2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版课时跟踪检测（三十七）点、线、面之间的位置关系 含解析

课时跟踪检测（三十七）点、线、面之间的位置关系

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1．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①P∈a，P∈α?a?α； ②a∩b＝P，b?β?a?β；

③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α； ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. 答案：③④

2．(2018·高邮期中)给出以下说法： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②有三个不同公共点的两个平面重合； ③没有公共点的两条直线是异面直线； ④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；

⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． 其中正确结论的序号是________．

解析：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；

在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误； 在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误； 在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；

在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可以确定两个平面，故⑤正确．

答案：①⑤

3．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．

答案：1或4

4．如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，既与AB共面又与条．

解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．

答案：5

5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

CC1共面的棱有________CC1平行有棱AA1，BB1；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是____(写出所有正确命题的序号)．

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．

答案：①

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1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．

解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．

答案：充分不必要

2．(2019·常州一中检测)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有______条．

解析：∵EF是△OB1C1的中位线， ∴EF∥B1C1.

∵B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴与EF平行的棱共有4条． 答案：4

3．下列命题中，真命题的个数为________．

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.

解析：根据公理3，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.

答案：2

4．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是________． 解析：因为l?α，且l与n异面，所以n?α，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α. 答案：n∥α

5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，CFCG2是边BC，CD上的点，且CB＝CD＝，则下列说法正确的是______(填

3

①EF与GH平行； ②EF与GH异面；

③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；

点E，F分别为B1O和C1O

AD的中点，点F，G分别序号)．

④EF与GH的交点M一定在直线AC上． 解析：连结EH，FG，如图所示． 依题意，可得EH∥BD，FG∥BD， 故EH∥FG，所以E，F，G，H共面． 12

因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，

23所以EFGH是梯形，EF与GH必相交， 设交点为M.因为点M在EF上，

故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上， 所以点M是平面ACB与平面ACD的交点， 又AC是这两个平面的交线， 所以点M一定在直线AC上． 答案：④

6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，体中互为异面直线的对数为________对．

解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

答案：3

7．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，这个正四面体中，

①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 答案：②③④

8．(2019·通州月考)如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及________时，有MN∥平面B1BDD1.

解析：∵HN∥DB，FH∥D1D， ∴平面FHN∥平面B1BDD1.

∵点M在四边形EFGH及其内部运动， 故M∈FH.

答案：M在线段FH上

CD，EF，GH在原正方

AB，CD，EF和GH在原而AB与EF相交，CD与

BE，EF，EC的中点，在

F，G，H分别是棱CC1，其内部运动，则M满足

9．(2018·南师附中检测)如图，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．

证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图． 因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1. 又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，

所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q. 又Q，F分别是D1D，C1C的中点， 所以QD綊C1F，

所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊DF. 故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形．

10．如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形， 11

∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，

22中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？说明理由． 解：(1)证明：因为G，H分别为FA，FD的中点， 1

所以GH∥AD，GH＝AD.

21

又BC∥AD，BC＝AD，

2

所以GH綊BC，所以四边形BCHG为平行四边形．

1

(2)四点共面，理由如下：由BE∥FA，BE＝FA，G为FA的中点知，BE∥FG，BE＝FG，

2所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD边AB，AEAHCFCG

的点，AB＝AD＝λ，CB＝CD＝μ，则下列结论中正确的是________(填

①当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； ②当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形；

③当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形；

G，H分别为FA，FD的

BC，CD，DA上除端点外序号)．

④当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形．

解析：由

AEAHEHFG

＝＝λ，得EH∥BD，且＝λ，同理得FG∥BD且＝μ，当λ＝μ时，EH∥FG且EH＝FG.当λ≠μABADBDBD

时，EH∥FG，但EH≠FG，所以①②③正确，只有④错误．

答案：①②③

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

解析：如图，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平不平行，所以它们相交，设α∩CD＝Q，连结PQ，则PQ与EF必然相点P的任意性，知有无数条直线与A1D1，EF，CD都相交．

答案：无数

3．如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝

(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求余弦值．

解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连结OF，过点O作因为侧棱A1A⊥底面ABC， 所以侧面A1ACC1⊥底面ABC. 又因为EC＝2FB＝2，

1

所以OM∥FB∥EC且OM＝EC＝FB，

2所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF. 因为OF?平面AEF，BM?平面AEF， 故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连结PQ，PB，BQ. 因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF， 所以PQ∥AE，PB∥EF，

所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF， 因为PB∩PQ＝P，PB，PQ ?平面PBQ， 所以平面PBQ∥平面AEF. 又因为BQ?平面PBQ， 所以BQ∥平面AEF.

故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．

(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角． 易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，

OM⊥AC于点M.

BM与EF所成的角的侧棱A1A⊥底面ABC，2FB＝2.

面α，因为CD与平面α交，即PQ为所求直线．由

OF315

所以cos∠OFE＝EF＝＝，

55所以BM与EF所成的角的余弦值为

15. 5

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