数论专题讲义

数论专题

数论主要分以下几个模块：

1、 数的整除问题 2、 质数合数与分解质因数 3、 约数与倍数 4、 余数问题 5、 奇数与偶数 6、 位值原理 7、 完全平方数 8、 数字谜问题

一、 整除问题

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，

那么这个数能被7、11或13整除.

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a．

性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

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与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m

为非0整数）；

性质6 如果数a能整除数b，且数c能被数d整除，那么ac也能整除bd，如果 b｜a ，

且d｜c ，那么bd｜ac；

1、 整除判定特征

如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

2、 数的整除性质应用

要使15abc6能被36整除，而且所得的商最小，那么a,b,c分别是多少？

3、 整除综合性问题

已知：23!?258D20C67388849766AB000．则DCB?A?？

二、质数合数与分解质因数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

a3aka2何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n?p1a1?p2其中为?p3???pk质数，a1?a2????ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

1、质数合数的基本概念的应用

如果a，b均为质数，且3a?7b?41，则a?b?______.

2、分解质因数

在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

3、质数合数综合型题目

P是质数，P?10，P?14，P?102都是质数．求P是多少？

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三、约数与倍数

0被排除在约数与倍数之外

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；

21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)?2?3?6；

32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

?315例如，求600和1515的最大公约数：1515?600?2；600?315?1?285；

315?285?1?30；285?30?9?15；30?15?2?0；所以1515和600的最大公约数是15．

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各

b个分数的分子的最大公约数b；即为所求．

a①分解质因数的方法；

例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772； ②短除法求最小公倍数；

21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36；

32a?b． (a,b)③[a,b]?①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的

35[3,5]15b?最大公约数b；即为所求．例如：[,]?

412(4,12)4a注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：

两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

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如果m为A、B的最大公约数，且A?ma，B?mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

1A?B?ma?mb?m?mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数○的积；

② 最大公约数是A、B、A?B、A?B及最小公倍数的约数．

两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数

b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168 性质⑶不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比它们的乘积大”。

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为23?52?7，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：21000?23?3?53?7，所以21000所有约数的和为

(1?2?22?23)(1?3)(1?5?52?53)(1?7)?74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

1、基本概念

111得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的723学生不满50人，那么得差的学生有多少人？ 一次考试，参加的学生中有

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2、最大公约数与最小公倍数综合应用

已知m、n两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m有12个约数，n有10个约数，求m与n的和．

111求满足条件??的a、b的值(a、b都是四位数)．

ab1001

四、余数问题

带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|(a－b)

弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法

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