2021届新高考二轮数学创新设计专题：考前冲刺一 12类二级结论高效解题

考前冲刺一12类二级结论高效解题

高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.

结论1奇函数的最值性质

已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.

【例1】设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin x

x2＋1

的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝

________.

解析显然函数f(x)的定义域为R，

f(x)＝（x＋1）2＋sin x

x2＋1

＝1＋

2x＋sin x

x2＋1

，

设g(x)＝2x＋sin x

x2＋1

，则g(－x)＝－g(x)，

∴g (x )为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，

∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min

＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.

答案 2

【训练1】 已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ? ??

??lg 12＝( ) A.－1

B.0

C.1

D.2 解析 令g (x )＝ln(

1＋9x 2－3x )，x ∈R ，则g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )，因为g (x )＋g (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln(1＋9x 2－9x 2)＝ln 1＝0，所以g (x )是定义在R 上的奇函数.

又lg 12＝－lg 2，所以g (lg 2)＋g ? ??

??lg 12＝0， 所以f (lg 2)＋f ? ????lg 12＝g (lg 2)＋1＋g ? ??

??lg 12＋1＝2. 答案 D

结论2 函数周期性问题

已知定义在R 上的函数f (x )，若对任意的x ∈R ，总存在非零常数T ，使得f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )是周期函数，T 为其一个周期.

常见的与周期函数有关的结论如下：

(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .

(2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）

(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .

【例2】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f ? ??

??x ＋32＝－f (x )，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝( )

A.－2

B.－1

C.0

D.1

(2)(多选题)(2020·济南模拟)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )

A.f (x )为奇函数

B.f (x )为周期函数

C.f (x ＋3)为奇函数

D.f (x ＋4)为偶函数 解析 (1)因为f ? ??

??x ＋32＝－f (x )， 所以f (x ＋3)＝－f ? ??

??x ＋32＝f (x )，则f (x )的周期T ＝3. 则有f (1)＝f (－2)＝－1，f (2)＝f (－1)＝－1，f (3)＝f (0)＝2，

所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，

所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)

＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)

＝673×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 020)＝0＋f (1)＝－1.

(2)法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.

法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC. 答案 (1)B (2)ABC

【训练2】 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )

A.－2

B.－1

C.0

D.1

解析 由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，

又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，

所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x ).

故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1.

又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝1.

答案 D

结论3 函数的对称性

已知函数f (x )是定义在R 上的函数.

(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称，特别地，

若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.

(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称.

(3)若f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称.

【例3】 (1)函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________.

(2)(多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )

A.f (x )的图象关于点(1，1)对称

B.f (x )是周期为4的函数

C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2

<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增

D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2)

解析 (1)因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x )是R 上的奇函数， 又f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4.

所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，

所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)

＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0，

所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.

(2)根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝f(－x)，则2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，从而f(x＋2)＝2－f(x

＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正确；由f（x2）－f（x1）

x1－x2

<0可知f(x)在[0，1]上单调

递增，又f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x)在[1，2]上单调递增，因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[－3，－2]上单调递增，C正确；因为f(x)＝f(－x)，x∈[－2，－1]时，－x∈[1，2]，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋1，x∈[－2，－1]，因为f(x)的周期为4，f(x)＝f(x－4)，x∈[2，3]时，x－4∈[－2，－1]，所以f(x)＝f(x－4)＝ln(4－x)＋1，x∈[2，3]，D错误.综上，正确的是ABC.

答案(1)4(2)ABC

【训练3】(1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为()

(2)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝________. 解析(1)作出y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，

将y＝f(－x)的图象向右平移1个单位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象.因此图象

A 满足.

(2)因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又 f (－x )＝f (x )，

所以f (x )＝f (x ＋4)，则f (－1)＝f (3)＝3.

答案 (1)A (2)3

结论4 两个经典不等式

(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x >0)，当且仅当x ＝1时，等号成立.

(2)指数形式：e x ≥x ＋1(x ∈R )，当且仅当x ＝0时，等号成立.

进一步可得到一组不等式链：e x >x ＋1>x >1＋ln x (x >0，且x ≠1).

【例4】 已知函数f (x )＝x －1－a ln x .

(1)若f (x )≥0，求a 的值；

(2)证明：对于任意正整数n ，? ????1＋12? ?

???1＋1

22…? ?

???1＋1

2n <e.

(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，

①若a ≤0，因为f ? ????12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意.

②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，

当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0；

所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，

故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点.

因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1.

(2)证明 由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.

令x ＝1＋12n ，得ln ? ????1＋12n <1

2n .

从而ln ? ????1＋12＋ln ? ????1＋122＋…＋ln ? ????1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－1

2n <1.

故? ????1＋12? ????1＋122…? ?

???

1＋1

2n <e.

【训练4】 (1)已知函数f (x )＝1

ln （x ＋1）－x ，则y ＝f (x )的图象大致为( )

解析 由?????x ＋1>0，ln （x ＋1）－x ≠0，

得{x |x >－1，且x ≠0}，所以排除选项D.

当x >0时，由经典不等式x >1＋ln x (x >0)，

以x ＋1代替x ，得x >ln(x ＋1)(x >－1，且x ≠0)，

所以ln(x ＋1)－x <0(x >－1，且x ≠0)，排除A ，C ，易知B 正确.

答案 B

(2)已知函数f (x )＝e x

，x ∈R .证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点.

证明 令g (x )＝f (x )－? ????12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R ，则g ′(x )＝e x －x －1， 由经典不等式e x ≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )在R 上为增函数，且g (0)＝0.

所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.

结论5 三点共线的充要条件

设平面上三点O ，A ，B 不共线，则平面上任意一点P 与A ，B 共线的充要条件是

存在实数λ与μ，使得OP

→＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.特别地，当P 为线段AB 的中点时，OP →＝12OA →＋12

OB →. 【例5】 在△ABC 中，AE →＝2EB →，AF →＝3FC →，连接BF ，CE ，且BF 与CE 交于

点M ，AM →＝xAE →＋yAF →，则x －y 等于( )

A.－112

B.112

C.－16

D.16

解析 因为AE →＝2EB →，所以AE →＝23AB →，

所以AM →＝xAE →＋yAF →＝23

xAB →＋yAF →. 由B ，M ，F 三点共线得23x ＋y ＝1.①

因为AF →＝3FC →，所以AF →＝34AC →， 所以AM →＝xAE →＋yAF →＝xAE →＋34

yAC →. 由C ，M ，E 三点共线得x ＋34y ＝1.②

联立①②解得???

??x ＝12，y ＝23，所以x －y ＝12－23＝－16.

答案 C

【训练5】 在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC

的中点.若AB

→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________. 解析 如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T .

由已知易得AB ＝45AT ，

∴45AT →＝AB →＝λAM

→＋μAN →， ∴AT →＝54λAM →＋54

μAN →， ∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1，∴λ＋μ＝45.

答案 45

结论6 三角形“四心”向量形式的充要条件

设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则

(1)O 为△ABC 的外心?|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A .

(2)O 为△ABC 的重心?OA

→＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心?OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA

→. (4)O 为△ABC 的内心?aOA

→＋bOB →＋cOC →＝0. 【例6】 P 是△ABC 所在平面内一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC

的( )

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

解析 由P A →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA

→＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，P A →⊥BC

→.∴P 是△ABC 的垂心. 答案 D

【训练6】 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满

足OP →＝OB →＋OC →2

＋λAP →，λ∈R ，则P 点的轨迹一定经过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析 设BC 的中点为M ，则OB →＋OC →2

＝OM →， 则有OP

→＝OM →＋λAP →，即MP →＝λAP →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的重心.

答案 C

结论7 与等差数列相关的结论

已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n .

(1)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列.

(2)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 偶S 奇＝a m ＋1a m .

(3)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和

为S 偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1

. 【例7】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )

A.3

B.4

C.5

D.6

(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝

________.

解析 (1)∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，

∴数列????

??S n n 也为等差数列. ∴S m －1m －1＋S m ＋1

m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5. 经检验，m ＝5符合题意.

(2)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.

又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2

＝(2m －1)a m ＝38， 显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.

代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.

答案 (1)C (2)10

【训练7】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝20，S 20＝50，则S 30＝________.

(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.

解析 (1)(S 20－S 10)－S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)，S 30＝3S 20－3S 10＝3×50－3×20＝90.

(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .

由已知条件，得?????S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得?????S 偶＝192，S 奇＝162.

又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626

＝5. 答案 (1)90 (2)5

结论8 与等比数列相关的结论

已知等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n .

(1)数列????

??1a n 也为等比数列，其公比为1q . (2)公比q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).

(3)若等比数列的项数为2n (n ∈N *)，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶＝qS 奇.

(4)已知等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n .则S m ＋n ＝S m ＋q m S n (m ，n ∈N *).

【例8】 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6

＝( ) A.2 B.73 C.83 D.3

解析 由已知S 6S 3

＝3，得S 6＝3S 3且q ≠－1，因为S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也为等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，则(2S 3)2＝S 3(S 9－3S 3).化简得S 9＝7S 3，从而S 9S 6＝7S 33S 3

＝73.

答案 B

(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 3＝72，S 6＝632.

①求数列{a n }的通项公式；

②求log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25的值.

解 ①由S 3＝72，S 6＝632，得S 6＝S 3＋q 3S 3＝(1＋q 3)S 3，∴q ＝2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)，得a 1＝12.

故通项公式a n ＝12×2n －1＝2n －2.

②由①及题意可得log 2a n ＝n －2，

所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝25×（－1＋23）2

＝275. 【训练8】 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，

则数列??????1a n 的前5项和为( )

A.158或5

B.3116或5

C.3116

D.158 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知S 3≠0.

则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.

所以数列??????1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－? ????1251－12

＝3116. 答案 C

结论9 多面体的外接球和内切球

(1)长方体的体对角线长d 与共点的三条棱长a ，b ，c 之间的关系为d 2＝a 2＋b 2＋c 2；若长方体外接球的半径为R ，则有(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2.

(2)棱长为a 的正四面体内切球半径r ＝612a ，外接球半径R ＝64a .

【例9】 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于

( ) A.7π6 B.4π3 C.2π3 D.π2

解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为

x (各棱长都相等).

依题意，? ??

??x 43＝18，得x ＝2，易得小三棱锥的高为263. 设小球半径为r ，则13S 底面·263＝4×13S 底面·r (S 底面为小三棱锥的底面积)，得r ＝66.

故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3.

答案 C

【训练9】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( ) A.14 B.2 3

C.4 6

D.3

(2)已知球O 的直径P A ＝2r ，B ，C 是该球面上的两点，且BC ＝PB ＝PC ＝r ，三

棱锥P －ABC 的体积为3223，则球O 的表面积为( )

A.64π

B.32π

C.16π

D.8π

解析 (1)由于直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的表面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长2，所以该三棱柱的侧棱长为16－2＝14.

(2)如图，取P A 的中点O ，则O 为球心，连接OB ，OC ，则几何体O －BCP 是棱

长为r 的正四面体，所以V O －BCP ＝212r 3，于是V P －ABC ＝2V O －BCP ＝26r 3，令26r 3

＝3223，得r ＝4.从而S 球＝4π×42＝64π.

答案 (1)A (2)A

结论10 焦点三角形的面积公式

(1)在椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)中，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则

△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.

(2)在双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)中，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为双曲线上一

点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2

tan θ2

，其中θ＝∠F 1PF 2.

【例10】 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分

别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )

A. 2

B. 3

C.32

D.62

解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22

＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3. 又四边形AF 1BF 2为矩形，所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°，即b 22＝b 21＝

1.

所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2.

故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62.

答案 D

【训练10】 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C

上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2

的面积为9，则b ＝________. 解析 在焦点三角形PF 1F 2中，PF 1→⊥PF 2

→， 所以∠F 1PF 2＝90°，

故S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 2tan 45°＝9，则b ＝3.

答案 3

结论11 圆锥曲线的切线问题

(1)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝R 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝R 2.

(2)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.

(3)已知点M (x 0，y 0)，抛物线C ：y 2＝2px (p ≠0)和直线l ：y 0y ＝p (x ＋x 0).

①当点M 在抛物线C 上时，直线l 与抛物线C 相切，其中M 为切点，l 为切线. ②当点M 在抛物线C 外时，直线l 与抛物线C 相交，其中两交点与点M 的连线

分别是抛物线的切线，即直线l 为切点弦所在的直线.

【例11】 已知抛物线C ：x 2＝4y ，直线l ：x －y －2＝0，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程.

解 联立方程得???x 2＝4y ，x －y －2＝0，

消去y ，整理得x 2－4x ＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l 与抛物线C 相离.

由结论知，P 在抛物线外，故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x ＝2(y ＋y 0)，即y ＝12

x 0x －y 0.

【训练11】 (1)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )

A.2x ＋y －3＝0

B.2x －y －3＝0

C.4x －y －3＝0

D.4x ＋y －3＝0

(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点P ? ??

??1，32，则椭圆C 在点P 处的切线方程为________________.

解析 (1)如图，圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1).

又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－0

3－1＝12，∴k AB ＝－2.

故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.

(2)由于点P ? ??

??1，32在椭圆x 24＋y 23＝1上， 故切线方程为x 4＋32y 3＝1，即x ＋2y －4＝0.

答案 (1)A (2)x ＋2y －4＝0

结论12 过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦

设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则

(1)x A ·x B ＝p 24.

(2)y A ·y B ＝－p 2.

(3)|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角).

【例12】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )

A.4

B.92

C.5

D.6

解析 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，

设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，

则|AB |＝3m ，

由抛物线的定义知

|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，

所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，

∴sin 2θ＝89.

又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝

2p sin 2θ＝92

. 答案 B

【训练12】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )

A.334

B.938

C.6332

D.94 解析 法一 由已知得焦点坐标为F ? ????34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33? ????x －34，

即4x －43y －3＝0.

与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.

因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.

法二 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α

得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.

原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，

故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.

答案 D

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