2018年一轮复习《平面向量的概念与线性运算》教学教案

平面向量的概念与线性运算

知识梳理： 1. 向量的有关概念

(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.

(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 . (3).相等向量: (4).相反向量: 2.向量 加法与减法

(1).向量加法按 法则或 法则;

向量加运算律:交换律: ;结合律: (2).向量减法作法: 3.实数与向量的积

(1). 实数错误！未找到引用源。与向量a的积是一个向量,记作错误！未找到引用源。,它的长度与方向规定如下：

长度：

方向： (2)．运算律

4.共线定理:

5.平面向量基本定理: 6.基底:

二、题型探究

探究一：平面向量的基本概念 例1．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a=b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a=b，b=c，则a=c； ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b； ⑤ 若a//b，b//c，则a//c； 其中正确的序号是 。

因此，AB?DC。

③正确；∵ a=b，∴ a，b的长度相等且方向相同； 又b＝c，∴ b，c的长度相等且方向相同， ∴ a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。

④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是

a=b的充要条件，而是必要不充分条件；

⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是②③。

点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。

例2：设a0为单位向量，

（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a0; (2) 若a与a0平行，则a=|a|·a0；

（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|a0，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。

点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 探究二：平面向量的线性运算

例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，BF，BD， FD表示出来。

（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a，b来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。

因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

aAF所以BA?BC?BA?AO?BO，BO=a＋b，OE= BO=a+b，

BbCOED

由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以BF=BO＋

OF=BO+BA=a+b+a=2a+b，

同样在平行四边形 BCDO中，BD＝BC?CD＝BC?BO＝b＋(a＋b)＝a＋2b，FD＝

BC?BA＝b－a。

点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 a，b表示，且可用规定其中任两个向量为a，b，另外任取两点为起点和终点，也可用a，b表示。 探究三：平面向量共线定理

例3：如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP：PM的值. 解:设BM=e1,CN? e2,则AM?AC?CM=-3e2-e1,BN? 2e1+e2,

∵A?P?M和B?P?N分别共线,∴存在λ?μ∈R,使AP=λAM=-λe1-3λe2,BP =μBN=2μe1+μe2. 故BA?BP?AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,

?λ＋2μ＝2而BA?BC?CA?2e1+3e2,∴由平面向量基本定理得?

?3λ＋μ＝3

4λ＝??5，∴?3

??μ＝5

，

∴AP?4AM,即AP:PM=4:1. 5三、方法提升

1、向量的线性运算可以结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，特别是有向线段表示向量运算时，要利用“首尾相接”或“起点相同”来化简； 2、证明三点共线问题，可用向量共线定理来解决。 四、反思感悟

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