《空间几何体的表面积与体积》教案

空间几何体的表面积与体积 适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 几何体的表面积 几何体的体积 几何体的三视图与体积、表面积问题 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 柱、锥、台的表面积和体积的求法。 柱体、锥体和台全的全积，台体与术体和锥体之间的转换关系。 适用年级 高二 课时时长（分钟） 60 考情分析 教学重点 教学难点 教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点/易错点1 柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱 面 积 S侧＝2πrh 体 积 V＝Sh＝πr2h 111V＝3Sh＝3πr2h＝3πr2l2－r2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l S侧＝Ch 1S侧＝2Ch′[来源:Z。xx。k.Com]圆锥 S侧＝πrl 11V＝3(S上＋S下＋S上S下)h＝32π(r21＋r2＋r1r2)h 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 V＝Sh 1V＝3Sh 1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h 4V＝3πR3 1S侧＝2(C＋C′)h′ S球面＝4πR2 1 / 13

考点/易错点2 几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

三、例题精析

【例题1】

【题干】右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧

线是半圆)，则该几何体的表面积是( )

A. 20＋3π B. 24＋3π C. 20＋4π D. 24＋4π

【答案】A

【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的

组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几1

何体的表面积为4×5＋2×π＋2×2π＝20＋3π. 【例题2】

【题干】某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，侧(左)视图与正视图相同，

且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )

20

A. 3 C. 6

【答案】A

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4B. 3 D. 4

【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示，

其构成是一个正方体的上方除掉了一个正四棱锥， 120

故V＝23－3×22×1＝3.

【例题3】

【题干】如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD

＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD； (2)求几何体DABC的体积．

【解析】(1) 在图中，可得AC＝BC＝22，

从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC， 取AC的中点O，连接DO，

则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO?平面ADC，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC， 又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD.

(2) 由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝22，S△ACD＝2，∴VBACD＝

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1142S·BC＝×2×22＝3△ACD33，

42由等体积性可知，几何体DABC的体积为3. 【例题4】

【题干】 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：

(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．

[来源:Zxxk.Com]

【解析】(1)直观图如图所示．

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以3

A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的4，

在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E， 则四边形AA1EB是正方形， ∴AA1＝BE＝1，

在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1， ∴BB1＝2，

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∴几何体的表面积

S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D

1

＝1＋2×1＋2×2×(1＋2)×1＋1×2＋1＝7＋2(m2)． 33

∴几何体的体积V＝4×1×2×1＝2(m3)， 3

∴该几何体的表面积为(7＋2) m2，体积为2 m3.

四、课堂运用

【基础】

1．棱长为2的正四面体的表面积是( )．

A.3 B．4 C．43 D．16

13

解析 每个面的面积为：×2×2×＝3.∴正四面体的表面积为：43.

22答案 C

2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( )．

A.

142284280140

B. C. D. 3333

解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积

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