.2?(1.9)2?0.49

34

E(Y)?2E(X)?1?2.8 D(Y)?4D(X)?1.96

2．设随机变量X~N(0,1)，试求E|x|、D|X|、E(X)与E(X)

34| 解： E|X??????|x?|12??ex22d?x2???12?0e?x22dx = sqrt(?/2)

E(X2)????x22???e?x22dx?????x2???de?x22??12?[xe?x22??????e?????x22dx] = 1

所以D|X|?E(|X|2)?(E|x|)2?E(X2)?1??/2?1

? E(X)?3????x32?x4e??x22dx = 0

? E(X)?

4???2?ex22dx???x3??2?de?x22??3?x2??2?e?x22dx = 3

0?x?2?ax3?3．设随机变量X的分布密度为f(x)??bx?c2?x?4，已知E(X)?2,P(1?X?3)?，求：

4?0其它?（1）常数A，B，C的值； （2）方差D(X)； （3）随机变量Y?e的期望与方差。 解：（1）2?E(X)? ?X?20x?axdx??x(bx?c)dx

2456a32b34c248b?6c x|0?x|2?x|2?a?33332856a?b?6c?2 3335

得

P(1?X?3)?34 得 32a?532b?c?4 ?????f(x)dx?1 得 2a?6b?2c?1

所以 解得a?14,b??14,c?1. (2)D(X)????2214??(x?2)f(x)dx??04x(x?2)2dx??2(1?14x)(x?2)2dx

?23 (3)E(Y)????x??ef(x)dx??214xexdx??402(1?114x)exdx?4(e2?1)2

D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2??????e2xf(x)dx?[12224(e?1)] ?14e2(e2?1)2

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（三）

一、选择题：

1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?EX?EY，则 [ C （A）D(XY)?D(X)D(Y) （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （C）X与Y相互独立 （D）X与Y不相互独立

2．由D(X?Y)?D(X)?D(Y)即可断定 [ A ] （A）X与Y不相关 （B）F(x,y)?FX(x)?FY(y)

36

]

（C）X与Y相互独立 （D）相关系数?XY??1 二、填空题：

1．设维随机变量(X,Y)服从N(0,0,1,1,0)，则D(2X?3Y)? 13 2．设X与Y独立，且D(X)?6，D(Y)?3，则D(2X?Y)? 27 三、计算题：

1． 已知二维随机变量(X,Y)的分布律如表： 试验证X与Y不相关，但X与Y不独立。 解：X的分布律为:

X ?1 0 1 P 0.375 0.25 0.375 Y的分布律为:

X ?1 0 1 P 0.375 0.25 0.375

E(X)?(?1)?0.375?0?0.25?1?0.375?0

X Y ?1 0 1 ?1 0.125 0.125 0125 0 0.125 0 0.125 1 0.125 0.125 0.125 E(Y)?(?1)?0.375?0?0.25?1?0.375?0

E(XY)?(?1)?(1)?01.25??(1)?0?0.125?(?1)?1? 0. ?0?1?(?1)?0.125?0?1?1?0.125 = 0

?xy?E(XY)?E(X)E(Y)?0 所以X与Y不相关。

P(X??≠1,Y??1)?0.125P(X??1)P(Y??1)?0.375?0.375 所以X与Y不相互独立。

2．设D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，求：D(X?Y),D(X?Y) 解：Cov(X,Y)??xy?D(X)D(Y)?0.4?5?6?12

D(X?Y)?D(X)?2Cov(X,Y)?D(Y)?85， D(X?Y)?D(X)?2Cov(X,Y)?D(Y)?37

37

3．设X~N(0,4),Y~U(0,4)，且X，Y相互独立，求：E(XY),D(X?Y),D(2X?3Y)

4244?0解：E(X)?0,D(X)?4， E(Y)??，?xy?0 ?2，D(Y)?1232 E(XY)?0,

416?, 33D(X?Y)?D(X)?D(Y)?4?D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28

?e?(y?5)?2x0?x?14．设X，Y相互独立，其密度函数分别为fX(x)??，fY(y)??其它?0?0y?5y?5，求

E(XY)

2x312解：E(X)??x?2xdx?|0?

0331 E(Y)????5)??y?e?(y?5dy??ee5?y(y?1)| 65?E(XY)?E(X)E(Y)?

2?6?4 3概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．设?n是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的??0均有limP{n???nn?p??} [ A ]

（A）?0 （B）?1 （C）?0 （D）不存在

2．设随机变量X，若E(X)?1.1,D(X)?0.1，则一定有 [ B ]

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（A）P{?1?X?1}?0.9 （B）P{0?X?2}?0.9 （C）P{|X?1|?1}?0.9 （D）P{|X}?1}?0.1

3．X1,X2,?,X1000是同分布相互独立的随机变量，Xi~B(1,p)，则下列不正确的是 [ D ]

1000b?1000pa?1000p11000P{a?X?b}??()??() （A） （B）X?p??ii1000i?11000pq1000pqi?11000 （C）

?Xi?1i~B(1000,p) （D）P{a??Xi?b}??(b)??(a)

i?11000二、填空题：

1．对于随机变量X，仅知其E(X)?3,D(X)?2241. ，则可知P{|X?3|?3}? 22525 2．设随机变量X和Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，则根据契比雪夫不等式PX?Y?6? 三、计算题：

1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？

解：设第i件零件的重量为随机变量Xi，根据题意得EXi?0.5,DX?0.1.

5000??1. 12 E(?X)?5000?0.5?2500,D(?X)?5000?0.01?50.

iii?1i?150005000P(?Xi?2510)?P(

i?15000?Xi?1i?250050?10)50?1??(2)?1?0.9207?0.0793.

2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在

(?0.5,0.5)上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

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（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？

1500 解：（1）X?U(?0.5,0.5),E(?Xi)?0,D(?Xi)?1500?i?1i?115001?125. 1215001500 P(|?Xi|?15)?P(i?1n?Xi?1ni125?1535)?2[1??()]?2[1??(1.3)]?0.18.

5125 （2）P(|?Xi|?10)?P(i?1|?Xi|i?1n12?1010)?0.90??()?0.95. nn1212 根据?的单调性得10102?1.645，故n?12?()?443.4.

1.645n12 所以n最多为443个数相加.

3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解：（1）令Xi?1为第i个病人治愈成功，反之则Xi?0. 令Y??X,Y?B(100,0.8),E(Y)?80,D(Y)?16.

ii?1100)P( P(Y?75?Y?807?5805??)?(?)416160.8 944. （2）令Xi?1为第i个病人治愈成功，反之则Xi?0.

令Y??X,Y?B(100,0.7),E(Y)?70,D(Y)?21.

ii?1100P(Y?75)?P(Y?7075?705?)?1??()?0.1379. 212121 4．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个

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