光的衍射 习题集

第五章 光的衍射

5.1光源S以速度V沿一方向运动，它发出的光波在介质中的传播速度为v，试用惠更斯原理证明：当V>v时，光波具有圆锥形波前，其半圆锥角为??sin()5.2点光源向平面镜发出球面波，用惠更斯作图法求出反射波的波前。

?1vV

2题图

5.3试从场论中的散度公式

??F*d??????Fdv

导出格林公式（5-6）。[提示：令F= G?E 。并利用恒等式?(G?E)??G?E?G?E?] 5.4对题5.2图中所示的平面屏上孔径 G?（r=r’，p

和

~~~~~~~~2~?的衍射，证明：若选取格林函数

exp(ikr)exp(ikr') ?rr'p

点的场值为

p’对衍射屏成镜像关系），则

E(p)? 5.5在图中，设

Aexp(ikl)exp(ikr)cos(n,r)d? ???i?lr?2 上的场是由发散球面波产生的，证明它满足索末菲辐射条件。

5题图

5.6波长??500nm的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔，在光轴（它通过方孔中心并垂

直方孔平面）附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。

5.7求矩孔夫琅和费衍射图样中，沿图样对角线方向第一个次极大和第二个次极大相对于图样中心的强度。

5.8将长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上,以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。 5.9.证明平行光斜入射到单缝上时，单缝夫琅和费衍射强度为

sin[ I?I0{?a(sin??sini)???a(sin??sini)]?}

。（2）中央亮纹的? 是衍射角，i是入射角（见图）

式中，I0央亮纹中心强度，a是缝宽， 角半宽度为???acosi

9题图

5.10在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为300mm, 光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？

5.11用物镜直径为4cm的望远镜来观察10km远的两个相距0.5m的光源。在望远镜前置一可变宽度的狭缝，缝宽方向与两光源连线平行。让狭缝宽度逐渐减小，发现当狭缝宽度减小到某一宽度时，两光源产生的衍射像不能分辨，问这时狭缝宽度为？（设光波波长为550nm.） 5.12试利用 第五章 5-5的结果，导出外径和内径分别为a和b的圆环的夫琅和费衍射强度公式。并求出当b=a/2时。（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。

12题图

5.13用望远镜观察远处两个等强度的发光点S1和S2。当S1的像（衍射图样）中央和S2

的像的第一个强度零点相重合时，两像之间的强度极小值与两个像中央强度之比是？

5.14（1）一束直径为2mm的氦氖激光（??632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月球相距3.76*103km，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜倒用作为扩束器将该光束扩展成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？

5.15人造卫星上的宇航员声称，他恰好能够分辨离他100km地面上的两个点光源。设光波的波长为550nm，宇航员眼瞳直径为4mm，这两个点光源的距离是？

5.16若望远镜能分辨角距离为3*10 -7 rad 的两颗星，它的物镜的最小直径是？同时为了充分利用望远镜的分辨本领，望远镜应有多大的放大率？ 5.17若要使照相机感光胶片能分辨2?m的线距，（1）感光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线；（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？（设光波波长为550nm。）

5.18一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长?? 400nm时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨本领提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨角为1’.）

5.19一块光学玻璃对谱线435.8nm和546.1nm的折射率分别为1.6525和1.6245。试计算用这种玻璃制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度。钠D双线的波长为589.0nm和589.6nm。

5.20在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长为??632.8nm，透镜焦距为f=50cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离为e=1.5mm，并且第4级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。

5.21在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm，折射率为1.5的玻璃片，设双缝间距为1.5m，缝宽为0.5 m，用波长为500nm的平行光垂直入射，分析该双缝的夫琅和费衍射图样。 5.22一块光栅的宽度为10cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500mm。问（1）它产生的波长??632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度为？（2）若入射光是波长为632.8nm和波长与之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？

5.23计算光栅（光栅常数）是缝宽5倍的光栅的第0，1，2，3，4，5级亮纹的相对强度。并对N=5的情形画出光栅衍射的强度分布曲线。

5.24设计一块光栅，要求（1）使波长??600nm的第2级谱线的衍射角，（2）色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长??600nm的第2级谱线处能分辨0。02的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？

5.25为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需要有多宽？ 5.26证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为 I?I0(式中,??sina2sinN?2)() a??a?d(sin??sini),??(sin??sini) ??，N为光栅常数。（2）若光栅常数d>>? ，光栅形成? 为衍射角，i为入射角（见图）

主极大的条件可以写为(dcosi)(??i)?m? m=0,?1,?2……

26题图

5.27有一多缝衍射屏如图所示，缝数为2N，缝宽为a，缝间不透明部分的宽度依次为a和3a，试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。

27题图

5.28一块每毫米1000个刻槽的闪耀光栅，以平行光垂直于槽面入射，一级闪耀波长为546nm。问（1）光栅的闪耀角为？（2）若不考虑缺级，有可能看见546nm的几级谱线；（3）各级谱线的衍射角是多少？

5.29一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角77012’。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大？（3）试问空间间隔为1cm，精细度为25的法布里－珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。 5.30一透射式阶梯光栅由20块玻璃板叠成，板厚为1cm，玻璃折射率n=1.5，阶梯高度为0.1cm，以波长500nm的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级数；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）

5.31 一块位相光栅如图所示，在透明介质薄板上做成栅距为d 的刻槽，刻槽的宽度与凸阶宽度相等，且都是透明的。设刻槽深度为t，介质折射率为n，平行光正入射。试导出这一光栅的夫琅和费强度分布公式，并讨论它的强度分布图样。

31题图

5.32 如图所示，

?是单色点光源S发出的光波波面。试利用基尔霍夫衍射公式（5-19），

计算相对于考察点P划分的波面上第j个波带在P点产生的复振幅。设波面的半径为 R，S到P的距离为R+r0.

32题图

5.33 如图所示，单色点光源（波长?＝500nm）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环。考察点P离光阑1m（SP连线通过圆环中心，并垂直于圆环平面）。问在P点的光强度和没有光阑时的光强度之比是多少？

33题图

5.34 波长?=563.3nm的平行光正入射直径D=2.6mm的圆孔，与孔相距r0=1m处放一屏幕。问(1)屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？(2)要使P点变成与(1)相反的情况，至少把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？

5.35 单位振幅的单色平面波垂直照明半径为1的圆孔，试利用式（5-24）证明，圆孔后通过圆孔中心的光轴上的点的光强分布为

I?4sin2式中，z为考察点到圆孔中心的距离。

? 2?z5.36 一波带片离点光源2m，点光源发光的波长?=546nm，波带片成点光源的像于2.5m远的地方，问波带片第一个波带和第二个波带的半径是多少？

5.37 一波带片主焦点的强度约为入射光强度的10倍，在400nm的紫光照明下的主焦距为81cm。问(1)波带片应有几个开带；(2)波带片半径是多少？

5.38 两个同频的平面波同时射向一张全息底板（设为xoy平面），它们的方向余弦分别为（

3cos?1，

cos?1，

cos?1）和（

cos?2，

cos?2，

cos?2），振幅分别为A1和A2。(1)写

出全息底板上干涉条纹强度分布的表达式；(2)说明干涉条纹的形状；（3）写出x方向和y方向上条纹间距的表达式。

5.39 在图所示的全息记录装置中，若60O= －?R，是证明全息图上干涉条纹的间距为

0e??2sin()2

?式中，?是两平行光束的夹角。当采用氦氖激光记录（?＝632.8nm）。并且?是10和60，条纹间距分别是多少？

00

39题图

5.40 试对于上题条件下所获得的全息图，讨论分别采用下面两种再现照明方法时衍射光波的变化：(1)再现光波的波长和方向与参考光波相同；(2)再现光波（波长仍与参考光波相同）正入射于全息图。

5.41 如图a 所示，全息底板H上记录的是参考点源SR（坐标为xR， yR，zR）和物电源SO（坐标为xO，yO，zO）发出的球面波（波长为?1）的干涉图样。(1)写出H平面上干涉条纹强度分布的表达式；(2)记录下的全息图，若以位于点（xp，yp，zp）的点光源发出的球面波（波长为?2）来再现（图b），试决定像点的位置坐标。

41题图

5.42波长为500nm的平行光垂直照在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦平面上进项观察，求单缝衍射中央亮纹的半宽度。

5.43上题中第一亮纹和第二亮纹到衍射场中心的距离分别是多少？假设场中心的光强为

Io，他们的强度又是多少？

5.44导出单缝夫琅和费衍射中央亮纹中，强度为缝值强度的两点之间的角距离（角半宽度）的近似表示式（5-16）

5.45边长为a 和b的矩孔的中心有一个边长为a’和b’的不透明方屏，试导出这种光阑的夫琅和费衍射强度公式。

45题图

5.46利用单缝衍射的结果，导出棱镜的分辨本领的表示式。

5.47平行白光射在两条平行的窄缝上，二缝相距d?1mm，用一个焦距为1m的透镜将双缝衍射条纹聚焦在屏幕上。如果在屏幕上距中央白色条纹3mm处开一个小孔，在该处检查所透过的光，问在可见光区（390nm~780nm）将缺掉哪些波长？

5.48上题中可见光区两边缘波长的二级极大之间的距离和三级极大之间的距离是多少？ 5.49根据双缝衍射原理，利用迈克耳逊测星干涉仪，可以测量星体之间的角距离。设两颗星之间的距离（相当于双缝的缝距）逐渐增大到 5m时，衍射条纹的可见度变得很坏。试决定两星之间的角距离（所用光波波长为550nm）。

49题图

5.50导出多缝干涉因子次极大位置表示式，并求最靠近主极大的一个次极大的数值。

5.51导出单色光正入射下，光栅产生的谱线的角半宽度的表示。如果光栅宽度为10cm，每毫米内有500条缝，它产生的波长??632.8nm的单色光的一级和二级谱线的角半宽度是多少？

5.52上题中，若入射光是波长为632.8nm和633nm 的两种单色光，透镜的焦距为 50cm ，问两种波长的一级谱线之间和二级谱线之间的距离是多少？

5.53钠黄光包含589.6nm和589nm两种波长，问要在光栅的一级光谱中分辨开这两种波长的谱线，光栅至少应有多少条缝？

5.54波长范围从390nm到780nm的白光垂直入射到每毫米600条缝的光栅上。（1）求白光第一级光谱的角宽度；（2）说明第二级光谱和第三级光谱部分地重叠。

5.55证明当狭缝光源在以凹面光栅曲率半径为直径的圆周上时（此圆与光栅中点相切），光栅光谱也聚焦在这一圆周上。 5.56一正弦光栅的振幅透射率?(y)?112?y?cos()。试求它的夫琅和费衍射的复振幅分22d布和强度分布。

5.57一束直径为2mm 的氦氖激光（??632.8nm）自地面发向月球，已知月球到地面的距

离为376?10km,问在月球上接收到的光斑有多大？若把此激光束扩束到直径0.2m再射向月球，月球上接收到的光斑有多大？

5.58导出不用透镜情况下，用一张白幕在远处接受半径为? 的圆孔的夫琅和费衍射（远场衍射）的条件。若光波波长??500nm，圆孔半径 ??1cm，远场距离是多少？ 5.59在正常条件下，人眼瞳孔直径约为2.5mm，人眼最灵敏的波长 ??550nm。（1）试求人眼的最小分辨角；（2）要分辨远处相距 0.5m 的两光点，人眼至少离光点多近？（3）讨论眼球内玻璃状液折射率（= 1.336 ）对分辨本领的影响。 5.60一个使用汞绿光（ 物镜的相对孔径（D3??546nmq???f?0.02?500mm?10mm ）的微缩制版照相

f）为 1:3.5 ，问用分辨率（即分辨本领）为每毫米400条线的底片

来记录物镜的相是否合适？

5.61一台显微镜的数值孔径N?A??0.9，（1）试求它的最小分辨距离；（２）利用油浸物镜是数值孔径增大到1.5，利用紫色滤光片使波长?减小为400nm，问他的分辨本领提高多少？（３）为利用（2）中获得的分辨本领，显微镜的放大率应设计成多大？

5.62电子显微镜利用电子束成像。假设电子束的波长??1A，电子显微镜的孔径角2u?8，试求它的最小分辨距离和放大率。

5.63在大型天文望远镜中，通光圆孔中心部分因存在第二反射镜而被遮挡，形成一个环孔。假设环空外径和内径分别为a和a，问环孔的分辨本领比半径为a的圆孔的分辨本领提高

2了多少？

5.64证明当光波波长比考察点到波面的距离小的多时，各菲涅耳波带的面积相等。

5.65导出半径为 的圆孔包含的波带的表示式。并求出在平行光照明的情况下，当光波波长

??500nm，考察点P到圆孔距离r0?1m时，半径为5mm 的圆孔包含的波带数。

5.66利用基尔霍夫公式计算第 j 个波带在考察点P （见图）产生的复振幅，并比较光波自由传播情形和第一个波带在 P 产生的复振幅。

66题图

5.67如图所示， 单色点光源（波长??500nm）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光环。接收点P离光阑1m远。问在P点的光强度和没有光阑时的光强度之比是多少？

67题图

5.68波长??563.3nm的平行光射向直径D?2.6mm的圆孔，与孔相距r0=1m处放一屏幕，问（1）屏幕上正对圆孔中心的P 点视亮点还是暗点？（2）要使P 点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？ 5.69将奇数或偶数波带遮档住的光阑称为波带片，证明：（１）波带片有一个类似普通透镜的成像公式；（２）若f是波带片的焦距，相应决定一个主焦点，则在f/3, f/5, f/7, …处尚有一系列次焦点。

5.70有一波带对波长??500nm的焦距为1m ，波带片有10个奇数开带，试求波带片的直径是多少。

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