高中数学基础知识大串讲知识点

人教版高中数学知识点总结

前言：

无论是学习，还是考试，对于知识我们都要应该从学习最基础最根本的定理,公式，以及概念开始，切不可眼高手低，舍本逐末。基础不牢地动山摇，只有当我们将基本的掌握了，才能更加有深度有逻辑的去思考，去发现，去探索。

以下是本人对高中数学知识点总结，当然不可能面面俱到，仅供读者参考。

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?x|y?lgx，B?y|y?lgx，C?(x,y)|y?lgx，A、B、C??????中元素各表示什么？

. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 2注重借助于数轴和韦恩图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如 ：集合A?x|x?2x?3?0，B?x|ax?1??2?1?3?? 若B?Aa，则实数的值构成的集合为

（ 答：?1，0，）?? 3. 注意下列性质：

（ 1）集合a，a，??，a的所有子集的个数是2；12n????n2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （

（3）德摩根定律：

CA?B?CA?CB，CA?B?CA?CB????????????UUUUUU 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

：已知关于x的不等式?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a 如 2的取值范围。

ax?5x?aa·3?5（∵3?M，∴2?03?a

a·5?5∵5?M，∴2?05?a?5? ?a?1，?9，25）??????3 5 . 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?).

p?q为真，当且仅当p、q均为真 若

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真

?p为真，当且仅当p为假 若

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 注意否命题和命题的否定的区别与联系。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

x4?x?? 例：函数y?的定义域是2lgx?3?? （ 答：0，2??2，33，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

?????? 如 ：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域是_____________。 （ 答：a，?a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f?????x?1?ex?x，求f(x).

?t?x?1，则t?0 令

x?t?1 ∴

2 ∴ ft()?e?t?1 ∴ f(xe)???x1x?0??2x?12t?122 12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1?xx0????? 如 ：求函数f(x)?的反函数?2?x?x?0???x?1?x?1???答：f()x?） （ ???x?x?0????1 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a ? ff(a)??f(b)a，ff(b)(?fa)?b???1?1?1?1?? 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（yf?()u，u??()x，则yf??()x??（外层）（内层）

当 内、外层函数单调性相同时f?(x)为增函数，否则f?(x)为减函数。）????：求y?log?x?2x的单调区间 如 12?2?2 （ 设u??xxu?2，由?0则0?x?22logu?，u??x??1，如图： 且 ??112 u O 1 2 x 当 x?(0，1]时，u?，又logu?，∴y?12x?[1，2)时，u?，又logu?，∴y? 当 12 ∴??）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 在 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

3??：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大 如

值是（ ） A. 0

B. 1

2?? C. 2 D. 3

令fx'()?3x?a?3x??x???0 （ ??????a3???a3?x?? 则aa或x? 33a3已知f(x)[在1，??)上为增函数，则?1，即a?3 由

∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若 f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若 f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（ 2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。xa·2?a?2：若f(x)?x为奇函数，则实数a? 如2?1

∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0 （

0a·2?a?2?0，∴）a?1 即02?1x2 又 如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?()0，1时，f(x)?，x4?1求f(x)在?1，1上的解析式。 ???x2 （ 令x??1，0，则，?x?01，fx()???????x41??xx22 又 f(x)为奇函数，∴f(x)????x?x4?11?4xx?(?1，0)?2??x?01x?4? 又 f()0?0，∴fx()?）?x?2x?0，1??x?4?1? 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（ 若存在实数T（T?0），在定义域内总有fx?T?f(x)，则f(x)为周期??函数，T是一个周期。）

如：若fx?a??f(x)，则 ?? （ 答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b? 又 ?? 即 f(a?x)(?fa?x)(，fb?x)(?fb?x)f(x)是周期函数，2a?b为一个周期 则

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

(x)与f()?x的图象关于y轴对称 f

f (x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f (x)与?f(?x)的图象关于原点对称?1 f (x)与f(x)的图象关于直线y?x对称 f (x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f (x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称y?f(x?a)左移a(a?0)个单位 将 y?f(x)图象??????????y?f(x?a)右移a(a?0)个单位????????? ? 注意如下“翻折”变换：

yf?(xa??)b上移b(b?0)个单位

yf?(xa??)b下移b(b?0)个单位f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如 ：f(x)l?ogx?1??2出y??logx1及yx?log?1的图象 作 ??22 y y=log2x O 1 x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

（ 1）一次函数：y?kx?bk?0?? （ 2）反比例函数：y?k?0推广为y?b?k?0是中心O'()a，b????的双曲线。

24ac?b?b? （ 3）二次函数y?ax?bx?ca?0?ax??图象为抛物线??????2a4a22kxkx?a2?b4?acb?b点坐标为?，，对称轴x?? 顶 ??a4a?2a?224ac?b 开 口方向：a?0，向上，函数y?min4a24ac?b a ?0，向下，ymax?4a 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

22 ax?bx?c?0，??0时，两根x、x为二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴122 的两个交点，也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端点值。 ②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

??0???b2：二次方程ax?bx??c0的两根都大于k???k 如 ?2a?fk()?0?? y (a>0) O k x1 x2 x

根大于k，一根小于k?f(k)?0 一

4）指数函数：，y?aa?01a? （ 5）对数函数y?logxa?01，a? （ ax???? 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0

（ 6）“对勾函数”y?x?k?0?? 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

y ?k O k x kx

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指 数运算：a?1(a?0)，a?(a?0)p a?a(a?0)，a?mnnmm?n0?p1a1nma (a?0)数运算：logM·N?logM?logNM?0，N?0 对 aaa loga??M1?logaM?logaN，loganM?logaM Nnlogx 对 数恒等式：aa?xc数换底公式：logb??logb?logb 对 maaalogblogacnnm 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。

先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??） （

（ 2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （ 先令x?y??t?f(?t)(?tf)?(t·t)?? ∴ ft()??ft()??f(t)?f(t) ∴ f()?t?f(t)??） （ 3）证明单调性：f(x)?fx?x?x?????2212 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （ 1）y?2x?3?13?4x （）2y???2x?4x?3

22x （ 3）x?3，y?x?3 （ 4）y?x?4?9?x设x?3cos?，???0， （ 5）y?4x?，x?(01，] 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l??·R，S扇?2????9x11l·R??·R2） 22 R 1弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

in??MP，cos??OM，tan??AT s

y T B S P α O M A x

如 ：若????0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是?8 又如：求函数y????1?2cos??x?的定义域和值域。

?2? （ ∵1?2cosx）?1?2sinx?0???????2? ∴sinx?2 ，如图：2

∴ 2k???x?2k??k??Z，0y?1?2?? 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

5?4?4

s inx?1，cosx?1 y y?tgx x ? ? ? O ? 22

对 称点为k，0，k?Z??

???2???sinx的增区间为2k??，2k??k?Z y ????区间为2k??，2k???kZ? 减 ???22 图 象的对称点为k?，0，对称轴为x?k??k?Z?????2??2????3??????2?cos的增区间为2k?，2k???k?Z yx ??区间为2k???，22k???k?Z 减 ??????象的对称点为k??，0，对称轴为x?k?k?Z 图 ???????2???2????2? y ?tanx的增区间为k??，k??k?Z??6. 正弦型函数y=Asin?x+?的图象和性质要熟记。或y?Acos?x?? 2 ???? （1）振幅|A|，周期T?

??2?|?|fx??A，则x?x为对称轴。 若 ??00fx?0，则x，0为对称点，反之也对。 若 ??00?? （ 2）五点作图：令?x??依次为0，，?，，2?，求出x与y，依点（x，y）作图象。

（ 3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）?3?22

?(x?1)???0?图列出 如? ??(x)???2?2? 解 条件组求?、?值 ?正切型函数y?Atan?x??，T? ???|?| 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的

范围。

如 ：cosx???，x??，，求x值。???? （ ∵??x?，∴?x??，∴x??，∴x??） 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y?sinx?sin|x|的值域是

????6?22??3??2?3?7??5??5?1326636412x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2） （

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换） 平移公式：

?????x'?x?h?a?(h，k)1）点P（x，y）??????P'（x'，y'），则 （ ?y'?y?k平移至?2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0 （ ：函数y?2sin2x??1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的 如 ??????4??图象？

1?????横??坐标伸长到原来的2倍? （ y?2sin2x??1???????????y?2sin2x??1???????4????24?????上平移1个单位4 ?2sinx??1????????y?2sinx?1????????y?2sinx???4?左平移个单位12 ???????????y?sinx）纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如 ：1?sin??cos??sec??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan2222?4? ?sin?cos0???称为1的代换。2? “ k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，2“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos?tan??sin21?????? 又如：函数y? A. 正值或负值

9??7???4?6

sin??tan?，则y的值为

cos??cot?B. 负值

C. 非负值

D. 正值

sin?sin??2sin?cos??1??cos? （ y??2?0，∵??0）cos?cos?sin??1??cos??sin? 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

s in????sin?cos??cos?sin??????sins2??2in?cos???令???令???22cos?cos??sin?sin??????cos2??cos??sin? ??????costan??????tan??tan?22 ?2cos??1?1?2sin?? 1?tan?·tan?tan2??

2tan? 21?tan? 1?cos2?2 1?cos2?2sin??22cos??

sin??bcos??ab?sin???，tan?? a ??22ba s in??cos??2sin?????????4???3 s in??3cos??2sin???? 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含

三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

（ 1）角的变换：如???????，?????????????? （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

??????????????2?22sin?cos?21?cos2?3sin?cos?cos?1 （ 由已知得：??1，∴tan??22sin?22sin?2 又tan??????

3 如 ：已知，?1tan?????，求tan??2?的值。????21?tan????tan?3??12 ∴ tan??2??tan????????）??????1218?tan???·tan???1?·32 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

222b?c?a弦定理：a?b?c?2bccosAA?cos? 余

2bc222 （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a?2RsinA?abc? 正 弦定理：???2R?b?2RsinB?sinAsinBsinC?c?2RsinC? S ·bsinC??a12A?B?C??，∴A?B???C ∵ sinA??BinC，sin ∴??s 如?ABC中，2sin2A?BC?cos 22A?B?cos2C?1 21）求角C； （

2c （ 2）若ab??，求cos2A?cos2B的值。222 （ （1）由已知式得：1?cosA?B?2cosC?1?1??2A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0 又

∴ cosC?或cosC??1（舍） 又0?C??，∴C?

212?322122?32222 2 sinA?2sinB?sinC?sin?343 1?cos2A??1cos2B?

43 ∴ cos2A?cos2B??）4 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

（ 2）由正弦定理及a?b?c得： 反 正弦：arcsinx??，，，x??11??????22????余弦：arccosx?0，?，x??1，1 反

反 正切：arctanx??，，xR????? 34. 不等式的性质有哪些？ （1）a?b，?????????22?c?0??acbcc?0??acbc

（ 2）a?b，c?d?a?c?b?d （ 3）a?b?0，c?d?0?ac?bd4）a?b?0??，a?b?0?? （

nn （ 5）a?b?0?a?b，a?bnn11ab11ab6）|x|?aa?0??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a （ ??：若，??0则下列结论不正确的是（） 如

11ab

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/68j2.html