初一整体思想解题练习及答案

整体思想

一. 填空题(共2小题)

1."整体思想"是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如：已知m+n= - 2, mn= - 4,则2 (mn - 3m) - 3 (2n - mn)的值为___________ .

2.代数式求值时我们常常会用到整体思想，简单的讲就是把一个代数式看作一个整体，进行适当的变形后代入求值.例如：已知a+2b=2,求l?a?2b的值，我们可以把a+2b看成一个整体，则-(a+2b) = - a - 2b= - 2,所以1 ■ a ■ 2b=l ?2=?1.请你仿照上面的例子解决下面的问题：若a2 - 2a?2=0,则5+a? -U2= 2 ---------

二. 解答题(共4小题)

3.用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看出一个数的整体，试按提示解答下面问题.

(1)已知A+B=3×2 - 5×+l, A?C=? 2X+3×2? 5,求当x=2 时B+C 的值.

提示：B+C= (A+B)?(A-C)

(2)若代数式2×2+3y+7的值为8,求代数式6x2÷9y+8的值.

提示：把6x2÷9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式.

(3)已知xy=2x+2y,求代数式(3x - 5xy÷3y) ÷ ( - x+3xy - y)的值.

提示：把Xy和x+y当做一个整体.

4.阅读下列文字，并解决问题.

已知χ2y=3,求2xy (x5y2 - 3x3y - 4x)的值.

分析：考虑到满足×2y=3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入.

解：2xy (x5y2 - 3x3y - 4x) =2x6y3 - 6x4y2 - 8×2y=2 (x2y) 3 - 6 (x2y) 2 - 8x2y=2 ×

33 - 6×32? 8X3= - 24.

请你用上述方法解决问题：已知ab=3,求(2a%2?3a'b+4a) ? ( - 2b)的值.

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5.如果已知x+y=5,那么×+y+6=ll,反之，如果已知×+y+6=ll,那么x+y=5.在以上运算中，体现了一种整体思想，这里的"x+y"可以看作一个“整体〃?试着进行下面的计算：

(1)已知X2 - 2x ?5二0,那么2X2 - 4x - 5= _ :

(2)_____________________________________ 已知3x+4y - 6X-I- y=0,那

么X - y= ____________________________________ ；

(3)已知a+b=A, ab=A÷2Oll, 1-2 (a+ab) + (ab - 2b) =3A,你能确定a+b 与

ab的值吗？如果能，请求出它们的值.

6.用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体.试

按提示解答下面问题.

(1)已知A+B=3x2 - 5x+l, A - C= - 2x+3x2 - 5,求当x=2 时B+C 的值?

提示：B+C= (A÷B) - (A - C).

(2)若代数式2×2+3y+7的值为8,求代数式6x2+9y+8的值.

提示：把6X2÷9 y+8变形为含有2x2+3y+7的形式.

(3)已知巨二2,求代数式进迤的值.

x+y -X+3 Xynr

提示：把Xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2 (x+y),代入牟进西.

-χ+3 Xynr

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整体思想

参考答案与试題解析

一. 填空题(共2小题)

1."整体思想"是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如：已知m+n= - 2, mn= - 4,则2 (mn - 3m) - 3 (2n - mn)的值为-8 .

【分析】原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：Vm+n= - 2, mn= - 4,

?°?原式=2mn ? 6m - 6n+3mn=5mn ■ 6 (m+n) = - 20+12= - 8.

故答案为：■&

2.代数式求值时我们常常会用到整体思想，简单的讲就是把一个代数式看作一个整体，进行适当的变形后代入求值.例如：已知a+2b=2,求l?a?2b的值，我们可以把a+2b看成一个整体，则■ (a+2b) = - a - 2b= - 2,所以1 - a - 2b=l

-2=-1.请你仿照上面的例子解决下面的问题：若a2 - 2a - 2=0,则5+a - ^a2=

2

4 ?

【分析】先求得a2?2a=2,然后依据等式的性质得到a?山2=?1,最后代入计

2

算即可.

【解答】解：Ta??2a?2=0,

Λa2 - 2a=2?

等式两边同时乘以■丄得：a-Ia2=-I.

2 2

???原式=5+ ( - 1) =4.

故答案为：4.

二. 解答题(共4小题)

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3?用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看出一个数的整体，试按提示解答下面问题.

(1)已知A+B=3×2 - 5x+l, A-C=-2X+3X2- 5,求当x=2 时B+C 的值?

提示：B+C= (A÷B) - (A - C)

(2)若代数式2×2+3y+7的值为8,求代数式6x2+9y+8的值.

提示：把6x2÷9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式.

(3)已知xy=2x+2y,求代数式(3x ?5xy÷3y) ÷ ( - x+3Xy - y)的值? 提

示：把Xy和x+y当做一个整体.

【分析】(I)由B+C= (A+B)?(A-C),去括号合并得到B+C的最简结果，将x=2代入计算即可求出值：

(2)根据已知等式求出2×2÷3y的值，原式前两项提取3变形后，将2x2÷3y

的值代入计算即可求出值；

(3)由题意得到xy=2 (x÷y),原式变形后将xy=2 (×+y)代入计算即可求出值. 【解答】解：(1) VA÷B=3X2?5x+h A? C= - 2X+3X2 - 5,

ΛB+C= (A÷B)?(A ?C) =3χ2 - 5x+l+2x ?3χ2+5= - 3x+6,

当x=2时,原式=6 - 6=0；

(2)根据题意得:2×2+3y÷7=8,即2x2+3y=l,

则原式=3 (2x2+3y) +8=3+8=11；

(3)根据题意得:xy=2 (x+y),

则原式=[3 (×+y) - 5xyZ ÷ [ - (x+y) +3xy] = - 7 (×+y) ÷5 (×+y)=-—?

5

4.阅读下列文字，并解决问题.

已知xV=3,求2xy (×5y2 - 3x3y - 4x)的值.

分析：考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑

整体思想，将χ2y=3整体代入.

解：2xy (x5y2 - 3x3y - 4x) =2x6y3 - 6x4y2 - 8x2y=2 (x2y)彳? 6 (x2y) 2 - 8x2y=2

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×

33 - 6X32 - 8X3=? 24?

请你用上述方法解决问题：已知ab=3,求(2a%2? 3a2b+4a) ? ( - 2b)的值.

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【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案.

【解答】解：(2a3b2 - 3a2b+4a) ? ( - 2b),

=-4a3b3+6a2b2 - 8ab,

=? 4X (ab) 3+6 (ab) 2 - 8ab,

=?4×33+6×32? 8X3,

=? 108+54 - 24,

=? 78.

5.如果已知x+y=5,那么×+y+6=ll,反之，如果已知x+y+6=ll,那么×+y=5.在以上运算中，体现了一种整体思想，这里的“x+y"可以看作一个“整体试着进行下面的计算：

(1)已知X2 - 2X- 5=0,那么2χ2 ?4x ? 5= 5

；

(3)已知a+b=A, ab=A÷2011, 1-2 (a+ab) + (ab - 2b) =3A,你能确定a+b 与ab的值吗？如果能，请求出它们的值.

【分析】(1)求出χ2?2x,然后代入所求代数式进行计算即可得解；

(2)合并同类项，然后求解即可；

(3)把a+b和ab换成A,然后解方程求出A的值，再代入求解即可.

【解答】解：(1) V X2-2X-5=O,

?°?χ2 - 2x=5,

A 2X2? 4x - 5=2 (x2? 2x)?5=2 × 5 - 5=5；

< 2) */3x+4y - 6x - 1 - y= - 3x+3y -1=-3 (× - y) - 1,

/.? 3 (x - y)? 1=0,

解得X - y= - i；

故答案为：(1)5； (2) ■丄；

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(3) 1-2 (a+ab) + (ab - 2b) =1 - 2a - 2ab+ab - 2b=l - 2 (a+b) - ab,

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第1贞(共1页) V a +b=A, ab=A+2011,

Λ1 - 2A - A - 2O11=3A,

解得A=?335,

所以，a+b= ? 335τ

ab= - 335+2011=1676-

6.用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体?试 按提示解答下面问题.

(1) 已知 A+B=3x 2 - 5x+l, A - C= - 2x+3x 2

- 5,求当 x=2 时 B+C 的值? 提示：B+C= (A÷B) - (A - C).

(2) 若代数式2×2+3y+7的值为8,求代数式6x 2

+9y+8的值. 提示：把6X 2÷9 y+8变形为含有2x 2+3y+7的形式.

(3) 已知巨二2,求代数式进迤的值.

x+y -χ+3 Xy -y

提示：把Xy 和x+y 当做一个整体；由已知得xy=2 (x+y),代入牟进西.

-χ+3xy~y 【分析】(1)按提示把A+B 和A-C 整体代入，可得B+C 的表达式，然后再代值 计算即可.

(2) 按提示把后个代数式转化为第一个代数式的变形式，然后把第一个代数式 的结果代入，可简化运算.

(3) 把代数式先进行合并同类项，然后按提示把Xy 和x+y 当做一个整体；由已 知得xy=2 (x÷y),代入求值即可.

【解答】解：(1) TB+C= (A+B) - (A - C),

/. B+C=3X 2 - 5x+l ?(? 2X +3X 2

- 5 ) = - 3x÷6; 当x=2时，上式=-6+6=0；

(2) V6x 2+9y+8=3 (2×2+3y) +8,

已知 2x 2+3y+7=8,得 2x 2+3y=l

???上式=3X1+8=11；

-T r

?+y) _ . 7

(3)原代数式= 3 (x+y) - 5xy 由已知得xγ=2 (x+y),

所以原式二

5 (x+y) "5

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