中考复习之三角函数的综合运用

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中考复习之三角函数的综合运用

知识考点：

本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。 精典例题：

【例1】如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。

（参考数据：2＝1.41421 ，＝1.73205 ）

分析：此题可先通过解Rt△ABD求出塔高AB，再利用CE＝BD＝80米，解Rt△AEC求出AE，最后求出CD＝BE＝AB－AE。

A

解：在Rt△ABD中，BD＝80米，∠BAD＝600

∴AB＝BD tan60 138.56（米） 在Rt△AEC中，EC＝BD＝80米，∠ACE＝450

∴AE＝CE＝80米

∴CD＝BE＝AB－AE＝ 80 58.56（米）

E

B

DF

例1图

答：塔AB的高约为138. 56米，楼CD的高约为58. 56米。

【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝

450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 30， 45，

求大桥AB的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，＝1.73）

分析：要求AB，只须求出OA即可。可通过解Rt△POA达到目的。 解：在Rt△PAO中，∠PAO＝ 30

∴OA＝PO cot PAO 450cot30 （米） 在Rt△PBO中，∠PBO＝ 45 ∴OB＝OP＝450（米）

∴AB＝OA－OB＝ 450 329（米） 答：这座大桥的长度约为329米。

O

B

A

00

P

例2图

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以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习

1

中考复习之三角函数的综合运用

评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。

【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？

分析：此题可先求出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论。

解：过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D

∵cot30

ADBC0

，cot60 CDCD

∴AD CD cot30，BD CD cot60 ∴AD BD CD(cot300 cot600) 20 ∴CD

203

3

∵10＞10

∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。

评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。

北

北

C

DC

600

西

A南

B

D

东

南

AEF

B

例4图

【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝3米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度i＝1∶3，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB。

分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。

解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F，在Rt△ADE和Rt△BCF中

例3图

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2 以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习

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∵sinA

DE81

AD162

∴∠A＝300 又∵AE

AD2 DE2 2 82 83，i

CF1

BF3

∴BF＝3CF＝3×8＝24

∴AB＝AE＋EF＋BF＝83 3 24＝27 8（米） 答：斜坡AB的坡角∠A＝300，坝底宽AB为(27 3)米。

评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值i tan ），其次是作适当的辅助线构造直角三角形。 探索与创新：

【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度 60，问此时车厢的最高点A离地面多少米？（精确到1米）

分析：此题只需求出点A到CE的距离，于是过A、D分别作AG⊥CE，DF⊥CE，构造直角三角形，解Rt△AHD和Rt△CDF即可求解。

解：过点A、D分别作CE的垂线AG、DF，垂足分别为G、F，过D作DH⊥AG于H，则有：

DF CD sin600 3

3

22

11

24

BC

AD

AH AD cos600 0.5

于是A点离地面的高度为

31

1.2 4（米）

24

问题一图

答：车厢的最高点A离地面约为4米。

【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。

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3

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问题二图

2

略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝2，作DH

问题二图

1

⊥AB于H，则DH DE sin HED 2sin45

∵2 1.5

∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。

2

设计方案图

设计方案说理图

跟踪训练：

一、选择题：

1、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度i是（ ）

A、1∶3 B、1∶2.6 C、1∶2.4 D、1∶2

2、如图，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）

A、72海里 B、2海里 C、7海里 D、14海里

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4 以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习

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北

A

45

30

C

A

AB

东

DCB

第1题图

第2题图

第3题图

3、如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD＝100米，点C在BD上，则山高AB＝（ ）

A、100米 B、3米 C、米 D、50(3 1)米 4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元

20m

120

30m

i D

B

填空第1题图 选择第4题图 填空第2题图

二、填空题：

1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB＝ 2、小明想测量电线杆AB的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成300角，且此时测得1米杆的影

长为2米，则电线杆的高度为 米（结果保留两位有效数字，2＝1.41，3＝1.73） 三、解答题：

1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝450，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝300，求河宽CD（结果可带根号）。

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5

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BCA

第3题图 第2题图

2、如图：在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的府角是150，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：sin15

第1题图

A

6 26 20

，cos15 ，

44

tan150 2 3，cot150 2 3）

3、如图：某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A，值班人员发现有一轮

船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15海里到达C点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。

①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东 ，求sin 的值；

②当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？

4、如图，客轮沿折线A→B→C，从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A→B→C上的某一点E处。已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客轮速度是货轮速度的2倍。

（1）两船相遇之处E点（ ） A、在线段AB上 B、在线段BC上

C、在线段AB上，也可以在线段BC上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）

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6 以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习

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A

DCB

第4题图

跟踪训练参考答案

一、选择题：CADC 二、填空题：

1、34米；2、8.7米； 三、解答题：

1、(3 15)米； 2、980(1 )米； 3、①sin

1

3

；②300； 4、（1）B；（2）(200

6

3

)海里。 _____________________________________________________________

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/695j.html