第九章差错控制编码(信道编码)

第九章差错控制编码（信道编码）

9.1引言

一、信源编码与信道编码

数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编码与信道编码二大类。

信源编码~ 提高数字信号的有效性，如，PCM编码，M

编码，图象数据压缩编码等。

信道编码~ 提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠错编码。

由于数字通信传输过程中，受到干扰，乘性干扰引起的码间干扰，可用均衡办法解决。

加性干扰解决的办法有：选择调制解码，提高发射功率。

如果上述措施难以满足要求，则要考虑本章讨论的信道编码技术，对误码（可能或已经出现）进行差错控制。

从差错控制角度看：信道分三类：（信道编码技术）

①随机信道：由加性白噪声引起的误码，错码是随机的，错码间统计独立。

②突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引起。

③混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码，那一种都不能忽略不计的信道。

信道编码（差错控制编码）是使不带规律性的原始数字信号，带上规律性（或加强规律性，或规律性不强）的数字信号，信道译码器则利用这些规律性来鉴别是否发生错误，或进而纠错。

需要说明的是信道编码是用增加数码，增加冗余来提高抗干扰能力。二：差错控制的工作方式

(1) 检错重发

(2) 前向纠错，不要反向信道

(3) 反馈校验法，双向信道

这三种差错控制的工作方式见下图所示：

检错重发

前向纠错

反馈校验法

检错误

判决信号

纠错码

信息信号

发

发

收

信息信号

9.2 纠错编码的基本原理

举例说明纠错编码的基本原理。

用三位二进制编码表示8种不同天气。

?????????????雹

雾霜雪雨阴云晴111011

101001

110010100000???→?种许使用种中只准48码组许用码组，其它为禁用雨阴云晴 011101110000??????? 许用码组中，只要错一位（不管哪位错），就是禁用码组，故这种编码能发现任何一位出错，但不能发现的二位出错，二位出错后又产生许用码。 上述这种编码只能检测错误，不能纠正错误。

因为晴雨阴错一位，都变成1 0 0。

要想纠错，可以把8种组合（3位编码）中，只取2种为许用码，其它6种为禁用码。

例如： 0 0 0 晴 1 1 1 雨

这时，接收端能检测两个以下的错误，或者能纠正一个错码。

例：收到禁用码组1 0 0时，如认为只有一位错，则可判断此错码发生在第1位，从而纠正为0 0 0（晴），因为1 1 1（雨）发生任何一个错误都不会变成1 0 0。

若上述接收码组种的错码数认为不超过二个，则存在两种可能性： 位

错）（位错）（21111000/变成100 因为只能检出错误，但不能纠正。

一：分组码，码重，码距 （见樊书P282 表9-1）

将码组分段：分成信息位段和监督位段，称为分组码，记为（n, k ） n ~ 编码组的总位数，简称码长（码组的长度）

k ~ 每组二进制信息码元数目，（信息位段）

r k n =- ~ 监督码元数目，（监督位段）（见樊书P282，图9-2） 一组码共计8种

在分组码中，有“1”的数目称为码组的重量，简称码重。

例如，码组（1 1 0 1 0），码长n=5，码重为3。

把两个码组对应位不同的数目称为这两个码组的距离，简称码距，又称Hamming （汉明）的距离。

例如，码组（1 1 0 0 0）与（1 0 0 1 1）的距离为3。???

? ??1001111000 而码组集合中，全体码组之间的距离的最小值称为最小码距（0d ）。 码距的几何意义见樊书P283，图9-3。

从图看出，码距d 越大，检错，纠错能力越强。 二：纠错编码的效用

樊书P284

监督位数r 越多，对提高抗干扰，降低误码率越有好处。

例子表明：纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。因此，码字之间的最小距离是衡量该码字检错和纠错能力的重要依据，最小码距是信道编码的一个重要的参数。在一般情况下，分组码的最小汉明距离与检错和纠错能力之间满足下列关系：

（1）当码字用于检测错误时，如果要检测e 个错误，则

1

0+≥e d

（2）当码字用于纠正错误时，如果要纠正t 个错误，则

120+≥t d

（3）若码字用于纠t 个错误，同时检e 个错误时（e>t ），则

10++≥e t d

9.3常用的简单编码

纠错码的分类 ：（沈振元书 P388）

(1) 奇偶校验码（“1”的数目应为偶数或奇数）。（见樊书P285）

偶校验码满足条件：0021=⊕⊕⊕--a a a n n

举例：偶校验的例子： 码组：110011

码长6=n ，

信息位段长5=k ， 监督位数1=r

偶校验位=“1” 满足条件：0110011=⊕⊕⊕⊕⊕

(2) 二维奇偶校验码

仍然举偶校验的例子：

1

10011111001010111110011 (3) 恒比码

例如，我国电传机传输阿拉伯数字时，用5位代码表示，每个码组的长度为5，其中恒有3个“1”，称为 “5中取3” 恒比码。

(4) 正反码

正反码的信息位段长k 与监督位段长r 相同，如正反码组：

信息位段有奇数个1：1100111001 （监督位与信息位重复） 信息位段有偶数个1：1000101110 （监督位是信息位反码） 偶校验位 信息位

⊕1 1 0 0 1 1 信息位 监督位 信息位 监督位 0=

行监督位，0110011=⊕⊕⊕⊕⊕

/0 /1 对称出现4个错码也检不出来

9.4 线性分组码 一：基本概念

可用线性方程组（代数关系）表述码的规律性的分组码称为线性分组码。 如奇偶校验码的编程原理利用了代数关系，

0021=⊕⊕⊕--a a a n n （偶校验关系）

，称奇偶校验码为线性分组码。 在代数码中，常见的是线性码，即编码中的信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着，或者说可用线性代数方程表述编码的规律性。

上述正反码中，为了纠正一位错误，使用的监督位和信息位一样多，即编码效率只有50%（编码效率n k /=η）。

那么为了纠正一位错误码，在分组码中最少要几位监督码位？编码效率能否提高。

从这种思想出发，便导致了汉明码的诞生。

汉明码是能够纠正一位错码且编码效率较高的一种线性分组码。 二：线性分组码的一种 —— 汉明码

下面介绍汉明码（Hamming ）的构造原理。

先回顾偶校验码，

在接收端实际上计算监督关系式：021a a a s n n ⊕⊕⊕=-- 若0=s ~ 无错

1=s ~ 有错

s ~ 称校正子

由于s 校正子只有两种形式“0”或“1”，只能代表有错或无错，因而不能找出错码的位置。

不难想象，如果监督位增加一位，即变成二位监督位，即能增加一个类似于偶校验码监督式的新的监督式。

两个监督式就有两个校正子，其可能值有4种组合：

0 0，0 1，1 0，1 1，这4种组合代表不同信息。

若用1种组合表示无错，其余3种组合就可以用来表示一位错码的3种不同位置。

同理，r 个监督式能指示一位错码的12-r 个可能位置。

一般来说，若码长n ，信息位数k ，则监督位k n r -=，汉明码n 与r 满足：

12-=r n

现以（n ，k ）=（7，4），r =3为例的汉明码来说明如何具体构造这些监督关系式。

设码字（n ，k ）= 0456a a a a 信息位

监督位

~~456012a a a a a a

321s s s ,, ～校正子（3个监督关系式中的校正子）

这3个校正子321s s s ,,，可建立三个互为独立的监督关系式。 321s s s ,,的值与错码位置的对应关系可以规定如下表：

（见樊书P288，图9-4）

321s s s ,,全为零，表示无错。 只要1s （或2s ，或3s ）为“1”，就表示有错，1s 是不是1，由6

542a a a a ,,,的出错决定，可写成偶监督关系式： 24561a a a a s ⊕⊕⊕=

（只有1s 为零时才无错，发送编码时，将监督码元2a 与信息码元的关系满足此式）

同理13562a a a a s ⊕⊕⊕= 同理03463a a a a s ⊕⊕⊕=

在发端编码时，信息位6543a a a a ,,,的值是随机的，监督位012a a a ,,应根据信息位按监督关系来确定，即监督位应使上面的321s s s ,,监督式为零。 即要求：

02456=⊕⊕⊕a a a a 01356=⊕⊕⊕a a a a 00346=⊕⊕⊕a a a a 或写成监督码元在左边的形式： 4562a a a a ⊕⊕= 3561a a a a ⊕⊕= 3460a a a a ⊕⊕=

信息位3456a a a a ,,,一旦确定后，可直接按上式计算出监督位。

（见樊书P289 图9-5）

接收端收到每个码字（码组）后，先计算出偶监督关系式，321s s s ,,再按表9-4（樊书P288）判断错码情况。

如果321s s s ,,不全零，可判出在哪一位出错。

汉明码最小距0d =3（见樊书表9-5），能够纠正单个错误。

三：线性分组码的一般原理

(1) 监督阵和生成矩阵

将上述汉明码（7，4）的监督关系式改写成：（见樊书P289，9.4-8） 000101110123456=?+?+?+?+?+?+?a a a a a a a

001010110123456=?+?+?+?+?+?+?a a a a a a a

010011010123456=?+?+?+?+?+?+?a a a a a a a

上式中⊕简写为+，表示模2相加。

写成矩阵形式：

??????????100110101010110010111??????????

????????????0123456a a a a a a a =??????????000 （模2） 简记T T A H 0=? （H ~ 监督矩阵）

监督矩阵H 为n r ?（r 行，n 列）阶矩阵，H 阵的每行之间彼此线性无关。 查樊书表9-4，判错哪一位并纠正之 346035614562a a a a a a a a a a a a ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕=000034613562456=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕a a a a a a a a a a a a 发送端，将信息位按此式加上监督位后接收端，先计算校正321s s s ,,为零否，

也可将H 矩阵分为两部分：

H = []r PI =??????????100010101010110010

111 36a a 012a a a

其中P 为r ×k 阶矩阵，r I 为r ×r 阶单位矩阵。 若把监督关系式改写补充：

3

4603561

4562

33

44

55

66

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++===== 可改写为矩阵形式：????????????=??

????????????????????=??????????????????????3456012345611011011

01

111000

010*********a a a a a a a a a a a 即????????????=3456a a a a G A T T ， 变换为[]G a a a a A ?=3456，

其中?????

???????=1101000101010001100101110001G k I Q

G 称为生成矩阵，如果找到G ，则纠错编码方法就确定了，可由信息组和G 可产生全部码字。

[]Q I G k = ～ 也称典型生成矩阵，其中?????

???????=110

101011111Q ， k I 为k ×k 方阵????????????1000010000100001， 由典型生成矩阵得出的码组A 中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。

(2) 校正子S （伴随式）

设发送码组[]0121a a a a A n n ,,, --=（在传输过程中可能发生误码）

设接收码组[]0121b b b b B n n ,,, --=

则发送码组与接收码组之差定义为E （也称错误图样）：

A B E -=（模2）

[]0121e e e e E n n ,, --=，其中???≠==i

i i i i a b a b e 当当 1 0,, 因此，若0=i e ，表示该位接收码元无错；若1=i e ，则表示有错。

A B E -=，也可改写为

E A B +=

例如：发送A = [1 0 0 0 1 1 1]

错误E = [0 0 0 0 1 0 0]

接收B = [1 0 0 0 0 1 1]

令T H B S ?= 称S 为校正子，也称伴随式。

T

T

T T T EH

H E A H B S =+=?= )( 由此可见，校正子S 与错误图样E 之间有确定的线性变换关系，若S 和E 之间一一对应，则S 将能代表错码的位置。

接收端译码器的任务就是从校正子S 确定错误图样，然后，从接收到的码字中减去错误图样E 。

上述（7，4）汉明码的校正子S 与错误图样E 的对应关系见下表： 表中，校正子S 的r r

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