朱建国版固体物理学习题答案

《固体物理学》习题参考 第一章

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=

2232a

对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=a

那么，

RfRb=

2a3a=63

1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

正方 a=b

a^b=90°

六方 a=b

a^b=120°

矩形 a≠b

a^b=90°

带心矩形 a=b

a^b=90°

平行四边形 a≠b

a^b≠90°

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）

(213)

答：证明

设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此

a1?n?hda2?n?kd ……… (1) a3?n?id由于a3=–（a1+ a2）

oooa3?n??(a1?a3)?n

1

oo把（1）式的关系代入，即得

id??(hd?kd) i??(h?k)

根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），13(3)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）

→(0110)，(213)→(2133)

1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：

?6（2）体

心立方：

3?8（3）面心立方：

2?6（4）六方密堆积：

2?6（5）金刚石：

3?16。

答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：

Z?Ni?12Nf?14Ne?18Nc

边长为a的立方晶胞中堆积比率为

F?Z*43?ra33

假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：

θ=

4/3?r(2r)33=

?6

（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为43r，那么：

θ=

2?(4/3?r)(4/3r)33=

3?8

（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么：

θ=

4?(4/3?r)(22r)33=

2?6

（4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此

2

432?(?r)3θ==32ac22?6

（5）对于金刚石结构

Z=8 a3?8r 那么F?Z*43?ra33?8?43??(38)=

33?16.

1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？ （2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？

答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。显然，a、b、c′

构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

（2）晶胞的体积= c??(a?b)= 3k?(3i?3j)=27*10(m)

-30

3

原胞的体积=c?(a?b)=

12(3i?3j?3k)?(3i?3j)=13.5*10-30(m3)

1.7 六方晶胞的基失为：a?32ai?a2j，b??32ai?a2j，c?ck

求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：

正格子的体积Ω=a·（b*c）=

32ac

2那么，倒格子的基矢为b1?2?(b?c)??2?3ai?2?aj ，b2?2?(c?a)???2?3ai?2?aj ，

b3?2?(a?b)??2?ck

其第一布里渊区如图所示：

1.8 若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为

dhkl?1h2k2l2()?()?()abc

答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为

a1h，

a2k，

a3l。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是

3

n?dha1x?dka2y?dla3z

这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到

(dha1)?(2dka22)?(2dla32)?1

2故d?[(ha1)?(ka2)?(la3)]2?12

1.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下

序号 θ/（°） 1 19.611 2 28.136 3 35.156 4 41.156 5 47.769 已知钽为体心立方结构，试求：

（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距； （3）利用上两项结果计算晶格常数.

答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：

I?Fhkl|?f[1?cos?n(h?k?l)]?fsin?n(h?k?l)

考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式

22222dhklsin???(n?1)

得 d110?同法得

?2sin?1?1.54052sin19.611o?2.295?10?10(m)

d200??2sin?2?1.6334?10?10(m)

d211??2sin?3?1.3377?10?10(m)

d220??2sin?3?1.1609?10?10(m)

d310??2sin?4?1.0403?10?10(m)

应用立方晶系面间距公式

4

dhkl?ah?k?l222h?k?l 222 可得晶格常数a?dhkl把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为

3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897

取其平均值则得

a?3.2725?10?10(m)

1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区. 答：参看下图，晶体点阵初基矢量为a1?ai

a2?用正交关系式bi?aj?2??ij?12ai?32aj

?02?,i?j

i?j求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 b1?b1xi?b1yj b2?b2xi?b2yj

由b1?a1?2? b1?a2?0 b2?a1?0 b2?a2?2? 得到下面四个方程式

ai?(b1xi?b1yj)?2? （1）

(12ai?32aj)?(b1xi?b1yj)?0 （2）

ai?(b2xi?b2yj)?0 （3）

(12ai?32aj)?(b2xi?b2yj)?2? （4）

2?a由（1）式可得：b1x?

由（2）式可得：b1y??2?3a

由（3）式可得：b2x?0

5

由（4）式可得：b2y?于是得出倒易点阵基矢

4?3a

b1?2?ai?2?3aj b2?4?3aj

6

第三章 习题答案

3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10－27kg，恢复力常数β＝15N·m

－1

解：一维单原子链的解为Xn?Aei(?t?qna)

据周期边界条件 X1?XN?1，此处N=5,代入上式即得 e?i(5a)q?1

所以 5aq＝2??（?为整数） 由于格波波矢取值范围：??a?q??a。 则 ?52???52

故?可取－2，－1，0，1，2这五个值 相应波矢：? 由于??4?m4?5asin,

qa2?2?5a,0,

2?5a,

4?5a

，代入?，m及q值

则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013 3.2

求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为

2N(?2m ????????)2?12 式中?m?4?m是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N

??2??q?dq 解：对一维单原子链，dN??(?)d????q?dq 所以?????2??q?d?dq （1）

由色散关系??

d?dq4?m4?mqa2?sina2qa2 求得

4?am2(1?sin2?cos?qa2)1/2?a2[(4?m)??]21/2 （2）

而??q?? ????? 由于 N? 令

??mL2??Na2?， 则由（1）式可得

2Na2?a4?2N21/222?1/2[??]?(?m??) 2m?4?m??m ，则总的振动模数为

?wm????d??0?wm2N0?(?m??2)2?1/2d?

?sin?，则积分限为0到?/2 ， 故

7

? N??22??0??cos???1cos?d??2N2??0?N

9N3.3

设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为?????解：由书上（3－69）式可得 ?????g???v?1/3?3m2?

32?2?v23 （1）

由（3－71）可得 ?D??m??6?2n?v

3由此可得 2?2v3??m3n ，代入（1）式得

?????9N?3m2?

3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10－27kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数β＝15N·m－1，试求 （1）

光学波的最高频率和最低频率?max和?min； 声学波的最高频率?max； 相应的声子能量（以eV为单位）；

在300K可以激发频率为?max，?min和?max的声子的数目； 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。

?A??（2） （3） （4） （5）

?A 解：（1）??MmM?m?45m

?max??2??2?m2?M?6.70?10rad/sec?1.07?10Hz

1313 ?min???5.99?10rad/sec?0.95?101313Hz

?max?A?3.00?10rad/sec?0.48?101313Hz

??2（2）??max?4.41?10eV

??2 ??min?3.95?10eV

A?2 ??max?1.97?10eV

（3）n?1e?w/kT?1

? ?n?max?0.221， n?min?0.276 ，

?n?max?0.873

A 8

（4）?光速c??v ，???cv?c?2???max?2.8?10?5m?28?m

3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于?和10?， 且最近邻的距

离为a/2，试画出色散关系曲线，并给出q?0和q???/a处的??q?。 解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，

β 10β β 10β a2 m x2n-1 x2n x2n+1 x2n+2 原子的运动方程应是??2n?10??x2n?1?x2n????x2n?x2n?1?x?m??2n?1???x2n?2?x2n?1????x2n?1?x2n?x?m?

?2n???10x2n?1?x2n?1?11x2n? x即 m??2n?1???x2n?2?10x2n?11x2n?1? x m? 求格波解， 令 x2n?Aeqa??i??2n???t?2??，x2n?1?Beqa??i??2n?1???t?2??

代入运动方程，可导出线性方程组为：

??11??2?iqa/2?iqa/2??A?10e?eB?0?????mm? ??iqa/211????iqa/22??e?10eA?????B?0??m??m????令

?m??0，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得

202?11???22???0(10e4?iqa/2?e?iqa/2)(eiqa/2?10e?iqa/2)?0

?可解出

22 ???011??20cosqa?101 色散关系见下图

?q?0时，cosqa?1，

q?????22?0，???0 20?0，???2?0

?a时，cosqa??1，??? 9

3.6．在一维双原子链中，如Mm??1，求证

?1??2?2?M2?msinqa

m2M(1?cos2qa)

[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 ?1?2?Mm?m?M?{1?[1?4mMmM4mM(m?M)2sinqa]21/2}

?M??m，???1 由近似式

1?x??1?nx，(当x??1）n 得?1?2??m?MmM2?m?M?{1?[1?14mM22(m?M)2sinqa]21/2}

?sinqa?22?Msinqa，

??1?2?Msinqa

对?2，由于M??m，M?m?M

22 ?2??(m?M)mM{1?[1?4mM(M?m)4Mm?sin2qa?]1/2}

??m{1?[(M?mM?mM?mM?m14m2M)?2?M4mM?m?22?4Mm?M1/2?m?2cosqa]21/2}

? ??m?m{1?[({1?1?)?22cosqa]}

cosqa}

10

?2?m{1?mMcosqa}

2 ??2?2?m1?mMcosqa?22?m(1?m2Mcosqa)

23.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界q???2a处，声学支格波中所有轻原子m静止，

而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。 [证] 由（3－18）第一式得

AB?2?cosqa2??m?2 ，当q???2a 时 cosqa?0 且对声学支

?2??????M??

1/2，代入上式即得：

AB?02??2?mM?0 ，故A＝0， 轻原子静止

再由（3－18）第二式得

BA?2?cosqa2??M?2 ，当q???2a 时cosqa?0

?2?? 且对光学支，?????M?

1/2，代入上式即得

BA?02??2?mM?0 故B＝0， 重原子静止

3.8 设固体的熔点Tm对应原子的振幅等于原子间距a的10％的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时

2?50kBTm?原子的振动频率????a?M?[解] 当质量为M的原子以频率

1/2，其中M是原子质量。

?及等于原子间距a的10％的振幅振动时，其振动能为：

2222?a?E?M?A?M??? 在熔点Tm时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个

22?10?2112?a?一维原子的平均能量为kBTm，于是有M????kBTm，由此得

2?10?1/212?50kBTm?????a?M?

1??D?3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容Cv?3NkB[1???]

20?T?2 11

证明：由书（3.73）式可知Cv?9NkB(T/T?D)3??DT0exdxx4?ex?1?2

在高温时，T???D，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为

exx4?ex?1?2?x4?x/2?ex/2?e??x432?x1?2?x???x???24??x22?x? ?x??1?12????2125?1???31??D??D 将上式代入Cv的表达式，得Cv?9NkB(T/T?D)???????

60?T???3?T???332????11????3DD ?9NkB(T/T?D)???1????

3?T??20T?????2?1??D?? ?3NkB?1????

20?T?????3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为

??2，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能

23 解：由（3－69）式知，状态密度?????g???V?3V?2?2v

则 E0???D0?0????d????D120??3V?2?223vd?

?D ?3?V14?316?22v3?3?D0?d??43316?2?Vv3?40

??Vv?D

1/3 ??D?2V???6??N??316?2v

2 ?E0??Vv3?6?NVv?D?398?N?D

23.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于T

证明：此题可推广到任意维m，由于 dN?g?q?dq?Cdqm?Cq1m?1dq?g???d?

1m?1?d?? ?g????Cq?dq???? ??1 12

而德拜模型中??vq，故g????qm?1??m?1

????2e??kBT ?Cg???d?v??kB???kBT????e??kBT?1?2 令

??kT?x，则上式变为

x C?1v??TmTexm?1??Tmdx

ex?1?2dx?xpexxm?10?ex?1?2 在低温时 xD???DkT??

? 则积分

?exxm?1?dx 为一个于T无关的常数

0ex?1?2 故 Cv?Tm 对三维 m＝3 Cv?T3

对本题研究的二维 m＝2 Cv?T2 对一维 m＝1 Cv?T

3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为U?r???e2br?ra， b为待定常数，r0?3?10?10m，求线膨胀系数。

解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 ??3gkB4?f2r

0 其中：1???d2U?3f??2????1?dU??dr2?，g? r3!???dr30??r0

22 由平衡条件??dU??dr??e9be8?r0r2?10?0 ?b?r0 0r092 ?f??2e4e22r3?90b， g??1?6?6e2990b202r11???r4??52e12???4 0r300r0?3r0 由于 r.806?10?100?3?10?8m ，e?4CGSE

k?16B?1.381?10erg/K

13

平衡间距

???13r0kB16e2?1.46?10?5/K

3.13 已知三维晶体在q?0附近一支光学波的色散关系为

222

??q???0??Aqx?Bqy?Cqz? ， 试求格波的频谱密度????

222 解：??0???Aqx?Bqy?Cqz

22qyqxqz???1 则

?0???0???0??2ABC43 这是q空间的一个椭球面，其体积为

?abc，而

a??0??A1/2，b??0??B1/2，c??0??C1/2

V?L? q空间内的状态密度??q??? ，故椭球内的总状态数N为 ??32?(2?)??3 N?V?2??34??1????3?ABC?dNV1/2?0??1/23/2

?1? 故 ???????2?d?4??ABC?

?0??1/2?V4?2?0??ABC1/2

14

第四章

4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？

答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.

4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？ 答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式

nN可得

?EukBT?e

nN?0.67?1.6?101.38?10?23?19?e?300=5.682*10-12

4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。 答：由公式

?EakBTv?voe可得

?

0.1eV1.38?10?23v?voe?300=2*1015*0.02=4*1013

4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；

（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。 答：

（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为

W1?N!(N?n)!n!

同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是

W2?N!(N?n)!n!

于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数

W?W1W2?[N!(N?n)!n!]

2由此而引起晶体熵的增量为

?S?kBInW?2kBIn

N!(N?n)!n!

15

设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变

?F??U?T?S?nw?2kBTIn??F?nN!(N?n)!n! （1）

热平衡时，(??F?n)T?0，并应用斯特令公式InN!?NInN?n，从（1）式得

??n[NInN?(N?n)In(N?n)?nInn]?w?2kBT[In(N?n)?Inn]?w?2kBTIn?w()T?w?2kBTN?nn?0

nN?n因为实际上N?n，于是得

?e2kBT

n/N=Bexp（-W/2kBT）

（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是?V?2na

式中a为离子最近邻距离。因为V?2Na为晶体原有的体积，有上式可得

33?VV?2na332Na?nN

4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：D?Doe下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：

T/K D/m2·s-1 878 1.6*10-20 1007 4.0*10-18 ?EA/kBT

1176 1.1*10-18 1253 4.0*10-17 1322 1.0*10-16 试确定常数Do和扩散激活能EA. 答：由公式 D?Doe?EA/kBT，可得

当T=878，D=1.6*10-20时，D01=

4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式

nNnN??EukBT?e

?0.38.6?10?5可得：对于铜?e?1000?0.03

对于硅

nN2.88.6?10?5?e?1000?7.247?10?15

4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。

16

答：

4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。 答：如图所示：

4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。

答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。 （1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则

|b|?32a

（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即

|b|?22a

（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a，因此，

|b|?a

4.11在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为[112]，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为b?

第六章

6.1 一维周期场中电子的波函数?（1）? （2）?k12[110]。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。

?x?应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函数为

?x??sinkk?ax 3?ax

?x??icos? （3）?k?x???f?x??a? （f是某个确定的函数）

i??? 试求电子在这些状态的波矢

解：布洛赫函数为?ika??x?a?e?k?x? k 17

（1）sin?a(x?a)?sin(?aikax??)??sinsin?ax

?sin ?e?a(x?a)?e?ax

ika??1 ，ka??? ，k???a

（2）icos3?a?x?a??icos??ika3??x?3????icosx aa??3? 同理，?e???1 ，ka??? ，k????a

（3）

?f?x??a?a???f?x?(??1)a?

?????????? ??f?x??'a???f?x??a? 此处?'???1

?'??????? eika?1，ka?0或2? ，k?0或2?a

6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成E?k??1?7??coska?cos2ka??，式中a是晶格2ma?88??2常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度， （3） 在带顶和带底的电子的有效质量

解：能带宽度为 ?E?Emax?Emin， 由极值条件 sinka?dE?k?dk?0， 得

14sin2ka?sinka?12sinkacoska?0

上式的唯一解是sinka?0的解，此式在第一布里渊区内的解为k?0或

当k＝0时，E?k?取极小值Emin，且有Emin?E?0??0

?a

当k??a时，E?k?取极大值Emax ，且有Emax2?????E????a?ma22

由以上的可得能带宽度为?E?Emax?Emin?2?ma22

（2）电子的平均速度为v?1dE?k??dk???1??sinka?sin2ka? ma?4? （3）带顶和带底电子的有效质量分别为

18

? mk???a???12???1????2??m?coska?cos2ka?2?E????2???k??k???a??k??23m

?a m?k?0???2??2??E2???k??1?1???m?coska?cos2k?a?2?????k?0?02 m

6.3 一维周期势场为

?1?mW V?x???2??2?b2??x?na?02?当na?b?x?na?b当(n?1)a?b?x?na?b，

其中a?4b ，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 Eg?2Vn ，

其中Vn是周期势场V?x?傅立叶级数的系数，该系数为：

Vn?1a?V?x?e?a/2a/2?i2?anxdx

求得，第一禁带宽度为 Eg1?2V1?21a??a/2V?x?e?i2?axdx

?a/2 ?214bbmW22?b?b22?xe2??i2?anxdx

?214b?3bmW22?b?b2?x2??cos???x?dx ?2b? ? 第二禁带宽度为

8mWb2?

Eg1?2V2?21a?2a/2V?x?e?i4?axdx

?a/2 ?214b?bmW2?b?b22?xe2??i?axdx

?214b?bmW2?b?b2?x2??cos???x?dx ?b? 19

?mWb22?2

?6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出E?k?，m证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。 解： 根据紧束缚近似， E?k??E0?J0?J1?k?与波矢的关系，

?eRsika

对一维，最近邻Rs??a

则 E?k??E0?J0?J1e?ika?e?ika?

?E0?J0?J1coska E?k?为余弦函数 （图省）

有效质量 m???22?E?k2??2?2Ja12coska?

m??k?的图也省

在原点附近，ka很小，coska?1 ?m???2?2Ja?

21 在布里渊区边界，k?? ?m??

6.5 某晶体电子的等能面是椭球面

?2?a22，ka???，coska??1

??2Ja??21??2J1a2222??k1k2k3???，坐标轴1，2，3互相垂直。 ?? E??2?m1m2m3??求能态密度。

解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为

k1k2k3???1

2m1E2m2E2m3E?2222?2?2 将上式与椭球公式

xa22?yb22?zc22?1

20

kia在带顶附近，可写为

2????i，?i很小

则coskia2?cos(???i)??cos?i???12???1?2??i?? ??E?k??E8J?1222?0?J0?1??1?2???x????y????z???

?这显然也是个球形

??2?2?kxa???而?m???1??m?1ii???1?21???????E???1?2???2J21a?2?k2?28J1??2????x????2?kx?2，??????????2m????2J21a

6.10 金属铋的导带底部有效质量倒数张量为

?a00? ?m???1??xx?0ayya?yz? ??0ayzazz??求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质 解：?m???1的逆矩阵即为m?

矩阵，用矩阵计算方法，可求得

m?1xx?a，

m?azz?ayy?xx?a2，

mzz?2yyazz?ayz??yyayyazz?ayz?m?yz?m?zy?a?yz， 其余为0

aa?2yyzzayz? 为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部附近泰勒展开（有用的仅二阶项）， 并假定能带底E＝0，在能带底一阶导数为0，即

?E?2E?k?0，且

1＝?m???1ij?aij

i?2?ki?kj故有Ek??122222??axxkxx?ayykyy?azzkz?2ayzkykz?

显然等能面E?k??c是一个椭球面

固体物理第七章答案

26

，

7.3 （1）先决定导带底及价带顶的极值位置

dEc(K)dkkc?

?2?k3m3?4?2?

2?(k?k1)m22?0

34k1?dEv(k)dk??6?km2?0 kv?0

导带极小值的能量

???2Ec(kc)??(kc?k1)????

3mm4m4m????kc??k1?价带极大值的能量

2222222????Ev????

6m6m????kc禁带宽度Eg为

2222????Eg?Ec(kc)?Ev(kv)????4m???6m?（2）导带底电子有效质量

222???????12m???22????? ???2?1d2Ec(k)?*mc??2?2dk???价带顶电子有效质量

?12?3?2??????m ?3mm?8?1d2Ec(k)?*mc??2?2?dk???1??3?4?m6

（3）?p??kc??kv?E?

?k22*2mh

7.4 重空穴能量比轻空穴小

27

7.5

1??e(n?e?p?n)?ni(?e??n)

n11i?pe(??10?19m?3

e??n)?0.47?1.6?10?19?(0.36?0.17)?2.517.6

（1）利用类氢模型，InSb中施主杂质的电离能为

4Eemed?2?2?2?6.28?10?4eV

（2）施主杂质的玻尔半径

a?2?2md??m2)??6.36?10?8cm

ee?me2(me（3）锑化铟为fcc结构，晶体的总体积V?Na3?2.72?10?22Ncm3

一个施主杂质所波及的体积为

4?33ad?10.77?10?10cm

因此，杂质之间不发生重迭的临界杂质数为：

V4?2.526?10?7N

?a33d每个原胞中含有4个原子，所以使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为：

2.526?10?7N4N?6.32?10?6at.%

7.7 运动方程 m1??d??dt???V??e?E?V??B ? 28

B平行于Z轴，载流子是电子时，

1??dm???Vxe??e(E?BVxe) ?dt??1??dm???Vye??e(E?BVye) ?dt??稳态时，时间导数为0，

Vx??e?me?me?mExe??c?eVye?Eye??c?eVxe Eze

e?m2BVye

Vy??Vz??其中，?c?eB/m，称为回旋频率， 解得

??e?e?e?e1V??E?(??)Ey?xe?xce2?1?(??)mmceee??? ??e?e?e?e1?Vye??(??)E?Ey?cex2??1?(??)mmceee???ne?e1?(?c?e)2jxe??(?e)nVxe?Ex?ne?e(?c?e)1?(?c?e)2Ey

?(?11)eEx?(?12)eEy

jye??(?e)nVye?(?11)eEy?(?12)eEx

其中

(?11)e?ne?e1?(?c?e)2，(?12)e?ne?e(?c?e)1?(?c?e)2v

同理，当载流子是空穴时：

?jxh?(?11)hEx?(?12)hEy ?j?(?)E?(?)E11hy12hx?yh总电流

??jx??(?11)e?(?11)h?Ex??(?12)e?(?12)h?Ey ?j?(?)?(?)E?(?)?(?)E?????11e11hy12e12hx?y 29

令jy=0求得：Ex?(?11)e?(?11)h(?12)e?(?12)hEy代入jx表达式，并由霍耳系数定义式得：

RH?EyjxB??1(?12)e?(?12)h22B?(?11)e?(?11)h???(?12)e?(?12)h?

略去??c??2得

222RH?

p?h?n?ee(n?e?p?h)

7.8 由7.42可得 ???0e?Eg2KBT

Eg2KB?6493

Eg?

2?1.38?10?23?6493?191.602?10?1.12eV

7.9 在温度不太高时可忽略本征激发，载流子将主要是由施主能级激发到导带的电子，这时，导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。

n?ND?1?f(E)? ??EC?EF?Ncexp???kT?B?ND??ED?EF?1?2exp??kBT??32

3其中NC1?2mekBT?1?2mhkBT?2??，ND?? 3?23?24???4?????称为有效能级密度，

当施主电离很弱时，EF?ED?1，可略去右边分母中的1。

?E?EF?ND?ED?EF?NCexp??C?exp????

kT2kT?B??B?EF?12(EC?EV)?12kBT1n(ND2NC)

30

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