2020-2021学年江苏省常州市高二上学期期末数学试题(解析版)

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第 1 页共 19 页 2020-2021学年江苏省常州市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．两实数a ，b 满足a b <，则下列结论正确的是（）

A ．22a b <

B ．2b ab >

C ．33a b <

D ．11a b > 【答案】C

【分析】根据不等式的性质及特殊值法即可求解.

【详解】取2,0a b =-=时，可判断22a b <错误；取2,1a b =-=-，可判断2b ab >错误；

由不等式性质可知33a b a b <?<成立，取2,1a b =-=，可判断

11a b >错误. 故选：C

2．不等式22730x x -+>的解集为（）

A ．13,2?

?-- ???

B ．1,32?? ???

C ．13)

,2(,??--+-∞∞ ??? D ．1,

(3,)2??-∞?+∞ ??? 【答案】D 【分析】直接根据一元二次不等式的解法求解.

【详解】由22730x x -+>可得(21)(3)0x x -->，

解得3x >或12

x <，所以不等式的解集为1,

(3,)2?

?-∞?+∞ ???，故选：D

3．设i 是虚数单位，若复数z 满足()310z i -=，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（）

A ．()1,3

B ．()3,1

C ．()1,3--

D ．()3,1-- 【答案】B

【分析】按照复数的除法运算法则化简z ，再写出对应的坐标

第 2 页共 19 页【详解】()()()()

103103333i i z i i i +-+===+- 对应的坐标为()3,1

故选B

4．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()1,1,2a =--，()1,1,3b =分别为异面直线1l ，2l 的方向向量，则异面直线1l ，2l 所成角的余弦值为（）

．11- B

．11- C

．11

【答案】C

【分析】根据向量的夹角直接计算即可求解.

【详解】因为()1,1,2a =--，()1,1,3b =，

所以cos ,||||a b

a b a b →→

→→→→?<>=== 因为异面直线1l ，2l 所成角为锐角或直角，

所以异面直线1l ，2l

，故选：C 5．若椭圆2214

x y +=与双曲线2

221(0)x y a a -=>的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）

．y x = B

．y = C ．12y x =± D ．2y =±x

【答案】A

【分析】求出椭圆的焦点坐标，再求出a ，再求渐近线方程即可. 【详解】2

214

x y +=的焦点为30, 213a +=

，a =

所以渐近线的方程为2

y x =±

故选：A

第 3 页共 19 页 6．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ?=（）

A ．9

B ．8

C ．6

D ．4

【答案】A

【分析】根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解.

【详解】设FB 交y 轴于N 点，如图，

由准线与y 轴平行，且O 为中点，

所以N 是BF 中点，

因为4FB FA =，

所以A 是NF 的中点，

设A 的横坐标为m ,则由抛物线的定义,

||||(1)1AF AC m m ==--=+，

由AC 与x 轴平行，可得

134

2m +=，解得12

m = ∴334622FA FB ==?=，， ∴?=FA FB |F A ||FB |=9，

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，

第 4 页共 19 页是解题的关键所在，属于中档题.

7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（） A ．若20200S >，则10a >

B ．若20210S >，则10a >

C ．若20200S >，则20a >

D ．若20210S >，则20a > 【答案】B

【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案.

【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >，

当1q ≠时，()202012020101a q S q -=>-，分以下几种情况，

当1q <-时，10a <，此时210a a q =>；

当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<，

当01q <<时，10a >，此时210a a q =>；

当1q >时，10a >，此时210a a q =>；

故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C .

当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >；

当1q ≠时，()202112021101a q S q -=>-，由于20211q -与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确；

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题. 8．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七

里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.当二马相逢时，良马所行路程为（）

A ．1345里

B ．1395里

C ．1440里

D ．1470里【答案】B

【分析】根据题中条件，确定两马每日的所行路程构成等差数列，设n 天后两马相逢，根据两马所行总路程是两地距离的2倍，列出方程，即可求解.

第 5 页共 19 页【详解】设良马每天所行路程为{}n a ，则{}n a 是以103为首项，以13为公差的等差数列，

其前n 项为n A ，

驽马每天所行路程为{}n b ，则{}n b 是以97为首项，以12-

为公差的等差数列，其前项为n B ，

设共用n 天二马相逢，则21125n n A B +=?, 所以(1)(1)110313972250222n n n n n n --??+?++?-= ???

，化简得2313600n n +-=，解得9n =，因此良马所行路程为99810391313952A ?=?+

?=. 故选：B.

二、多选题

9．若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的有（）

A ．14ab ≤ B

≥ C ．114a b +≥ D ．2212

a b +≥ 【答案】ACD

【分析】由正实数a ,b 满足1a b +=,再根据基本不等式判断判断每个选项的正误.

【详解】0a >,0b >,且1a b +=

,1a b ∴=+≥14

ab ∴≤,故A 正确；

(

2112a b a b +=++=++=,≤,故B 错误；

因为1114a b a b ab ab

++==≥,故C 正确；因为()222112121242

a b a b ab ab +=+-=-≥-?

=,故D 正确. 故选：ACD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

第 6 页共 19 页（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知312a =，120S >，130S <，则下列结论正确的有（）

A ．670a a +<

B ．70a <

C ．d 可以取负整数

D ．对任意*n N ∈，有6n S S ≤ 【答案】BD

【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．

【详解】因为121121112

02S a d ?=+?>， 131********

S a d ?=+?< 所以112110,60a d a d +>+<，

即6770,0,a a a +><

所以60a >，

由312a =得1122a d =-，

联立112110,60a d a d +>+<可解得 2437

d -<<-，故等差数列{}n a 是单调递减的，且60a >， 70,a <

所以对任意*n N ∈，有6n S S ≤

综上可知BD 正确，

故选：BD

【点睛】关键点点睛：由120S >，130S <解得60a >，70a <是求解本题的关键所在，由此结合条件求出d 的范围，判断数列的单调性，求出6n S S ≤，属于中档题. 11．2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F 为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A (离月球表面最近的点)距离月球表面m 千米，远月点B (离月球表面最远的点)距离月球表面n 千米，AB 为椭圆的长轴，月球的

半径为R 千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a ，2c ，则下列结论正确的有（）

第 7 页共 19 页 A ．2m

n a B ．2m n a R +=+ C ．2n m c -= D ．2

n m c R -=+ 【答案】BC

【分析】根据图形椭圆长轴长为22a R m n =++，利用椭圆几何性质及图形再写出,a c a c -+即可求解.

【详解】由题意可知22a R m n =++，

所以2

m n a R +=+，因为a c R m -=+，a c R n ，所以2

n m c -= 故选：BC

12．离心率为12

(的倒数)的双曲线称为黄金双曲线.已知黄金双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>)的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴端点分别为1A ，2A (其中1A 在2A 左侧)，虚轴端点分别为1B ，2B ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于P ，Q 两点，则下列结论正确的有（）

A ．245POF ∠=?

B ．12PQ F F =

C ．211B F A △为锐角三角形

D ．12B B 是12A A ，12F F 的等比中项【答案】ABD

【分析】根据离心率，得到51c a

，22b a

=，将x =代入双曲线方程，根据题中条件，求出222PF QF OF ==，可判断AB 正确；再由计算11120B F B A =?，可判断C 错；计算21221210F F B A B A -=?，可判断D 正确.

【详解】

因为离心率为c e a ==，则51c a

，所以

)222221142b a a a =

-=，

则2

221x a =，

其左右焦点分别为1,0F ?? ? ???

，2,0F ?????

；

第 8 页共 19 页

令x =代入

2221x a =

可得y =，因为过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于P ，Q 两点，

则222PF QF OF ==，所以245POF ∠=?，12PQ F F =，即AB 正确；又实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ；虚轴端点分别为1B ，2B ，不妨记(

)10,B b -，()20,B b ，则()11,B F c b =-，()12,B A a b =，

所以222111211022

B F B A a a a c b ?=-+=++-+=，则1112B F B A ⊥，即211B F A △为直角三角形，故

C 错；又122B B b =，122A A a =，122F F c =，

所以222212121244440F F B B ac b A A a -=-=-?=，即12B B 是12A A ，12F F 的等比中项，故D 正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据离心率用a 表示出双曲线的方程，得到焦点坐标、实轴端点和虚轴端点坐标，即可结合双曲线的性质求解；解决此类题目要求学生要有较强的计算能力.（求解时，也可用特殊值法，直接令2a =或其它常数，进行求解.）

三、填空题

13．若正项等比数列{}n a 满足154a a =，当

2414a a +取最小值时，数列{}n a 的公比是__________.

【答案】2

【分析】根据等比数列的性质，得到244a a =，由基本不等式求出

2414a a +的最小值，由等号成立的条件，即可求出公比.

【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，

因为154a a =，所以由等比数列的性质可得，244a a =；

第 9 页共 19 页因此2424

141422a a a a +≥?=，当且仅当2414a a =，即2424a q a ==，即2q （负值舍去）时，等号成立.

所以数列{}n a 的公比是2.

故答案为：2.

14．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是__________.

【答案】171 【分析】根据杨辉三角，总结出规律，确定其第()2k k ≥行的第三个数的通项，再确定第35项是第19行的第三个数，由通项公式，即可求出结果.

【详解】由杨辉三角可得，第2行的第三个数为1；

第3行的第三个数为12+；

第4行的第三个数为123++；

第5行的第三个数为1234+++；

……

因此第()2k k ≥行的第三个数为()123...1k ++++-，

而该数列的第35项是第19行的第三个数，

所以第35项是()18118123 (181712)

+++++=

=. 故答案为：171. 15．在三棱锥O ABC -中，

E 为OA 中点，13C

F CB =，若OA a →=，OB b →=，OC c →=，EF p a q b r c →→→=++，则p q r ++=__________.

第 10 页共 19 页【答案】

【分析】根据向量的加减法运算结合图形直接计算即可. 【详解】如图，

故12112()23233EF EA AB BF a b a c b a b c →→→→

→→→→→→→→

=++=+-+-=-++， 11212332

p q r ∴++=-++= 故答案为：12

16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上存在点P ，使得124PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是__________.

【答案】3,15??????

【分析】利用椭圆定义122PF PF a +=，可求出185a PF =

，225a PF =，再利用椭圆焦半径范围可求出离心率取值范围. 【详解】设椭圆的焦距为()20c c >，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，又124PF PF = 可得185a PF =，225

a PF = 由题意可得 8525

a a c a a c ?≤+????≥-??，解得315c a ≤< 315

e ∴≤<

第 11 页共 19 页故答案为：3,15??????

【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a ，c ，代入公式c e a

=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．

四、解答题

17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，728S =.

（1）求{}n a 的通项公式：

（2）若110m m a a +≤<，求m S 的值.

【答案】（1）122

n a n =+（2）100 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列方程求解即可；

（2）由不等式可求出m ，利用求和公式即可求解.

【详解】（1）23a =，728S =，

217413707(3)18

a a d S a a d =+=?∴?==+=?，解得151,22

a d =

=， 511(1)2222n a n n ∴=+-?=+，（2）由（1）知，

5151(1)102222

m m +-≤<+，解得1516()m m Z <≤∈，

16m ∴=，

1651615116100222

S ?∴=?+?=. 18．已知对任意(1,)x ∈+∞，不等式24451

x x m x x -+-≤≤+-成立，记满足条件的m 的取值集合为A ，记关于y 的不等式()222300y ay a a +-≤>的解集为B .

第 12 页共 19 页（1）求集合A 与B ；

（2）若“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）[]1,5A =-；[]3,B a a =-；（2）5a ≥.

【分析】（1）通过配方，求出245x x -+-的最大值，利用基本不等式求出41x x +

-的最小值，得到m 的范围，确定集合A ；解一元二次不等式()222300y ay a a +-≤>，

直接得到B ；

（2）根据“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，得到A 是B 的真子集，由（1）列出不等式求解，即可的出结果.

【详解】（1）当(1,)x ∈+∞时，()2

245211x x x -+-=---≤-，当且仅当2x =时，245x x -+-取得最大值；

44111511x x x x +=-++≥=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立；因为对任意(1,)x ∈+∞，不等式24451

x x m x x -+-≤≤+

-成立，所以15m -≤≤；即[]1,5A =-；

由22230y ay a +-≤可得()()30y a y a -≤+，因为0a >，所以3a y a -≤≤，即[]

3,B a a =-；

（2）若“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以315a a -≤-??≥?

，解得5a ≥，即实数a 的取值范围是5a ≥.

【点睛】结论点睛：

根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：

（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；

（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；

（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；

（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 19．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，90ACB ∠=?，

点D 在棱AC

第 13 页共 19 页上(不同于点A ，C )，点E 为棱1CC 的中点.

（1）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值；

（2）若二面角1A BE D --的余弦值为6

，求线段CD 的长. 【答案】（1）3（2）1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面角公式求解即可；（2）设(,0,0)(02)D <

<，根据二面角公式及二面角1A BE D --的余弦值为6解方程即可求解.

【详解】(1)如图建立空间直角坐标系C 一xyz ,

则B (0,2,0)，C (0,0,2)，E (0,0,1 )，A 1(2,0,2).

11(0,2,2),(2,0,1),(0,2,1)BC EA EB ∴=-==-.

设平面1A BE 的法向量为(,,)n x y z =,

第 14 页共 19 页则2020

x z y z +=??-=?,令x = 1,则(1,1,2)n =--. 所以1113cos ,.||||

BC n BC n BC n

?<>==- 所以直线BC 与平面1A BE （2）设(,0,0)(02)D <<，则(,2,0)BD →=-,

设平面BED 的法向量为(,,)m x y z →=，

则2020

x y y z λ-=??-=?

,令y = 1,则2(,1,2)m λ→=.

因为二面角1A BE D --

所以2|5|||cos ,||||6m n m n m n →→→-?<>===

?，解得1λ=，

所以1CD =

【点睛】关键点点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P .

（1）若5AF BF +=，求直线l 的方程；

（2）若3AP PB =，求弦AB 的长.

【答案】（1）186230x y --=（2【分析】（1）设直线l ：3y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得123x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解

第 15 页共 19 页方程求得结果；

（2）设直线l ：13

x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.

【详解】（1）由焦点为()1,0F 知，2p =，

所以抛物线方程为2

4y x =，

设直线l 方程为：3y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：1225AF BF x x +=++=

123x x ∴+= 联立234y x m y x

=+??=?得：()229640x m x m +-+= 则()2264360m m ?=-->

m ∴< 126439m x x -∴+=-=，解得：236

m =- ∴直线l 的方程为：2336

y x =-，即：186230x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：13

x y t =+ 联立2134x y t y x

?=+???=?得：24403y y t --= 则161609

t ?=

+> 19

t ∴>- 1243y y ∴+=，124y y t

3AP PB = 123y y ∴=- 223y ∴=-

，12y = 1243y y ∴=-

则

AB === 【点睛】关键点点睛：根据题意，合理设直线方程的形式，利用抛物线的定义，联立抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式，对计算要求较高，属于中档题.

第 16 页共 19 页 21．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1，公差为d 的等差数列，偶数项是首项为2，公

比为q 的等比数列.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34S a =，3542a a a +=+·

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设实数0M >，若对于任意*k N ∈，都有(]2120,k k

S M a -∈求M 的最小值. 【答案】（1）2

2,23,n n n n a n -??=????是奇数是偶数

（2）1 . 【分析】（1）将已知条件1234354

2a a a a a a a ++=??+=+?整理为121211222d q d d q +++=??+++=+?求出q 和d 的值即可求出通项；

（2）先利用分组求和求出21k S -，利用通项求出2k a ，可得22121121113232213k k k k k S k a k ----==+??+--，构造数列()2112321k k f k -=+?-，利用作差法判断其单调性，可得M 的范围，即可求解.

【详解】（1）由题意可得11a =，22a =，因为34S a =，3542a a a +=+，

所以1234354

2a a a a a a a ++=??+=+?，即121211222d q d d q +++=??+++=+?整理得：4232d q d q +=??=? 解得：23d q =??=?

，所以2

2,23,n n n n a n -??=????是奇数是偶数

， ()()2113212422k k k S a a a a a a ---=++

+++++ ()()012135212333k k -=++++-+?+++ ()()121113*********

k k k k k --?-+-=+?=+--，

1222323k k k a --=?=?，

所以

S k

==+

+--

，

令()

232

f k

，则()()

()22

2223

111

32323

k k k

k k k k

f k f k

+---++

+-=-=

???

，

令()2

223

g k k k

=-++，对称轴为

k=，

所以()2

223

g k k k

=-++随k的增大而减小，

()130

g=>，()2

22222310

g=-?+?+=-<，

所以()()

f f

>，()()()

234

f f f

>>>，

所以2

k=时，()

232

f k

最大值为()

f=+=

，

所以1

M≥，所以M的最小值为1.

【点睛】易错点睛：本题是函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：

(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>过点()

1,e，且

e=，其中e为椭圆C的离心率.若A，B分别是椭圆C的上顶点与右顶点，动直线()0

y kx k

=>与椭圆C交于E，F两点，其中点E在第一象限.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设AEB

△，AFB

△的面积分别为1S，2S，求2

的最小值，并求出此时k的值.

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第 18 页共 19 页【答案】（1）2

214

x y +=；（2）21S S

的最小值为3+k 的值为12. 【分析】（1）根据题中条件，由椭圆的性质列出方程组，求出22,a b ，即可得出椭圆方程；

（2）先由（1）得到()0,1A ，()2,0B ，求出直线AB 的方程，根据题意，设()00,E x y ，得()00,F x y --，联立直线()0y kx k =>与椭圆方程，求出00,x y ，再分别记点E ，F 到直线AB 的距离为1d ，2d ，根据点到直线距离公式，以及三角形面积公式，得到2211

S d S d =，利用基本不等式，即可求出其最小值，以及取最小值时的k 值. 【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()1,e

，且e =e 为椭圆C 的离心率，

所以22222211e a b c e a a b c ?+=???==??=+???

，即2

22222211c a a b c a a b c ?+=???=??=+???

，解得222143b a c ?=?=??=?，所以椭圆C 的方程为

214

x y +=；（2）由（1）可得，()0,1A ，()2,0B ，

所以直线AB 的方程为121

x y +=，即220x y +-=，由题意，设()00,E x y ()00x >，

因为直线()0y kx k =>与椭圆C 交于E ，F 两点，所以()00,F x y --；由00220014

y kx x y =???+=??可得2220014x k x +=