图形的相似复习讲义

苏科版图形的相似复习资料

图形的相似(复习)

◆考点聚焦

1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．

2．探索并掌握三角形相似的性质及条件， 并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．

3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．

4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中， 会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． ◆备考兵法

1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定， 要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．

2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题， 关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．

3．用直角坐标系中的点描述物体的位置， 用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练． ◆识记巩固

1．相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为______． 2．相似多边形的特征：对应边______，对应角______．

3．成比例线段：如果四条线段a，b，c，d中， 某两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如a：b=c：d或a：d=b：c，则a，b，c，d叫___________；若a，b，b，c成比例，即a：b=b：c， 则称b 是a 和c 的_______． 4．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 对应边之比叫做________．当相似比为1时，两个三角形就称为_______． 5．相似三角形的识别：

（1）两组对应角分别__________的两个三角形相似；

（2）两组对应边成比例，且_______相等的两个三角形相似； （3）三组对应边________的两个三角形相似； （4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，

所得的三角形与原三角形 . 6．相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应边成_________，对应角_______．

（2）相似三角形对应线段（对应角，对应中线，对应角平分线， 外接圆半径和内切圆半径）之比和周长之比都等于_______；

（3）相似三角形的面积比等于_______．

7．黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且

APAB

PBAP

（可求出比

值为0.618 ），这种分割叫黄金分割．P点叫线段AB的黄金分割点，一条线段有_____个黄金分割点．

8．位似：对应顶点的连线_________的相似叫位似． 作位似图形的方法是先确定位似中心和每个顶点之间的直线，在直线的另一侧取原多边形的对应顶点，连结各点即得放大或缩小的位似图形（注意“放大”和“放大到”的区别）．

9．相似三角形中常见的基本图形：

条件：DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B

条件：AB∥DE ∠A=∠D CD是斜边AB上的高 ◆典例解析

4.已知△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB上的一个点，AD＝3，在AC上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE＝ .

例2点E是□ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

拓展变式 如图，E是正方形ABCD的边BC的中点，AE与BD相交于点F，△BFE的面积为S1 ，△ABF的面积为S2，△ADF的面积为S3，四边形ECDF的面积为S4，则S1∶S2∶S3∶S4＝（ ） A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶3∶5 C.1∶2∶4∶5 D.1∶3∶4∶5

点拨 ①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）

②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形

（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、

矩形、

菱形、

正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．

例3如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD，AC把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少？（注意：全等看成相似的特例）

（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．

解析 （1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，

①③，①④， ②③，②④，③④． 其中有两组（①③，②④）是相似的．

∴选取到的两个三角形是相似三角形的概率P=1

3

．

例4 （2008，山东聊城）如图，路灯（P点）距地面8米，身高1．6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时， 身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

苏科版图形的相似复习资料

例5 .如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于E.

求证：△ABD∽△BED.

例2.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，且AC＞AB，AD是高，M是BC的中点. 试证明：AC2－AB2＝2MD·BC

同步练习：

1.已知数1，，2，若再添加一个数，使得这四个数成比例，则添加的这个数可以是2.已知

＝，则＝

＝

＝.

3.已知＝

＝，则＝，

＝，

＝4.设△ABC的三边长为a、b、c，三边上的高为ha、hb、hc＝5∶2∶3，则a∶b∶c＝. 5.已知＝，则下列各式一定成立的是（ ） A.＝ B.

＝ C.

＝

D.

＝

6、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于 F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：

①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；

③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB，其中相似的为（ ）

A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③ 7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，过点C作

CD1⊥AB于D1，可得CD1＝，过D1作D1D2⊥BC于D2，可求得D1D2＝，过D2作D2D3⊥AB于D3，可求得D2D3＝，这样继续作下去，…，当作到DnDn+1（n是正整数）时，线段DnDn+1的长为（ ）

A.（）n B.（）n ＋1 C.（）n D.（）n＋1

8、如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶

点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ） A. (－a，－2b) B. (－2a，－b) C. (－2a，－2b) D. (－2b，－2a)

9．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．

(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；（2‘

）

(2)请分别说明两对三角形相似的理由．（4‘

）

第9题

10．如图，在 ABC中，D、E分别是边BC、AD的中点，AD与CE相交于点G.试说明

GECE

GDAD

13

.

第10题

11. 小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度． 12、（2011深圳市中考模拟五）.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的第11题图

三角形的周长 ，面积 ．

13. （浙江杭州金山学校2011模拟） （浙江杭州金山学校2011模拟）

（原创）2

2 的比例中项是 .

14.（浙江杭州进化2011一模）已知a:b 3:2，且a b 10，则b= .

15、如图，△ABC中，AD是中线，过C作CF∥AB分别交AD、AC于P、E。

试说明：PB2﹦PE·PF

F

BD16、有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知:BC﹦8cm，高AD﹦12cm，矩

形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm

（1） 写出y与x的函数关系式。

（2） 当x取多少时，

EFGH是正方形。

B

E

D

F

C

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/67we.html