2010年考研概率强化讲义（1-5章）

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第一节 基本概念

、概念网络图

、重要公式和结论

nPm?m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m?n)!m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(m?n)!两种方法均能完成此事）：m+n 种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m。 两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m。 非重复排列（有序） 组合公式 nCm?和乘法原理 常见排列 至少有一个） 验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言试验和随机事件 ，则称这种试验为随机试验。 结果称为随机事件。 下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： 次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ，都是由这一组中的部分事件组成的。 件中的每一个事件称为基本事件，用是由?中的部分点（基本事件?来表示。 全体，称为试验的样本空间，用?表示。 事件、样本空间和事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，?表示事件，它们是?事件，?为不可能事件。 （?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而也不一定是必然事件。 A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：有的关系与运算 A?B A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者件。 AB，它表示A发 要考试？上易考网！ 第 1 页 共 49 页

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总共输的场次是多少？

小鹰号和Titanic号，问有多少种走法？ Titanic号，问有多少种走法？

例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有

例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和

例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。

例1．5：两线段MN和PQ不相交，线段MN上有6个点A1，A2?，A6，线段PQ上有7 个点B1，B2，?，B7。若将每一个Ai和每一个Bj连成不作延长的

线段AiBj(i=1,2,?6;j=1,2,?,7),则由这些线段 AiBj相交而得到的交点最多有

． 315个 B． 316个 C． 317个 D． 318个

例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。

例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）

111111C3?C5?15 C5?C5?C2?C2?21

例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）

111111C3?C4?12 C5?C4?C2?C1?18

例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序） 2211?C2?9 C3?C4?12 C5例1．11：化简 (A+B)(A+B)(A+B) 例1．12：(A?B)C(1)C??(AC)?(BC) 成立的充分条件为： A (2) C?B 例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？ 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？

例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？ 例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。 ①从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

②从袋中任意地接连取出k+1（k+1≤α+β）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。

③上两题改成“放回”。

例1．17：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。

2

2

例1．18：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？

例1．19：设O为正方形ABCD[坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）]中的一点，求其落在x+y≤1的概率。

例1．20：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字8的概率。

例1．21：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：①两只球都是白色的概率；

②两只球颜色不同的概率；③至少有一只白球的概率。

例1．22：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？

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例1．23：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，并具有如下的概率： 一批产品中的次品数 概 率 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.5 现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率。

例1．24：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，并具有如下的概率：

一批产品中的次品数 概 率 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.5 现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有i(i件次品的概率。

?0,1,2,3,4)例1．25：A，B，C相互独立的充分条件：

（1）A，B，C两两独立

（2）A与BC独立

例1．26：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标被射中的概率。

例1．27：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为0.45，0.55，0.60，问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为0.9）？

例1．28：假设实验室器皿中产生A类细菌与B类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次发现产生了n个细菌，则其中至少有一

个A类细菌的概率是 。

个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

例1．29：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a

例1．30：有4组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？

例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为

2p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为：

2．4p(1?p)3

B．4p(1?

p)3 p)3

C．10p(1?p)3

D．

p2(1?p)3

E．(1?第二节 重点考核点

事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型

第三节 常见题型

、事件的运算和概率的性质 例1．32：(A?B)-C=(A-C)?B 成立的充分条件为：

(1)A?B=? (2)

A?C=?

例1．33：A,B,C为随机事件，“A发生必导致B、C同时发生”成立的充分条件为：

(1) A∩B∩C=A (2)A∪B∪C=A

例1．34：设A，B是任意两个随机事件，则P{(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)}=

。

例1．35：假设事件A和B满足P（B | A）=1，则

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（A） A是必然事件。 （C）A?

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（B）

A?B。

[

]

B。

（D）P(AB)?0。

、古典概型和几何概型

例1．36：有两组数，都是{1，2，3，4，5，6}，分别任意取出一个，其中一个比另一个大2的概率？

例1．37：52张扑克牌，任取5张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。

例1．38：设有n个质点，每个以相同的概率落入N个盒子中。设A=“指定的n个盒子中各有1个质点”，对以下两种情况，试求事件A的概率。

（1）（麦克斯威尔-波尔茨曼统计）假定n个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。

（2）（费米-狄拉克统计）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。

例1．39：袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球。从中任取3个，求这三个球中至少有1个是白球的概率。

例1．40：侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于2分钟的

概率。

例1．41：会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？

、条件概率和乘法公式

例1．42：从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？

例1．43：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？

、全概和贝叶斯公式

例1．44：在盛有10只螺母的盒子中有0只，1只，2只，?，10只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，

则这个螺母为铜螺母的概率是

． 6/11 B．5/10 C．5/11 D．4/11

例1．45：有5件产品，次品的比例为20％，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？

例1．46：有5件产品，每件产品的次品率为20％，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？

例1．47：发报台以概率0.6和0.4发出信号“· ”和“－”，由于通信系统存在随机干扰，当发出信号为“· ”和“－”时，收报台分别以概率0.2

和0.1收到信号“－”和“·?”。求收报台收到信号“·?”时，发报台确实发出信号“·?”的概率。

。

例1.48：100个球，40个白球，60个红球，先后不放回取2次，问第2次取到白球的概率？

例1.49：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是

例1.50：设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中

求先抽到的一份是女生表的概率p；

已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。

先后抽出两份，

（1）

（2）

、独立性和伯努利概型

例1．51：设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?19，并且P(A?B?C)?，求事件A的概率。 216例1．52：设P(A)>0,P(B)>0，证明

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若A与B互斥，则A与B不独立。

若AB≠Φ，则A，B一定独立。 若AB≠Φ，则A，B有可能独立。 若AB=Φ，则A，B一定独立。 若AB=Φ，则A，B一定不独立。

（1）

（2）

例1．53：对行任意二事件A和B，

（A）

（B）

（C）

（D）

例1．54：“A,B,C为随机事件，A -B与C独立”的充分条件：

1) A,B,C两两独立 （2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

例1．55：设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0＜P（C）＜1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是 ．

（A）（C）

A?B与C。 A?B与C。

（B）（D）

AC与C。

AB与C。

[

]

例1．56：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：

A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出

现两次}，则事件

（A）（C）

A1,A2,A3相互独立。 A1,A2,A3两两独立。

（B）（D）

A2,A3,A4相互独立。 A2,A3,A4两两独立。

例1．57：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为0.3，并且它们下车与否相互独立。求在发车时有10个乘客的条件下，中

途有3个人下车的概率。

例1.58：某种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6，问连续抛5次,至少有4次朝上的概率。

例1．59：A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B都不发生的最大概率？

例1．60：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）

内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”

的概率的

A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍

第二章 随机变量及其分布

第一节 基本概念

、概念网络图

?基本事件???随机事件A??P(A)????????? ?随机变量X(?)??a?X?b??F(b)?F(a)? 要考试？上易考网！ 第 7 页 共 49 页

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?????均匀分布????连续型?指数分布???????正态分布???????、重要公式和结论 型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,?)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 =pk，k=1,2,?， 式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： Xx1,x2,?,xk,?|P(X?xk )p1,p2,?,pk,?。 型随机变量的分布律布律应满足下列条件： pk?0，k?1,2,?， （2）k?1F(x随机变量x???p?k?1。 X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 F(x)??f(x)dx， 连续型随机变量。型随机变量的分布密度有下面4个性质： f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 f(x)?0。 ????f(x)dx?1。 与连续型随机变量的关P(X?x)?P(x?X?x?dx)?f(x)dx f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用 要考试？上易考网！ 第 8 页 共 49 页

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