西南财经大学概率综合测试题1

综合测试题一

一、填空题：（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分） 1．设P(A)?0.5，P(B|A)?0.7，则P(AB)? 0.85 。

2．一批零件的次品率为0.2, 连取三次, 每次一件(有放回), 则三次中恰有两次取到次品的概率为 0.096 。

3. 设随机变量X服从泊松分布, 且P｛X = 1｝= P｛X = 2｝, 则 D X = 2 。 4．设随机变量X分布密度函数为pX(x)，Y = g (X )是X的单调函数，其反函数为g－1(y)可导，则Y的分布密度函数py(y)?px[g?1(y)]?[g?1(y)]'

5． 设X1,X2,,Xn是正态总体X服从N??,?2?的一个容量为n的样本，则样本均值X服

??2?(n?1)s2从 N??,? 分布，样本函数服从?2(n?1)分布。 2?n??二、单项选择题:（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题 3分，共30分）

1．设A、B为随机事件，则(AB?AB)(A?AB)?( A )。

(A) A (B) B (C) AB (D) φ 2．设A、B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是( B )。 (A) P?AB??P?B? (B) P?AB??P?B?

(C) P?B|A??P?B? (D) P?B?A??P?B??P?A? 3．下列函数为随机变量密度的是( A )。

?3???sinx ， 0?x?sinx ， 0?x???(A) p(x)??2 (B) p(x)??2

?? 其他 其他?0 ，?0 ，(C) p(x)?? 0?x?? 0?x?2??sinx ，?sinx ， (D) p(x)??

其他 其他?0 ，?0 ，4．设X为服从正态分布N(―1, 2)的随机变量，其概率密度函数, 则E(2X－1)= ( D )。

(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) ―3 5．我们说随机事件A在n次独立重复试验中发生的频率( C )。 (A) limnA?P(A) n??nnA趋向于概率P(A)是指n(B) limP?n???nA??P(A)??1 ?n?概率与数理统计 综合一 1 / 6

(C) 对任意??0有limP?n??n?nA??P(A)????1 (D) n很大时,A?P(A)

n?n?6．设随机向量（X , Y）满足E(XY) = EX·EY，则 ( D )。

(A) X、Y相互独立

(B) X、Y不独立

(C) X、Y相关 (D) X、Y不相关

7．设X1,X2,,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，EXi?u,DXi?4(i?1,2,1n则对于X??Xi,有PX?u?3，有 ( C )。

ni?1,n)，

??(A) ?4 9n4 9n(C) ?1?4 95(D) ?

9(B) ?8．下列函数为正态分布密度的是( B )。

1?(A) e2?x2?x2

(x??)22(B) 12?2?e?e?(2x?1)

x2?142(C) 12??e? (D)

9．设X1, X2 来自总体X，则下列统计量为总体期望EX的无偏估计的是( C )。

(A) X1－X2

(C) 2 X1－X2

(D) 2 X1 + X2 (B) X1 + X2

10．设X1,X2,,Xn为总体X的样本，期望μ、方差σ2未知，X、S2分别为样本均值和样本方差，则下列样本函数为统计量的是( A )。

1n1nXi??2(A) ?(Xi?X) (B) ?

ni?1ni?1? (C)

(n?1)s2?2 (D)

X??S/n

三、 计算题：(每小题6分, 共36分)

1．设某玻璃制品第一次落地时被打破的概率为0.1，第二次落地时被打破的概率为0.4，第三落地时被打破的概率为0.9，求该制品在三次落地过程中被打破的概率。 解：

设 A表示“三次落地中被打破”，Bi表示“第i次落地打破” (i = 1, 2, 3) 则 A?B1?B1B2?B1B2 B3P(A)?0.1?0.9?0.4?0.9?0.6?0.9?0.946

即玻璃制品在三次落地过程中被打破的概率为0.946。

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2．设某产品的合格率为80% 。检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。 解：

(1) 设A表示“产品检验合格” B表示“产品合格” 则由全概率公式有

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.8?0.97?0.2?0.02?0.78

即任一产品被检验员检验合格的概率为0.78； (2) 根据题意由贝叶斯公式有

P(B|A?)P(B)P(A|B)0.8?0.97??0.99P(A)0.78

即若一产品通过了检验，则该产品确为合格品的概率为0.99。

3. 若盒中有5个球，其中2个白球3个黑球, 现从中任意取3个球，设随机变量X为取得白球的个数。

求：（1）随机变量X的分布；

(2) 数学期望EX , 方差DX。 解：

(1) 设随机变量X表示白球的个数, 则X的取值为 0, 1, 2 由题意得

03C2C31P?X?0???3C51012C2C36P?X?1??? 3C51021C2C3P?X?2??33?C510即随机变量X的分布为 X P(X?k) 0 110 1 610 2 310

(2) 由数学期望与方差的定义有

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1636?1??2??1010105DX?EX2?(EX)216369 ?0??1??22??()2?101010525 EX?0?

4．抽样表明某市新生儿体重X(单位：公斤)近似地服正态分布N(3, 4), 求新生儿体重超过4公斤的概率。（Φ(0.5 = 0.6915 ) 解：

由题意知新生儿体重X近似地服正态分布N(3, 4), 则

P?X?4??1?P?X?4??1?P??X?31??2?2?? ?1??(0.5)?1?0.6915?0.3085新生儿体重超过4公斤的概率为0.3085。

5. 设随机变量 (X, Y)的联合分布密度为

?(x?yp(x,y)???)?e, x? 0 , y ?0? , ? 0, 其他求：(1) 随机变量 (X, Y) 的边缘分布密度；

(2) X与Y是否相互独立? 为什么? 解：

(1) 随机变量 (X, Y) 的边缘分布密度为

p(x,y)????(x?y)?e, x?0 , y ?0?? 0, 其他p??)x(x)??????p(x,y)dy??0e?(x?ydy ??e?(x?y)??0?e?x(x?0)即px)????e?x, x?0x(?? 0, 其他

p(y)????y??p(x,y)dx????0e?(x?y)dx ??e?(x?y)??0?e?y(y?0)即p??e?y, y?0y(y)???? 0, 其他p(x,y)?p?p??e?(x?y)(2)

, x?0 , y ?0x(x)y(y)??? ? 0, 其他∴X与Y是相互独立。

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6．设某医院门诊部医生检查一个病人的时间X（小时）服从参数λ= 10的指数分布，若检查每个病人所用时间相互独立。

（1） 求X的概率密度及检查一个病人时间超过1小时的概率；

（2） 利用中心极限定理，以95%的概率求一个医生一天（8小时）最多所能检查的病

人数n。(Φ(1.64) = 0.95) 解：

（1）由题意知医生检查一个病人的时间X服从参数λ=10的指数分布, 则

?10e?10x, x?0p(x)?? 0, x?0?P?X?1??? ?? 1??10e?10xdx??e?10x|1?e?10N

(2)设第 i个病人检查时间为Xi，N个病人检查的时间为T，则T??Xii?1NNN很大，T近似服从N(,)101008?N/10由 P ?T??8??(?)0.95N108?N/10查表得?1.64N10解得 N?8，.1N6?66

四、应用题：(每小题8分, 共16分)

1．设总体X的概率密度为?(x,?)??x??1(???x???,??0),X1,X2,,Xn为总体X的一个样本。求参数θ 的极大似然估计量 。 解：

似然函数L??n(x1x2?xn)??1, 取对数 lnL?nln??(??1)?lnxii?1ndlnLnn得似然方程 ???lnxi?0d??i?1???解得? 的极大似然估计为：?n

?lnxi?1ni2．设某产品的日销售量X服从N??,?2?，且μ= 10件。为扩大销售，现采用了某种促销手段，7天销售的样本平均值为x?11.14，样本标准差为s = 2.23；假设促销前后方差不变，试以α= 0.05的显著性水平检验日销售量是否有明显的提高？（ t0.05(6) = 1.94） 解：

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H0：??10 H1：??10X?10t(6)S/n由n?7,查t(6)表得临界值1.94

11.14?10样本观测值为t0??1.35?1.942.23/7故接受H0,拒绝 H1,方差未知，用T检验。T?即日销售量没有明显提高。

五、证明题：（8分）

设随机变量X的数学期望存在，证明随机变量X与任一常数b的协方差是零。 证明：

由协方差的定义及数学期望的性质，得

cov?X，b??E?X?EX??E?X?EX??0

?b?Eb? ?b?b?

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H0：??10 H1：??10X?10t(6)S/n由n?7,查t(6)表得临界值1.94

11.14?10样本观测值为t0??1.35?1.942.23/7故接受H0,拒绝 H1,方差未知，用T检验。T?即日销售量没有明显提高。

五、证明题：（8分）

设随机变量X的数学期望存在，证明随机变量X与任一常数b的协方差是零。 证明：

由协方差的定义及数学期望的性质，得

cov?X，b??E?X?EX??E?X?EX??0

?b?Eb? ?b?b?

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