第4章测试系统的基本特性 

第4章测试系统的基本特性

4．1 知识要点

4.1.1测试系统概述及其主要性质

1.什么叫线性时不变系统？

设系统的输入为x(t)、输出为y(t)，则高阶线性测量系统可用高阶、齐次、常系数微分方程来描述：

dny(t)dn?1y(t)dy(t)an?a???a?a0y(t)n?11nn?1dtdtdt

dmx(t)dm?1x(t)dx(t)?bm?b???b?b0x(t)m?11dtdtmdtm?1 （4-1）

式（4-1）中，an、an-1、…、a0和bm、bm-1、…、b0是常数，与测量系统的结构特性、输

入状况和测试点的分布等因素有关。这种系统其内部参数不随时间变化而变化，称之为时不变（或称定常）系统。既是线性的又是时不变的系统叫做线性时不变系统。

2.线性时不变系统具有哪些主要性质？

（1）叠加性与比例性：系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出之和。 （2）微分性质：系统对输入微分的响应，等同于对原输入响应的微分。 （3）积分性质：当初始条件为零时，系统对输入积分的响应等同于对原输入响应的积分。 （4）频率不变性：若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出将为同一频率的谐波信号。

4.1.2测试系统的静态特性

1.什么叫标定和静态标定？采用什么方法进行静态标定？标定有何作用？标定的步骤有哪些？

标定：用已知的标准校正仪器或测量系统的过程。

静态标定：就是将原始基准器，或比被标定系统准确度高的各级标准器或已知输入源作用于测量系统，得出测量系统的激励－响应关系的实验操作。

静态标定方法：在全量程范围内均匀地取定5个或5个以上的标定点（包括零点），从零点开始，由低至高，逐次输入预定的标定值（称标定的正行程），然后再倒序由高至低依次输入预定的标定值，直至返回零点（称标定的反行程），并按要求将以上操作重复若干次，记录下相应的响应－激励关系。

标定的主要作用是：确定仪器或测量系统的输入－输出关系，赋予仪器或测量系统分度

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值；确定仪器或测量系统的静态特性指标；消除系统误差，改善仪器或测量系统的正确度。

标定的步骤有：

（1）作输入-输出特性曲线。 （2）求重复性误差H1和H2。

（3）求作正反行程的平均输入-输出曲线。 （4）求回程误差。 （5）求作定度曲线。

（6）求作拟合直线，计算非线性误差和灵敏度。

2.什么叫测试系统的静态特性？如何表示？

通过标定，得到测量系统的响应值yi和激励值xi之间的一一对应关系，称为测量系统的静态特性。测量系统的静态特性可以用一个多项式方程表示（称为测量系统的静态数学模型）如式（4-2）所示，也可用一条曲线来表示（称为静态校准曲线或静态标定曲线）

y?a0?a1x?a2x2??????? （4-2）

3.测试系统静态特性的主要定量指标有哪些？

测试系统静态特性的主要定量指标有灵敏度、分辨力、非线性度、回程误差、稳定度、

漂移等。

4.1.3测试系统的动态特性

1.测量系统动态特性的分析采用哪些方法？其主要指标有哪些？

可采用瞬态响应法和频率响应法从时域和频域两个方面来分析测量系统的动态特性。在时域内分析测量系统的响应特性时，研究几种特定的输入时间函数如阶跃函数、脉冲函数和斜坡函数等的响应特性。在频域内分析动态特性一般是采用正弦输入得到频率响应特性。

在采用阶跃输入研究测量系统时域动态特性时，表征其动态特性的指标有：上升时间、响应时间、超调量等；在采用正弦输入研究测量系统频域动态特性时，常用幅频特性和相频特性来描述其动态特性，其主要指标是频带宽度。

2.什么是传递函数？如何表示？有何特点？

输出的拉氏变换Y(s)和输入的拉氏变换X(s)之比称为传递函数，是一种对系统特性的解析描述，包含了瞬态、稳态时间响应和频率响应的全部信息，用H(s)表示，记为：

Y(s)bmsm?bm?1sm?1?????b1s?b0 （4-3） H(s)??nn?1X(s)ans?an?1s????a1s?a0传递函数有以下几个特点：

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（1）H(s)描述了系统固有的动态特性，而与输入量x(t)及系统的初始状态无关。 （2）H(s)是对物理系统特性的一种数学描述，而与系统的具体物理结构无关，同一传递函数可以表征具有相同传输特性的不同物理系统。

（3）H(s)中的分母取决于系统的结构，而分子则表示系统同外界之间的联系，分母中s的幂次n代表系统微分方程的阶数，也等于输出量最高阶导数的阶数。

3.什么是频率响应函数？如何用复指数形式表示？幅频特性和相频特性如何表示？

Y(j?)bm(j?)m?bm?1(j?)m?1?????b1j??b0 （4-4） H(j?)??nn?1X(j?)an(j?)?an?1(j?)????a1j??a0H(j?)称为测量系统的频率响应函数，简称为频率响应或频率特性。

频率响应函数H(j?)是一个复数函数，用指数形式表示为：

H(j?)?A(?)ej? （4-5）

式（4-5）中A(?)为H(j?)的模，A(?)?H(j?)，?为H(j?)的相角。

幅频特性如式（4-6）所示，相频特性如式（4-7）所示。

A(?)?H(j?)?[HR(?)]2?[HI(?)]2 （4-6）

H(?) （4-7）?（?）?arctan1

H2(?)式（4-6）、（4-7）中，HR(?)、HI(?)分别为频率响应函数的实部与虚部。

4.1.4测试系统在典型输入下的响应

1.一阶测量系统的微分方程式如何表示？一阶系统的频率响应如何表示？ 一阶测量系统的微分方程表示如式（4-8）所示

dy(t)dy(t)?a0y(t)?b0x(t)??y(t)?x(t)dt或dt （4-8）

一阶系统的传递函数H(s)、频率特性H(j?)、幅频特性A(?)、相频特性?(?)分别

a1如式（4-9）～(4-12)所示。

11??s （4-9）

1H(j?)??(j?)?1 （4-10） H(s)?21?(??） （4-11）

?(?)??arctg(??) （4-12）

A(?)?1 87

2.二阶测量系统的微分方程式如何表示？二阶系统的频率响应如何表示？ 典型二阶测量系统的微分方程如式（4-13）所示。

d2y(t)dy(t)a2?a?a0y(t)?b0x(t)12dtdt （4-13）

二阶系统的传递函数、频率响应、幅频特性和相频特性分别如式（4-14）~（4-17）所示。

?n2H(s)?22s?2??ns??n （4-14）

H(j?)?1??1?????n????2j???n （4-15）? 12?22?)]?4?2()2?n?n （4-16）

?2?()?n?(?)??arctg?1?()2?n （4-17）

[1?(式(4-14)~(4-17)中?n为测量系统的固有频率；?为测量系统的阻尼比。 3.一阶测试系统和二阶测试系统在单位阶跃输入下的响应是什么？各有何特点？

A(?)?单位阶跃输入的定义为x(t)??

?0?1t?01，其拉氏变换为X(s)?

st?0一阶系统在单位阶跃输入下的响应如式（4-18）所示，二阶系统在单位阶跃输入下的响

应如式（4-19）所示。

y(t)?1?e?t/? （4-18）

y(t)?1?e???nt1??22sin(?dt??2) （4-19）

式（4-19）中?d??n1??，?2?arctg1??2?，??1

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一阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差为零，并且进入稳态的时间t??。但当t?4?时，y(4?)?0.982，误差小于2%；当t?5?时，y(5?)?0.993,误差小于1%，所以对于一阶系统来说，时间常数?越小越好。

二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为零，进入稳态的时间取决于系统的固有频率?n和阻尼比?。?n越高，系统响应越快，阻尼比主要影响超调量和振荡次数，当??0时，超调量为100%，且振荡持续不息，永无休止；当??1时，实质为两个一阶系统的串联，虽无振荡，但达到稳态的时间较长；通常取??0.6~0.8，此时，最大超调量不超过2.5%～10%，达到稳态的时间最短，约为5～7/ωn，稳态误差在2%～5%。

4.一阶测试系统和二阶测试系统在正弦输入下的响应是什么？有何特点？ 正弦输入信号x(t)?sin?t,(t?0)的拉氏变换为：X(s)??

s2??2一阶系统在正弦输入下的响应如式（4-20）所示，二阶系统在正弦输入下的响应如式（4-21）所示。

y(t)?11?(??)2[sin(?t??1)?e?t/?cos?1)],?1??arctan??

（4-20）

（4-21）

y(t)?A(?)sin[(?t??(?)]?e???nt[K1cos?dt?K2sin?dt]式（4-21）中：k1和k2是与?n和?有关的系数。

正弦输入的稳态输出也是同频率的正弦信号，所不同的是在不同频率下，其幅值响应和

相位滞后都不相同，它们都是输入频率的函数。因此，可以用不同频率的正弦信号去激励测试系统，观察其输出响应的幅值变化和相位滞后，从而得到系统的动态特性。 4.1.5测试系统动态特性参数的测试

1．什么是稳态响应法？如何应用它测定一阶系统和二阶系统的有关参数？

稳态响应法就是对系统施以频率各不相同、但幅值不变的已知正弦激励，对于每一种频率的正弦激励，在系统的输出达到稳态后测量出输出与输入的幅值比和相位差，这样，在激励频率?由低到高依次改变时，便可获得系统的幅频和相频特性曲线。

（1）测定一阶系统的参数

对于一阶系统，在测出了A(?)和?(?)特性曲线后，可以通过式(4-22)来直接求出一阶系统的动态特性参数即时间常数?。

1?A(?)??1?(??)2???(?)??arctan(??)? （4-22）

（2）测定二阶系统的参数

对于二阶系统，在测得了系统的幅频和相频特性曲线(见图4.1)之后，从理论上讲可以很

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方便地用相频特性曲线来确定其动态特性参数：固有频率?n和阻尼率?。因为在???n处，输出的相位总是滞后输入90°，该点的斜率直接反映了阻尼率的大小，但由于要准确地测量相角比较困难，因而通常都是通过其幅频曲线来估计其动态特性参数?n和?。对于阻尼率?的估计，只要测得了幅频曲线的峰值A(?r)和频率为零时的幅频特性值A(0)便可由式(4-23)来确定?。对于?<1的系统，在最大响应幅值处的频率?r与系统的固有频率?n存在如式（4-24）的关系，可求得?n。

A(?r)1 （4-23） ?2A(0)2?1???n??r1?2?2 （4-24）

图4.1利用幅频曲线求二阶系统的动态特性参数

2．如何应用脉冲响应法测定二阶系统的有关参数？

对于二阶系统，如果它是机械装置，通常可采用脉冲响应法来求取其动态特性参数：最

简单的测定方法就是用一个大小适当的锤子敲击一下装置，同时记录下响应波形如图4.2所示，从响应曲线中测得相邻两振幅的值Ai和Ai?1，并令??ln(Ai/Ai?1)，在对实际的系统进行测定时，由于其阻尼率?较小，相邻两个振幅峰值的变化不明显，故往往测出相隔n个振幅峰值之间的对数衰减率?n?ln(Ai/Ai?n)?n?，根据式（4-25）可求得阻尼率?。

?n??n4?2?(?nn (4-25)

在确定了系统的阻尼率?之后，再根据响应曲线上的时标测出系统的振荡频率?d，便可利用?d??n1??求得系统的固有频率。

2)2 90

图4.2用脉冲响应求二阶系统的动态特性参数

3.如何应用阶跃响应法测定一阶系统和二阶系统的有关参数？

（1）测定一阶系统参数

对于一阶系统，测出了阶跃响应曲线之后(见图4.3)，根据式(4-26)可求出时间常数?。

???t?ln[1?yu(t)] (4-26)

ln[?ln[1?yu(t)]

图4.3 ln[1?yu(t)]与t 的关系曲线

（2）测定二阶系统参数 对于二阶系统，其阶跃响应曲线如图4.4所示，可以利用阶跃响应的最大超调量Mmax来估计?如式(4-27)所示；也可根据n个相隔超调量的值求出其对数衰减率?n?ln(Mi/Mi?1)，然后由式式（4-28）求出?。

1??????1lnMmax?? （4-27）

2?????n/n???4???n??n? （4-28）

22 91

图4.4 欠阻尼二阶系统的阶跃响应

求得阻尼后，则可利用系统的响应振荡频率?d??n1??2来求得系统的固有频率。 4.1.6测试系统不失真测试条件及负载效应

1.什么叫不失真测试？实现测试系统不失真测试需满足什么条件？

所谓不失真测试就是指系统输出信号的波形与输入信号的波形完全相似的测试。实现不失真测试，则幅频和相频特性需满足式（4-29）的条件。

A(?)?A0?常数，?(?)???0? （4-29）

2.什么叫负载效应？如何减轻负载效应？

当一个装置联接到另一装置上并发生能量交换时产生前装置的联接处甚至整个装置的状

态和输出都将发生变化或两个装置共同形成一个新的整体，这种某装置由于后接另一装置导致系统传递函数不符合串联或并联规律的现象称为负载效应。减轻负载效应的方法有：

（1）提高后续环节（负载）的输入阻抗。

（2）在原来两相联接的环节之中，插入高输入阻抗、低输出阻抗的放大器。 （3）使用反馈或零点测量原理，是后面环节几乎不从前环节吸取能量。

3.组成测试系统应考虑的哪些因素？

组成测试系统主要考虑技术性能指标、测试系统的经济指标、测试系统的使用环境条件、环节互联的负载效应与适配条件等。

4．2 例题解析

【例4.1】图4.5为一液柱式温度计，如以Ti(t)表示温度计的输入信号即被测温度，以T0(t)表示温度计的输出信号即示值温度，传导介质的热阻为R，温度计的热容量为C，试求该系统的传递函数和频率响应函数。

解：输入与输出间的关系为

Ti(t)?T0(t)dT(t)dT(t)?C0，即RC0?T0(t)?Ti(t)。

Rdtdt92

图4.5 液柱式温度计

这就表明液柱式温度计的系统微分方程是一阶微分方程，可认为该温度计是一个一阶测试系统。令??RC(?为温度计时间常数)，对一阶微分方程两边取拉普拉斯变换有：

?sTo(s)?To(s)?Ti(s)

所以温度计系统的传递函数为：

To(s)1?Ti(s)1??s

相应地可得温度计系统的频率响应函数为：

1H(j?)?1?j??

H(s)?【例4.2】图4.6所示的动圈式显示仪，振子是一个典型二阶系统，试求该系统的传递函数。

图4.6动圈式显示仪振子的工作原理图

解：在笔式记录仪和光线示波器等动圈式振子中，通电线圈在永久磁场中受到电磁转矩

ki.i(t)的作用，在产生指针偏转运动时，这个偏转的转动惯量会受到扭转阻尼转矩c分方程描述：

d?和dt弹性恢复转矩k?.?(t)的作用，根据牛顿第二定律，这个系统的输入/输出关系可以用二阶微

d2?(t)d?(t)J?C?k??(t)?kii(t)dt2dt

式中，i(t)为输入动圈的电流信号；?(t)为振子(动圈)的角位移输出信号；J为振子转动部分的转动惯量；C为阻尼系数；k?为游丝的扭转刚度；ki为电磁转矩系数。用拉普拉斯变

换求得振子系统的传递函数为：

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ki2?n?(s)JH(s)???S22k?CI(s)s?2??ns??n2s?s?JJ

??k?J，??C2k?J，式中，n为系统的固有频率；为系统的阻尼率；S?kik?，

为系统的灵敏度。

【例4.3】已知某测试系统传递函数H(s)?1，当输入信号分别为x1?sin?t，

1?0.5sx2?sin4?t时，试分别求系统稳态输出，并比较它们幅值变化和相位变化。

解：令s?j?，求得测试系统的频率响应函数为

H(jf)?A(f)?11?j?f?1?j?0.5?2?f1??2f2 11??2f2

?(f)??argtan(?f)

o信号x1:f1?0.5Hz，A(f1)?0.537，?(f1)??57.52

信号x2:f2?2Hz，A(f2)?0.157，?(f2)??80.96 系统稳态输出为：

oy1(t)?0.537sin(?t?57.52o) y2(t)?0.157sin(4?t?80.96o)

解析：该测试系统是一阶系统，当频率为0.5Hz的信号x1经过该测试系统后，幅值由1衰减为0.537；而信号x2经过测试系统后，幅值由1衰减为0.157，表明，测试系统的动态特性对输入信号的幅值和相位的影响是可以通过输入、系统的动态特性(幅频和相频特性)及输出三者之间的关系来分析和掌控。 【例4.4】某一阶测量装置的传递函数为1（/0.04s?1)，若用它测量频率为0.5Hz、1Hz、2Hz的正弦信号，试求其幅度误差。 解：一阶系统的频率响应函数幅频特性为为：A(?)? 当??0.04时，??2?f，A(?)?11?(??)

2 11?(0.08?f)2幅度误差??[1?A(?)]?100%，根据已知条件，有： f?0.5Hz，A(?)?0.9845，??1.55%； f?1.0Hz，A(?)?0.9699，??3.01%； f?2.0Hz，A(?)?0.8936，??10.64%；

【例4.5】用一个一阶系统作100Hz正弦信号测量。(1)如果要求限制振幅误差在5%以内，

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则时间常数?应取多少？(2)若用具有该时间常数的同一系统作50Hz信号的测试，此时的振幅误差和相角差各是多少？

解：测试系统对某一信号测量后的幅值误差应为??|1?A(?)|，对一阶系统，幅频特性和相频特性为：

(??)?1

?5%?0.05时，即要求1?A(?)?0.05，所以有：

1?1(??)?12A(?)?12,??arctan(???)当?≤0.05

(??)2≤1?1?0.1080.952

?≤1.08?11?1.08??5.23?10?42?f2??100

当系统作50Hz信号测试时，有

111??1??1??1??1?0.9868?1.32"?42(??)?1(2?f?)?1(2??50?5.23?10)?1

??arctan(???)?arctan(?2?f?)?arctan(?2??50?5.23?10?4)??9o19?50??

若要满足不失真测试要求，则必须???0。

解析：从上面的计算结果可以看出，要使一阶系统测量误差小，则应使??尽可能小，

【例4.6】 对一个典型二阶系统输入一脉冲信号，从响应的记录曲线上测得其振荡周期为

4ms，第三个和第十一个振荡的单峰幅值分别为12mm和4mm。试求该系统的固有频率和阻尼率。

解：输出波形的对数衰减率为：

?nln(12/4)??0.1373265n8

振荡频率为：

2?2??d???1570.796rad/sTd4?10?3 该系统的阻尼率为：

??该系统的固有频率为

?n/n4??(?n/n)22?0.13732654??0.137326522?0.02185

1??1?0.02185

【例4.7】一个二阶测试系统，受激励力Fosinωt作用，共振时测得振幅为20mm，在0.8倍的共振频率时测得振幅为12mm ，求系统的阻尼系数ξ（提示，假定在0.8倍的共振频率时，阻尼项可忽略）。

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?n??d2?1570.7962?1571.171rad/s解：二阶系统受正弦激励力作用，设??为:

?，根据式(4-15)、（4-16）、则其幅频特性?nH(j?)?11??2?j2??

1H(j?)?(1??)2?4?2?2谐振时，根据式（4-23）、（4-24）有：当f?0.8fr时，忽略阻尼项，这样就有

F02?1??F02?20 ?F0?12

1??2(1??)2?4?2?21??22?1??2?20 12将??0.8?r?0.8?1?2?2?2?0.64(1?2?2)代入上式得：

?10 61?0.64(1?2?2)2?1??242即：459??366.82??4.66?0

?12,2?0.0129或0.786，0.786不符合要求，舍去，可得：??0.1136。

【例4.8】求周期信号x(t)?0.5cos10t?0.2cos(100t?45)，通过传递函数为

?1的装置后得到的稳态响应。

0.005??10解：设x1(t)?0.5cos10t，x2(t)?0.5cos100t?45)，则x(t)?x1(t)?x2(t)，当

0.5cos(10t?arctg?1?1)。系统有输入x1(t)，则有输出为y1(t)，且y1(t)?2(?1?1?1)H(s)??1?0.005s，?1?10，y1(t)?0.499cos(10t?2.86?)；同样可求得当输入为x2(t)时，

有输出为y2(t)，且y2(t)?0.17cos(100t?45?26.5)。此装置对输入信号具有线性叠加性和频率保持想，系统输出的稳定响应为：

??y(t)?y1t)?y2(t)?0.499cos(10t?2.860)?0.17cos(100t?71.5?)

【例4.9】一气象气球携带一时间常数??15s的一阶温度计并以5m/s的速度通过大气

层，设温度随所处的高度按每升高30m下降0.15C的规律变化，气球将温度和高度的数据用无线电传回地面。在3000m处所记录的温度为-1C，试问实际出现-1C的真实高度是多少？在3000m处的真实温度是多少？ 解：温度计的传递函数：H(s)?

?

??1， ?s?196

输入温度T?T0?0.15h30,h?vt?5t,则T?T0?0.025tx2(t)??0.025t (t?0;T0为地面温度）设T?x1(t)?x2(t),式中：x1(t)?T0,则y1(t)?T0(1?e?t/?)(一阶系统阶跃输出） y2(t)??0.025[t??(1?e?t/?)](一阶系统斜坡输出）由叠加原理：y(t)?y1(t)?y2(t)解得：T0?13.625oC又?T?T0?0.005h，即?1?13.625?0.005h，?h?2925m 而在3000m处的真实温度应该比-1C还低

?

75?0.15?0.3750C，即-1.375?C 30【例4.10】图4.7为某一测试装置的幅频、相频特性，当输入信号为x1(t)?A1sin?1t?A2sin?2t时，输出信号不失真；当输入信号为x2(t)?A1sin?1t?A4sin?4t时，输出信号失真。上述说法正确吗？

图4.7 例4。10图

解：根据测试系统实现不失真测试的条件，若要输出波形精确地与输入波形一致而没有失真，则装置的幅频、相频特性应分别满足：

A(?)?C ?(?)??t0?

由图4.7可以看出，当输入信号频率???2时，装置的幅频特性A(?)?C(为常数)，且相频曲线为线性，而当???3时，幅频曲线下跌且相频曲线呈非线性。因此在输入信号频率???2范围内，能保证输出不失真。而在x2(t)中，有???4，所以，题中的结论是正确的。

4．3 习题

1.判断题

4-1一个理想的测试装置，其输入和输出之间应具有线性关系为最佳。

4-2用一阶系统作测试系统，为了获得较佳的工作性能，其时间常数τ应尽量大。 4-3用二阶系统作测量装置时，为获得较宽的工作频率范围，则系统的阻尼比应接近0.707。

4-4二阶系统，当相频特性中φ（ω）＝－90°所对应的频率ω作为系统固有频率ωn的估计，该值与系统阻尼比的大小略有关系。

4-5用二阶系统作测量装置时，影响幅值测量误差大小的参数有灵敏度。

4-6系统的传递函数H(s)=Y(s)/X(s)[（Y(s)、X(s)分别为响应与激励的拉氏变换]，表明H(s)将随X(s)减小而增大。

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4-7频率不变性原理是指线性测试系统的输出信号的频率总等于输入信号的频率。 4-8当阻尼率为0.5的二阶测试系统的相频特性曲线在较宽范围内近似于直线。 4-9从测试不失真的角度讲，二阶测试系统均应是过阻尼系统。 4-10负载效应指测量环节与被测量环节相连时对测量结果的影响。 4-11幅频特性是指响应与激励信号的振幅比与频率的关系。 4-12利用函数的卷积可在频率域上说明信号输入、输出和测试装置特性三者之间的关系。 4-13测试装置的相频特性表示了信号各频率分量的初相位和频率间的函数关系。 4-14测试装置能进行不失真测试的条件是其幅频特性为常数，相频特性为零。

4-15在常系数线性系统中，当初始条件为零时，系统的输出量与输入量之比的拉氏变换称为传递函数。

4-16一线性系统不满足“不失真测试“的条件，若用它传输一个频率为1000Hz的正弦信号，则必然导致输出波形失真。

4-17各系统串联时，总传递函数等于各组成系统传递函数之积。 4-18灵敏度是指输出量和输入量的比值，又称放大倍数。 4-19传递函数表征了系统的传递特性，并反映了物理结构，因此凡传递函数相同的系统，其物理结构必然相同。

4-20在同样的测试条件下，输入信号由小增大，然后由大减小时，对同一输入量所得到的不同输出量之差称为回程误差。 2.选择题

4-21在一测试系统中，被测信号频率为1000Hz，幅值为4V，另有两干扰信号分别为2000Hz，8V和500Hz，2V，则利用 提取有用信号。

A．叠加性；B．比例性；C．频率保持性；D．幅值保持性 4-22下列哪个参数反映测试系统的随机误差的大小 。 A．灵敏度；B．重复性；C．滞后量；D．线性度

4-23传感器的静态特性中，输出量的变化量与引起此变化的输入量的变化量之比称为 。

A．线性度；B．灵敏度；C．稳定性；D．回程误差

4-24用二阶系统作测量装置时，影响幅值测量误差大小的参数有 。 A．时间常数；B．灵敏度；C．固有频率和阻尼度；D．回程误差 4-25信噪比越大则 。 A．有用信号的成分越大,噪声的影响越小；B．有用信号的成分越大,噪声影响也大；C．有用信号的成分越小,噪声影响也小；D．有用信号成分越小,噪声影响越大

4-26测试装置能检测输入信号的最小变化能力称为 。 A.精度；B.灵敏度；C.精密度；D.分辨率

4-27传感器的输出量对于随时间变化的输入量的响应特性称为传感器的 特性 A．幅频；B．相频；C．输入输出；D．静态

4-28关于传递函数的特点，下列叙述不正确的是 。 A．与具体的物理结构无关；B．反映测试系统的传输和响应特性；C．与输入有关；D．只反映测试系统的特性

98

4-29用一阶系统作测试系统，为了获得较佳的工作性能，其时间常数τ应 。 A．尽量大；B．尽量小；C．根据系统特性定；D．为无穷大

4-30在下面的传感器的主要性能指标中，能反映传感器对于随时间变化的动态量的响应特征是 ，能够反映多次连续测量测量值的分散度是 。

A．灵敏度 动态特性；B．动态特性，线性度；C．动态特性，重复度；D．稳定度，动态特性

4-31已知一阶测试系统，传递函数为H（s）=1/（1+s），则测量信号x（t）=sin2t的输出信号 。

A．15sin(2t?arctan2)；B．sin(2t?arctan2)；

C．15sin2t；D．15sin(2?arctan2)t

4-32一阶测试系统的单位斜坡响应为下列的哪一个 。 A．y(t)?t??e?t/?；B．y(t)??t??e?t/??t/?；

?t/?C．y(t)?t????e；D．y(t)?2t????e

4-33当阻尼比为 的二阶测试系统的相频特性曲线在较宽范围内近似于直线。 A．0.5；B．0.7；C．1.0；D．0.1

4-34一阶测试系统，二阶测试系统的瞬态响应之间最重要的差别是 。 A．在阻尼状态下,二阶系统具有衰减正弦震荡,而一阶系统不存在；B．在欠阻尼状态下,一阶系统具有衰减正弦震荡,而二阶系统不存在；C．在欠阻尼状态下,二阶系统具有衰减正弦震荡,而一阶系统不存在；D． 以上说法均不正确

4-35对于线性系统，当输入为x(t),输出为y(t),系统的频率响应为H(f)时，其输入输出的功率谱与系统的频率响应的关系为 。

A．Sx(f)=│H(f)│.Sy(f)；B．Sx(f)=─│H(f)│.Sy(f)；C．Sx(f)=H(f).Sy(f)；D．Sx(f)=?H(f).Sy(f) 4-36以下对二阶测试环节叙述正确的是： 。

A．测量环节的静态灵敏度应高于被测试环节的静态灵敏度；B．测试系统的固有频率越高越好；C．测试系统的固有频率应低于被测试环节的固有频率；D．测试环节的静态灵敏度应低于被测量环节的静态灵敏度

4-37输出信号与输入信号的相位差随频率变化的关系就是 。 A.幅频特性；B.相频特性；C.传递函数；D.频率响应函数

4-38若要求信号在传输过程中不失真，则输出与输入应满足：在幅值上 差一个比例因子，在时间上 滞后一段时间。

A．允许，允许；B．允许，不允许；C．不允许，允许；D．不允许，不允许 4-39线性测试系统产生失真是由 两种因素造成的

A．幅值失真，相位失真；B．幅值失真，频率失真；C．线性失真，相位失真；D．线性失真频率失真

4-40下列对负载效应的表达错误的是 。 A．测量环节作为被测量环节的负载，接到测试系统时，联接点的状态将发生改变；B．测量环节作为被测量环节的负载,两环节将保持原来的传递函数；C．测量环节作为被测量环节的负载,整个测试系统传输特性将发生变化；D．负载效应指，测量环节与被测量环节相联时对测量结果的影响。

99

3.填空题

4-41理想的测量系统应该具有单值的、确定的 关系。其中以输出和输入成 关系为最佳。

4-42测试装置的结构参数是不随时间而变化的系统称为 系统。若输入、输出成线性关系，这称为 系统。

4-43测试系统动态特性参数的测试方法： 。 4-44测试系统动态不失真测试的频率响应特性的条件为 。 4-45理想测试系统的特性为 。

4-46测试系统的静态特性指标主要有： 。

4-47一般来说，测试系统的灵敏度越高，则其测量范围 。 4-48反映测试系统动态特性的函数主要有 。 4-49某位移传感器测量的最小位移为0.01mm，最大位移为1mm，其动态线性范围为 dB。 4-50测试装置的输出信号拉普拉斯变换与输入信号拉普拉斯变换之比称为装置的 。 4-51测试装置对单位脉冲函数的响应成为 ，记为h(t)，h(t)的傅立叶变换就是装置的 。

4-52为了求取测试装置本身的动态特性，常用的实验方法是 和 。 4-53测试装置的动态特性在时域中用 描述，在频域中用 描述。 4-54二阶系统的主要特征参数有 、 和 。

4-55已知输入信号x(t)?30cos(30t?30)，这时一阶装置的A(?)?0.87，

??(?)??21.7?，则该装置的稳态输出表达式是 。

4-56二阶系统的工作频率范围是 。

4-57输入x(t)、输出y(t)、装置的脉冲响应函数h(t)，它们三者的关系是 。 4-58信号x(t)?6sin23t，输入??0.5的一阶装置，则该装置的稳态输出幅值A= ,相位滞后?= 。

4-59一个时间常数??5s的温度计，插入一个一15C/min速度线性降温的烘箱内，

?经半分钟后取出，温度计指示值为90C，这时烘箱的实际温度应为 。

4-60二阶系统引入合适阻尼的目的是获得 。 4．问答题

4-61测试系统的基本要求有哪些？

4-62线性系统的频率保持性在测量中有何作用？ 4-63什么叫灵敏度和分辨力？

4-64什么叫非线性度、定度曲线和拟合直线？如何表示？拟合直线的方法有哪些？ 4-65什么叫回程误差？如何表示？引起回程误差的原因是什么？与重复性误差有何区别？

4-66什么叫稳定性、漂移？产生漂移的原因是什么？什么是稳定度、温漂和零漂？ 4-67什么叫量程、测量范围、工作量程？

4-68什么叫可靠性？常用的可靠性指标有哪些？

100

?4-69什么叫信噪比？如何表示？ 4-70什么叫动态范围？

4-71测试系统的基本特性是什么？

4-72传递函数与频率响应函数之间有何关系？二者有何特点？

4-73一阶测试系统和二阶测试系统主要涉及哪些动态特性参数，这些动态特性参数的取值对系统性能有何影响，一般采用怎样的取值原则？

4-74对于一个复杂波形的输入信号，为什么要求动态测试系统有良好的幅频特性和相频特性？如果输入为一个单独的简谐信号，是否要考虑幅频特性和相频特性？

4-75什么叫权函数？它与输入和输出之间存在什么关系？如果某系统的输入为单位脉冲函数，则该系统的输出是什么？

4-76什么叫幅频特性曲线？什么叫伯德(Bode)图和奈奎斯特(Nyquist)图？频率特性用Bode图表示有何优点？

4-77分别说明测试系统对任意输入、脉冲输入、单位阶跃输入和单位斜坡输入的响应。 4-78试说明二阶测试系统的阻尼率?大多采用0.6~0.7的原因。 4-79一阶系统的时间常数?、二阶系统的频率?和阻尼?对对系统有何影响？对其有何要求？

4-80试说明理想的不失真测试系统的要求是:A?f??const,??f???2?ft0 5．分析计算题

4-81试说明并证明线性系统的频率保持性性质。

4-82在使用灵敏度为80nC/MPa的压电式力传感器进行压力测量时，首先将它与增益为5mV/nC的电荷放大器相连，电荷放大器接到灵敏度为25mm/V的笔试记录仪上，试求该压力测试系统的灵敏度。当记录仪的输出变化30mm时，压力变化为多少？

4-83把灵敏度4.04?10?2pcPa的压电式力传感器与一台灵敏度调到0.226mV/pc7的电荷放大器相接，求其总灵敏度。若要将总灵敏度调到1.0?10mV/Pa，电荷放大器的灵敏度应作如何调整？

4-84有一台测量压力的仪表，测量范围为0~10Mpa，压力p与仪表输出电压之间的关系

２2为u?a0?a1p?a2p 式中a0?1ｖ，a1?0.6ｖ／ＭＰａ，a2?0.02ｖ／ＭＰａ，

求：（１）该仪表的输出特性方程；（2）该仪表灵敏度表达式；（3）计算压力分别为２ＭＰａ和８ＭＰａ时的灵敏度，说明什么？

4-85试求传递函数为

41?n1.5和2的两个环节串联后组成的系统的23.5s?0.5s?1.4?ns??n总灵敏度。

4-86用一时间常数为2s的温度计测量炉温时，当炉温在200℃—400℃之间，以150s为周期，按正弦规律变化时，温度计输出的变化范围是多少？

4-87用时间常数为0.5的一阶装置进行测量，若被测参数按正弦规律变化，若要求装置指示值的幅值误差小于2%，问被测参数变化的最高频率是多少？如果被测参数的周期是2s和5s，问幅值误差是多少？

4-88用一阶测量仪器测量100Hz的正弦信号，如果要求振幅的测量误差小于5%，问仪器

101

的时间常数?的取值范围。若用该仪器测50Hz的正弦信号，相应的振幅误差和相位滞后是多少？

4-89用一个具有一阶动态特性的测量仪表（??0.35s)，测量阶跃信号，输入由25单位跳变到240单位，求当t=0.35s，0.7s，2s时代仪表示值为多少？

4-90图4.8所示RC电路中，已知C?0.01?F，若ex的幅值为100，频率为10kHz，并且输出端eg的相位滞后ex30，求此时的R应为何值？输出电压幅值为多少？

?

图4.8题4-90图 RC电路

4-91设一力传感器可作为二阶环节处理，已知传感器的固有频率fn?800Hz，阻尼比

??0.14，用其测量正弦变化的外力，频率f?400Hz，求振幅比A(?)及相位差?(?)是多少？若??0.7，则A(?)及?(?)将改变为何值？

4-92图4.9为二阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，试根据该图分析影响二阶系统的特性参数是什么？该参数影响二阶系统的哪些方面性能。

图4.9 二阶系统的幅频与相频曲线

4-93设速度传感器幅频特性图如图4.10(a)与加速度传感器的幅频特性图如图4.10(b)所示，根据图说明该两类传感器的使用频率范围应如何选择？

(a) (b)

图4.10题4-93图

102

4-94如图4.11所示，一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其相应中产生了数值为0.15的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28ms。已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在固有频率处的频率响应。

图4.11题4-94图

1确定，传1??s?2??32感器参数为：质量m?5?10kg，表面积A?10m，比热容c?0.2J/(kg.C)，在空

22气中的导热系数?a?0.2W/(m.K)，在水中的导热系数?w?1.0W/(m.K)，传感器的

mc?时间常数有式??确定。若在t?0时刻突然把温度传感器从20C的空气中放入沸水

?A100?C，一分钟后又迅速从沸水中取出。试计算该测量系统在t?10,20,50,120,300s时测

4-95一温度测量系统的动态特性由温度传感器的一阶传递函数H(s)?量误差。

4-96已知一线性时不变系统的频率响应函数为H(?)?单位阶跃输入信号x(t)?u(t)下的响应。

4-97试分析频率响应函数为

j??3，求该系统在

(j?)2?3j??23155072的系统，计算其对

(1?0.01j?)(1577536?1760j???2)正弦输入x(t)?100sin(6.28t)的稳态响应均值。

4-98有一测试系统是二阶线性系统，其频率响应函数为:

H(j?)?1??1?()2?0.5j()?n?n

一输入信号为：

x(t)?cos(?0t??2)?0.5cos(2?0t??)?0.2cos(4?0t??6)，?0?0.5?n

试求该系统幅频特性和相频特性并求该如若信号的响应。

4-99图4.12是示波器的输入衰减器电路，x(t)为被测的电压信号，y(t)为示波器实际的输入电压，求x(t)通过衰减器实现无失真传输所必需满足的条件。

103

图4.12 题4-99图

4-100图4.13所示为二级RC电路串联构成的四端网络。试求该四端网络的总传递函数，并分析负载效应问题。

图4.13题4-100图

4．4 习题解答

1．判断题解答

4-1 √；4-2 ×；4-3 √；4-4 √；4-5 ×；4-6 ×；4-7 ×；4-8 ×；4-9 ×；4-10√；4-11 √；4-12 ×；4-13 ×；4-14 ×；4-15 ×；4-16 ×；4-17 ×；4-18 ×；4-19 ×；4-20 ×。 2．选择题解答

4-21 C；4-22 B；4-23 B；4-24 C；4-25 A；4-26 D；4-27 C；4-28 C；4-29 B；4-30 C；4-31 A；4-32 C；4-33 B；4-34 C；4-35 A；4-36 B；4-37 B；4-38 A；4-39 A；4-40 B。 3．填空题解答

4-41输入―输出；线性 4-42定常（时不变）；线性

4-43稳态响应法、脉冲响应法和阶跃响应法 4-44A(?)?A0和?(?)?0或?(?)??t0?

4-45叠加性、比例特性、微分特性、积分特性和频率保持性 4-46灵敏度、非线性度和回程误差 4-47越窄

4-48传递函数、频率响应函数、阶跃响应函数等 4-49 40dB 4-50传递函数

104

两环节串联后系统的总灵敏度为：S?3.0?41?123 4-86解：（1）根据已知条件炉温的变化规律为：

x(t)?Asin?t?Asin11?(??)22??t?Asint 1507511?(?0.9965 ?2)2（2）温度计为一阶系统，其幅频特性为：

A(?)???75（3）输入为200℃、400℃时，其输出分别为：

y1?A(?)?200?199.3?C；y2?A(?)?400?398.6?C

所以温度的变化范围为199.3(℃)～398.6(℃)

11，H(f)?

[1?(?2?f)2]12?s?11

已知??0.5，所以H(f)?[1?(?f)2]12幅值误差小于2%,则H(f)?0.98求得f?0.08Hz

对被测信号：周期是2s,f1?0.5Hz,H(f1)?0.537，幅值误差为46.3% 周期是5s,f2?0.2Hz,H(f2)?0.847，幅值误差为15.3%

114-88解：一阶装置,有H(s)?，H(f)? 212[1?(?2?f)]?s?1同一f,?越大,H(f)越小.

4-87解：一阶装置,有H(s)?若f=100Hz,测量误差小于5%，则H(f)?0.95,求得??5.23?10秒

用该仪器测50Hz的正弦信号,有H(f)?0.9868,?(f)??argtg(2?Tf)??9.32 即振幅误差是1.32%,相位滞后是?9.32

4-89解：一阶装置的单位阶跃输入时的响应为：y(t)?1?e当输入由20单位跳变到240单位时，输出响应表达式为：

?t0.35?t??4???1?e?t0.35

y(t)?25?(240?25)(1?e)

所以，t?0.35s时，仪表示值为y1(t)?160.9；t?0.7s时，仪表示值为y1(t)?211；t?2s时，仪表示值为y1(t)?239.3.

4-90解：该RC电路为一阶系统，并且??RC，则有：

11H(s)?，H(j?)?，?(?)??arctg??

21??s1?(??)?当eg滞后于ex30时有???tg30?3，这样电阻R值为： 3 110

3333??918(?) ?64C?0.01?10?2??10ex100所以输出电压幅值为：eg?H(j?)ex???86.6(V)

221?(??)1?(33)R?4-91解：（1）按题意，当??400?2?，?n?800?2?时，??0.14，??n?0.5，有：A(400)?1??2?2?21?()?4?()???n??n?2?1(1?0.5)?4?0.14?0.52222?1.31

??n?(400)??arctg??10.57?

?1?()2?n?即此时的幅值比为A(?)?1.31，相位差?(?)??10.57。

?（2）当??0.7时可解得A(400)?0.975，?(400)??43.03

?即此时的幅值比为A(?)?0.975，相位差?(?)??43.03。

2?4-92答：从二阶系统的幅频和相频曲线来看，影响系统特性的主要参数是频率比??n??1并靠近坐标原点的一段，A(?)比较接近水平直线，?(?)也近?n似与?成线性关系，可望作动态不失真测试。若测试系统的固有频率?较高，相应地A(?)的水平直线段也较长一些，系统的工作频率范围便大一些。另外，当系统的阻尼率?在0.7左右时，A(?)的水平直线段也会相应地长一些，?(?)与?之间也在较宽频率范围内更接近线性。当??0.6~0.8时，可获得较合适的综合特性。计算表明，当??0.7时，在??0~0.58的范围内，A(?)的变化不超过5%，同时?(?)也接近于过坐标原点的斜直?n和阻尼率?。只有在线。

???1，一般选?0择??2?0（?0为传感器的固有频率），因为在该区间范围内的幅频特性A(?)?1，说明

4-93答：速度传感器的频率使用范围应在图4.10(a)中画斜线处，即输出幅值不受衰减。

加速度传感器的频率使用范围应在图4.10(b)中的画斜线处。即

???1，一般选择?0??0.5?0，因为在该区间范围内的幅频特性A(?)?1。

4-94解：二阶系统在欠阻尼下工作时，其单位阶跃响应为衰减振荡，超调量和阻尼比关系为：

111

?????ln(0.15/3)???1???3由于振荡周期Td?6.28ms?6.28?10s，所以固有频率为：

??1??????1lnM??2?12?0.69

?n?该装置的传递函数为：

?d1??2?2?(6.28?10?3)1?0.692?1382rad/s

2k?n3?13822 H(s)?2?222s?2??ns??ns?2?0.69?1382s?13825729772 ?2s?1907.16s?1909924当???n时频率响应函数为：

H(j?)?1?(k?2?)?j2??n?n?3 2j?4-95解：设该系统输入跃变前的温度值为Ta，输入跃变后的温度值为Tw，则该测量系统对阶跃输入的响应为：

T?Ta?(Tw?Ta)(1?e?t/?)?Tw?(Tw?Ta)e?t?

mC5?10?2?0.2传感器在水中的时间常数为?w???10s ?3?wA1.0?10mC5?10?2?0.2传感器在空气中的时间常数为?a???50s ?3?aA0.2?10当把温度传感器从空气中放入沸水时，输入温度从20C跃变到100C，所以从时刻

??t?0s到t?60s，系统测出的温度为：T?Tw?(Tw?Ta)e?t??100?80e?t/10

当把温度传感器从沸水中放入空气时，输入温度从100C跃变到20C，所以从时刻

??t?60s后，系统测出的温度为：T?Tw?(Tw?Ta)e?(t?60)??20?80e?(t?60)/50

于是可求得该系统在给定时刻的测量误差为：

?T|t?10s?100?80e?10/10?100??29.4?C ?T|t?20s?100?80e?20/10?100??10.8?C ?T|t?50s?100?80e?50/10?100??0.5?C

?T|t?120s?20?80e?(120?60)/50?20?24.1?C ?T|t?300s?20?80e?(300?60)/50?20?0.7?C

4-96解：X(?)???(?)?

1，因为Y(?)?X(?)H(?)，所以有 j?112

??1??j??3??? Y(?)????(?)?2????j???(j?)?3j??2??3?1?211? ????(?)?????2?j??j??12j??21?2t??3?t经拉普拉斯反变换可得：y(t)???2e?e?u(t)

2?2?12?125624-97解：对频率响应函数进行改写为：，可见?221?0.01j?(j?)?1760j??12561该系统由频率响应函数为的一阶系统和频率响应函数为

1?0.01j?2?12562二阶系统串联组成，特征参数为??0.01；?n?1256；22(j?)?1760j??12561760???0.706。因为正弦输入的频率为?0?6.28???n?1256，并且

2?12561?0?6.28??100，所以该系统对单一频率为?0?6.28的正弦输入应有相当好的不失

?真输出，而输入信号的均值为零，所以输出信号的均值也为零。

4-98解：该系统的幅频特性为：H(?)?1??[1?()2]2?0.25()2?n?n0.5?/?n该系统的相频特性为：?(?)??arctan 21?(??n)输入信号的频率分别为?0，2?0，4?0，可计算出幅频特性值和相频特性值分别为：

H(?0)?1.28；H(2?0)?2.0；H(4?0)?0.32 ?(?0)?0.1?；?(2?0)??0.5?；?(4?0)??0.9?

信号x(t)输入此系统的输出相应幅频特性值分别为：

Y(?0)?X(?0)H(?0)?1?1.28?1.28

Y(2?0)?X(2?0)H(2?0)?0.5?2?1

Y(4?0)?X(4?0)H(4?0)?0.2?0.32?0.064

信号x(t)输入此系统的输出相应相频特性值分别为：

?y(?0)??x(?0)??(?0)?0.5??0.1??0.4?

?y(2?0)??x(2?0)??(2?0)???0.5??0.5?

?y(4?0)??x(4?0)??(4?0)??/6?0.9???0.7?

这样得到了输出相应y(t)的全部幅值频谱和相位频谱，所以y(t)的时域表达式为：

113

y(t)?1.28cos(?0t?0.4?)?cos(2?0t?0.5?)?0.064cos(4?0t?0.7?)

R2//(1/j?C2Y(?)? X(?)R1//(1/j?C1)?R2//(1/j?C2)1j??C1R1C1 ?R1?R2C1?C2j??R1R2(C1?C2)R1?R2RC1?若，即1?2，则有： R1C1R1R2(C1?C2)R2C14-99解：H(?)?H(?)?C1C1，H(?)?，?(?)?0

C1?C2C1?C2所以在R、C均为常数的情况下，衰减器不失真条件为：R1C1?R2C2 4-100解：由图4.13可以看出，前一级RC电路的传递函数为：H1(s)?1

?1s?1?1?R1C1，后一级RC电路的传递函数为：H2(s)?电路，可列写以下微分方程：

1 ?2?R2C2。根据图4.13

?2s?1ui?1(i1?i2)dt?R1i1 ?C111(i?i)dt?Ri?i2dt??u0 2122??C1C2在零初始条件下对上述方程取拉普拉斯变换得：

Ui?1[I1(s)?I2(s)]?R1I1(s) C1sI(s)1[I2(s)?I1(s)]?R2I2(s)??2??U0(s C1sC2消去中间变量I1(s)和I2(s)得总传递函数为：

U0(s)11??

Ui(s)(R1C1s?1)(R2C2s?1)?R1C2s(?1s?1)(?2s?1)?R1C2s显然H(s)?H1(s)H2(s)，说明当串联连接后，后级RC电路成为前一级RC电路的负H(s)?载，它们之间将产生负载效应。所以电路总传递函数不能简单地把两级传递函数相乘获得。

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4-51脉冲响应函数；频率响应函数 4-52阶跃响应法；频率响应法 4-53微分方程；频率响应函数

4-54静态灵敏度；固有频率；阻尼率 4-55y(t)?26.1cos(30t?8.3) 4-56??0.5?n 4-57y(t)?x(t)?h(t) 4-58 3；?60 4-59 88.75?C

4-60较好的幅频特性、相频特性 4.问答题解答

4-61答：对测试系统的基本要求就是使测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量的变化过程，不使信号发生畸变，即实现不失真测试。一个理想的测试系统应该具有单一的、确定的输入输出关系，即对应于每个确定的输入量都应有唯一的输出量与之对应，并且以输出和输入成线性关系为最佳。而且，系统的特性不应随时间的推移发生改变。

4-62答：线性系统的频率保持性，在测试工作中具有非常重要作用。因为在实际测试中，测试得到的信号常常会受到其他信号或噪声的干扰，只有与输入信号频率相同的成分才可能是由输入引起的响应，其他的频率成分都是干扰噪声，利用这一特性，就可以采用相应的滤波技术，在有很强的噪声干扰情况下，也能将有用的信息提取出来。同样，在故障诊断中，根据测试信号的主要频率成分，在排除干扰的基础上，依据频率保持特性推出输入信号也应包含该频率成分，通过寻找产生该频率成分的原因，就可以诊断出故障的原因。

4-63答：灵敏度是表征测试系统对输入信号变化的一种反应能力。一般情况下，当系统的输入x有一个微小增量?x时，将引起系统的输出ｙ也发生相应的微量变化?y，则定义该系统的灵敏度为S??y?x。分辨力是指测试系统所能检测出来的输入量的最小变化量，通常是以最小单位输出量所对应的输入量来表示，是用来描述装置对输入微小变化的响应能力。分辨力与灵敏度有密切的关系，即为灵敏度的倒数。

一个测试系统的分辨力越高，表示它所能检测出的输入量最小变化量值越小。对于数字测试系统，其输出显示系统的最后一位所代表的输入量即为该系统的分辨力；对于模拟测试系统，是用其输出指示标尺最小分度值的一半所代表的输入量来表示其分辨力。分辨力也称为灵敏阈或灵敏限或鉴别力阈。

4-64答：非线性度是指系统的输出和输入之间保持常值比例关系(线性关系)的一种度量。在静态测量中，通常用实验的办法获取系统的输入/输出关系曲线，并称之为“定度(标定)曲线”。由定度曲线采用拟合方法得到的输入/输出之间的线性关系，称为“拟合直线”。非线性度就是定度曲线偏离其拟合直线的程度，如图4.14所示。作为静态特性参数，非线性度是采用在测试系统的标称输出范围(全量程)A内，定度曲线与该拟合直线的最大偏差Bmax与A的比值，即非线度=

??Bmax?100% A105

图4.14非线性度图 图4.15 回程误差

拟合直线常用的方法有两种：端基直线和最小二乘拟合直线。端基直线是一条通过测量范围的上下极限点的直线，这种拟合直线方法简单易行，但因未考虑数据的分布情况，其拟合精度较低；最小二乘拟合直线是在以测试系统实际特性曲线与拟合直线的偏差的平方和为最小的条件下所确定的直线，它是保证所有测量值最接近拟合直线、拟合精度很高的方法。

4-65答：回程误差也称滞差或滞后量或迟滞性，表征测试系统在全量程范围内，输入量递增变化(由小变大)中的定度曲线和递减变化(由大变小)中的定度曲线二者静态特性不一致的程度。它是判别实际测试系统与理想系统特性差别的一项指标参数。如图4.15所示，在测试系统的全量程范围内，不同输出量中差值最大者hmax?y2i?y1i之比，即回程误差=

hmax?100%。 A回程误差是由于仪器仪表中的磁性材料的磁滞、弹性材料迟滞现象、以及机械结构中的摩擦和游隙及材料的受力变形等原因引起，反映在测试过程中输入量在递增过程中的定度曲线与输入量在递减过程中的定度曲线往往不重合。

重复性误差是指测试装置在输入同一方向做全量程连续多次变动时，所得特性曲线不一致的程度，一般取正行程最大重复性偏差和反行程的最大偏差中的较大者，在一满量程输出的百分数表示。

4-66答：稳定性是指在一定的工作条件下，保持输入信号不变时，输出信号随时间或温度等的变化而出现缓慢变化的程度，也称为漂移，通常用输出量的变化表示。产生漂移的原因为一方面是仪器自身结构参数的变化，另一方面是外界工作环境参数的变化对响应的影响。

稳定度是指在规定的工作条件下，测试系统的某些性能随时间变化的程度，通常用测试系统示值的变化量与时间之比来表示。温漂是指仪器在允许的使用温度范围内示值随温度的变化而变化的量。零漂则是指仪器开机一段时间后零点的变化情况。随着温度的变化，仪器的灵敏度发生漂移称之为灵敏度漂移。

4-67答：量程：测量系统能测量的最小输入量（下限）至最大输入量（上限）之间的范围。

测量范围：测量上限值与下限值的代数差。

有效量程或工作量程：指被测量的某个数值范围，在此范围内测量仪器所测得的数值，其误差均不会超过规定值。

4-68答：可靠性是反映测试系统在规定的条件和规定的时间内保持其运行指标不超限的一种综合性的质量指标。常用的可靠性指标有：

（1）平均无故障时间：表示相邻两次故障间隔时间的平均值；

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（2）可信任概率：表示在给定的时间内误差仍能保持在规定限度以内的概率； （3）故障率或失效率：是平均无故障时间的倒数；

（4）有效度或可用度：平均无故障时间除以平均无故障时间与平均修复时间之和。 4-69答：信号功率与干扰（噪声）功率之比叫信噪比。记为SNR，单位为分贝（dB）。Ns和Nn分别表示信号功率和噪声功率，Vs和Vn分别表示信号电压和噪声电压，这信噪比可表示为：

SNR?10lgNsV或SNR?20lgs NnVn4-70答：测量装置不受噪声影响而能获得不失真输出的测量上限值ymax与下限值ymin之比值20lg(ymaxymin)称为动态范围，单位为分贝。

4-71答：(1)静态特性：灵敏度、漂移、线性、稳定性、精确度；(2)动态特性；(3)负载

特性；(4)抗干扰特性；

4-72答：传递函数H(s)是在复数域中描述和考察系统的特性，与在时域中用微分方程来描述和考察系统的特性相比有许多优点。频率响应函数是在频域中描述和考察系统特性。与传递函数相比，频率响应函数易通过实验来建立，且其物理概念清楚，利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。

在系统传递函数H(s)已经知道的情况下，令H(s)中s的实部为零，即s?j?便可以求得频率响应函数H(?)。

4-73答：测试系统的动态特性指标：一阶系统的参数是时间常数?；二阶系统的参数是固有频率?n和阻尼率?。一阶系统的时间常数?值越小系统的工作频率范围越大，响应速度越快。二阶系统的阻尼率?一定时，?n越高系统的工作频率范围越大，响应速度越快；阻尼率?的取值与给定的误差范围大小和输入信号的形式有关，为了增大系统的工作频率范围和提高响应速度，工程上一般选取?=（0.6～0.8）。

4-74答：理想测量系统的幅频特性是一条直线——此系统对所有频率的谐波信号的幅度缩放作用相同；理想测量系统的相频特性是一条过原点的直线——对各频率谐波的零时相位增量与频率成比例。理想测量系统能不失真地测量输入信号，然而在实际测量系统中，要尽量在一般频率范围内幅频特性接近平直，相频特性接近过原点的直线，这样才能无明显失真地输出信号。若单独的简谐信号，也要考虑幅频、相频特性，才能不失真地测量信号。

4-75答：系统传递函数H(s)的拉普拉斯逆变换h(t)称为权函数，系统的响应（输出）

y(t)等于权函数与激励（输入）x(t)的卷积，即y(t)?h(t)?x(t)，反映了系统输入及输出的关系。如果某系统的输入为单位脉冲函数?(t)，这该系统输出等于权函数，即y(t)?h(t)或Y(s)?H(s)，因此权函数也称为单位脉冲响应函数。

4-76答：频率响应H(j?)的模A(?)与频率?的关系A(?)??曲线称为幅频特性曲线。对自变量?（或f）取对数标尺，因变量取分贝（dB）数，即作20lgA(?)?lg?图和?(?)?lg?图，分别称为对数幅频曲线和对手相频曲线，两者统称为伯德(Bode)图。在复平面内作一矢量，其长度为H(j?)的模A(?)，矢量与实轴正向的夹角为H(j?)的幅角

，但?在[0,?]区间变化时，矢量端点的轨迹就称?(?)（以反时针方向为?(?)角度正向）

为测试系统的幅相频率曲线，又称为奈奎斯特(Nyquist)图。

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频率特性用Bode图表示能在有限空间范围内表示更宽的频率范围，能将乘除法运算简化为对数坐标上的加减运算，能更直观清晰的表示出系统的频率特性。

4-77答：测试系统对任意输入的响应为：y(t)?x(t)?h(t) 一阶系统在脉冲输入的响应为：y(t)?二阶系统在脉冲输入的响应为：y(t)?1?e?t?

?n1??2e?3?ntsin(?n1??2)t

?t?一阶系统在单位阶跃输入的响应为：y(t)?1?e二阶系统在单位阶跃输入的响应为：y(t)?1?

e???nt1??2sin[(?n1??)t?tg)

2?11??2?]

一阶系统在单位斜坡输入的响应为：y(t)?t??(1?e二阶系统在单位斜坡输入的响应为：

?t??n1???t22y(t)?t??(1?n)e??t （临界阻尼情况）

?n?n2ny(t)?t?2??n?e???nt2sin[(?n1??)t?tg2?12?1??2] （欠阻尼情况）

2?2?1y(t)?t?2?n?1?2??2?1?2?22?n??12e?(???2?1)?nt?1?2??2?1?2?22?n??12e?(???2?1)?nt

（过阻尼情况）

4-78答：对于二阶系统：应使??0.6~0.7，能减小动态误差，系统能以较短的时间进入偏离稳态不到2%～5%的范围内，使系统的动态响应较好。

当系统的阻尼率?在0.7左右时，A(?)的水平直线段会相应的更长一些，?(?)与?之间也在较宽频率范围内更接近线性，因而取??0.6~0.7可获得较小的误差和较宽的工作频率范围，相位失真也很小。

4-79答：对于一阶系统来说，如果时间常数?愈小，则测试系统的响应速度愈快，可以在较宽的频带内有较小的波形失真误差。所以一阶系统的时间常数?愈小愈好。

对于二阶系统来说，当??0.3?n或??(2.5~3)?n时，其频率特性受阻尼比的影响就很小。当??0.3?n时，?(?)的数值较小，?(?)??特性曲线接近直线。A(?)的变化不超过10%，输出波形的失真较小；当??(2.5~3)?n时，?(?)?180，此时可以通过减去固定相位或反相180的数据处理方法，使其相频特性基本上满足不失真的测试条件。但A(?)值较小，必要时需提高增益；当0.3?n???2.5?n时，其频率特性受阻尼比的影响较大，需作具体分析；当??0.6~0.8时，二阶系统具有较好的综合特性。例如，当??0.7时，在0~0.58?n的带宽内，A(?)的变化不超过5%，同时?(?)??也接近于直线，所以，此时波形失真较小。

4-80答：记不失真测试系统的输入为x(t),输出为y(t)不失真, 即输出y(t)只可放大S

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??倍和延时t0时刻,即应对y(t)?Sx(t?t0)该式左、右分别作傅氏变换，有:

Y(f)?Se?j2?ft0 X(f)故对不失真测试系统的要求是:A?f??const,??f???2?ft0

Y(f)?SX(f)e?j2?ft0,即:H(f)?5.分析计算题解答

4-81答：线性系统的频率保持性性质为：若输入为某一频率的简谐信号，则系统的稳态输出必是也只是同频率的简谐信号。

由于x(t)?y(t)，按线性系统的比例特性，对于某一已知频率?有?x(t)??y(t)，

22dx2(t)dy2(t)?又根据线性系统的微分特性有，应用线性系统的叠加性原理有： 22dtdt2dx(t)dy2(t)22[??dt]?[??dt] 22dtdtj?t现令输入为某一单一频率的简谐信号，记作x(t)?X0e，那么其二阶导数为：

d2x(t)?(j?)2X0ej?t???2x(t) 2dtdy2(t)dx2(t)22??x(t)?0??y(t)?0 由此得，相应的输出也应为零即：22dtdtj(?t??)于是输出y(t)的唯一的可能解只能是y(t)?Y0e，所以系统的稳态输出是同频率

的简谐信号。

4-82解：（1）求解串联系统的灵敏度

S?S1?S2?S3?80?5?10?3?25?10(mm/MPa

（2）求压力值

P?Y30??3(MPa) S10-2

4-83解：总灵敏度=4.04×10×0.226=91.304mv/Pa

1.0?107?2.475?108(mv/pc) 电荷放大器的灵敏度调整为?24.04?1024-84解：（1）该仪表的输出特性方程为：u?1?0.6p?0.02p（v）；

du?0.6?0.04p（v/MPa）（2）该仪表灵敏度表达式为S?； dp（3）压力为2MPa时灵敏度为S=0.68；压力为8MPa时灵敏度为S=0.92；说明该仪表的灵敏度不是恒定的常数，线性差，在使用时需要作线性度分析。

4-85解：当s?0时的两传递函数值分别为：

41?n1.5|?41 |s?0?3.0；22s?0s?1.4?ns??n3.5s?0.5

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