相似三角形难题集锦(含答_案)

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点 B 作射线 BB1∥AC．动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以 每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动． 过点 D 作 DH⊥AB 于 H， 过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接 DG．设点 D 运动的时间为 t 秒． （1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度； （2）当△ DEG 与△ ACB 相似时，求 t 的值．4.如图所示， 在△ ABC 中， BA＝BC＝20cm， AC＝30cm， 点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点 运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速 度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运 动．设运动的时间为 x． （1）当 x 为何值时，PQ∥BC？ （2） △ APQ 与△ CQB 能否相似？若能， 求出 AP 的长； 若不能说明理由．2.如图，在△ ABC 中， ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动 点 P 以 2m/s 的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动．同 时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移 动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移 动的时间为 t 秒． （1）①当 t=2.5s 时，求△ CPQ 的面积； ②求△ CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数 解析式； （2）在 P，Q 移动的过程中，当△ CPQ 为等腰三角形时， 求出 t 的值．5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动．如 果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6） 。 （1）当 t 为何值时，△ QAP 为等腰直角三角形？ （2）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形 与△ ABC 相似？3.如图 1，在 Rt△ ABC 中， ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 点 D 在边 AB 上运动，DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E， EM⊥BD，垂足为 M，EN⊥CD，垂足为 N． （1）当 AD＝CD 时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD 为何值时，△ BME 与△ CNE 相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)， 正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45°，求这个正比 例函数的表达式．

7.在△ ABC 中，AB=，AC=4，BC=2，以 AB 为边在 C点的异侧作△ ABD，使△ ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长．三、构造相似辅助线——A、X 字型 11.如图：△ ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边 上的中线 AE 交 CD 于 F。 求证：8.在△ ABC 中， AC=BC， ∠ACB=90°， 点 M 是 AC 上的一点， 点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好 落在边 AB 上的 P 点．求证：MC：NC=AP：PB．12.四边形 ABCD 中，AC 为 AB、AD 的比例中项，且 AC 平分∠DAB。求证：9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上， 边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角 线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置， 且 AD 交 y 轴于点 E． 那 么 D 点的坐标为（）13.在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E 为 AD 边上的任意一点，EF∥AB，且 EF 交 BC 于点 F，某同学 在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当 A. B.时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并 给出证明．C.D.10..已知，如图，直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A、B 两 点．以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩 形的两边之比为 1﹕2。 求 C、D 两点的坐标。

14.已知：如图，在△ ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是 BC 上的两点，且 BE＝EF＝FC。 求 BN：NQ：QM．求证：．15.证明： （1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于 该顶点对边上中线长的 ． （注：重心是三角形三条中线18.如图，在△ ABC 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正 方形 EFGH 的四个顶点分别在△ ABC 上。的交点） （2）角平分线定理：三角形一个角的平分线 分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．求证：．四、相似类定值问题 16.如图，在等边△ ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中 点，D 为 MN 上任意一点，BD、CD 的延长线分别交 AC、 AB 于点 E、F． 求证： ．19.已知，在△ ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边 长为 a．求证： ．17.已知：如图，梯形 ABCD 中，AB//DC，对角线 AC、BD 交于 O，过 O 作 EF//AB 分别交 AD、BC 于 E、F。五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图 1，点 在平行四边形 ABCD 的对角线

BD 上，一直线过点 P 分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S， 交 于点 ．求证： 在上一点， 过 C 作 CF∥AB， 延长 BP 交 AC 于 E， 交 CF 于 F． 求 证：BP ＝PE·PF ．2（2）如图 2，图 3，当点平行四边形 ABCD 的对角线 或 的 延 长 线 上 时 ， 是否仍然成 立？若成立，试给出证明；若 不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说 明） ；22.如图，已知ΔABC 中，AD，BF 分别为 BC，AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G， 2 交 AC 延长线于 H。求证： DE =EG EH23.已知如图， P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一 点，过 P 的直线与 AD、BC、CD 的延长线、AB 的延长 线分别相交于点 E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角△ ABC 中，AD⊥BC 于 D，H 为垂21.已知：如图，△ ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD

心 （三角形三条高线的交点） ； 在 AD 上有一点 P， 且∠BPC 2 为直角．求证：PD ＝AD·DH 。E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F. （1）求证： .（2） 若 G 是 BC 的中点， 连接 GD， GD 与 EF 垂直吗？ 并说明理由.六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD 是 Rt△ ABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的 中点，ED 的延长线交 CA 于 F。 求证：28.如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、 CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N．求 证： ．26 如图，在 Rt△ ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DH⊥BM 且与 AC 的延长线交于点 E. 求证： （1）△ AED∽△CBM； （2）29.如图，BD、CE 分别是△ ABC 的两边上的高，过 D 作 DG⊥BC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H。 2 求证： （1）DG ＝BG·CG； （2）BG·CG＝GF·GH27.如图， △ ABC 是直角三角形， ∠ACB=90°， CD⊥AB 于 D，

七、 相似基本模型应用 30.△ ABC 和△ DEF 是两个等腰直角三角形， ∠A=∠D=90°， △ DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上． （1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点 N， 求证：△ BEM∽△CNE； （2）如图 2，将△ DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延 长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1）中的 一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明 你的结论．32.如图，在△ ABC 中，AD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E， DF⊥AC 于 F。求证：31.如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形， 点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ； （2）求 BP：PQ：QR．

答案：1.答案：解： （1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4 ∴AB=5 又∵AD=AB，AD=5t ∴t=1，此时 CE=3， ∴DE=3+3-5=1综上，t 的值为或或或．3.答案：解： （1）证明：∵AD=CD ∴∠A=∠ACD ∵DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E ∴∠CDE=∠BDE ∵∠CDB 为△ CDB 的一个外角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD ∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE ∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （2）①∠NCE=∠MBE ∵EM⊥BD，EN⊥CD， ∴△BME∽△CNE，如图（2）如 图 当 点 D 在 点 E 左 侧 ， 即 ： 0≦t≦ DE=3t+3-5t=3-2t． 若△ DEG 与△ ACB 相似，有两种情况：时，①△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=； ∵∠NCE=∠MBE ∴BD=CD 又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90° ∴∠ACD=∠A ∴AD=CD②△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=；∴AD=BD=AB如图， 当点 D 在点 E 右侧， 即： t>时， DE=5t-(3t+3)=2t-3．∵在 Rt△ ABC 中， ACB＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB=10 ∴AD=5 ②∠NCE=∠MEB ∵EM⊥BD，EN⊥CD， ∴△BME∽△ENC，如图若△ DEG 与△ ACB 相似，有两种情况：③△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；④△DEG∽△BCA，此时，∵∠NCE=∠MEB ∴EM∥CD ∴CD⊥AB ∵在 Rt△ ABC 中， ACB＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB=10 ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB ∴△ACD∽△ABC即：，求得：t=．

∴解得：（符合题意） ；∴②当△ PAQ∽△ABC 时， 解得： （符合题意） ．， 即：，综上：AD=5 或时，△ BME 与△ CNE 相似． ∴ 当 或 时，以点 Q、A、P 为顶点的三角4.答案： 解 （1） 由题意： AP=4x， CQ=3x， AQ=30-3x，当 PQ∥BC 时，，即：形与△ ABC 相似． 6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限解得：（2）能，AP=cm 或 AP=20cm①△APQ∽△CBQ，则 解得： 此时：AP= 或 cm （舍），即过点 A 作 AB⊥OA，交待求直线于点 B，过点 A 作平 行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知： 由双垂直模型知：△ OCA∽△ADB ＝90°②△APQ∽△CQB，则，即∴ ∵A（2，1） ， ＝45°解得：（符合题意）此时：AP=cm故 AP=cm 或 20cm 时，△ APQ 与△ CQB 能相似．∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D 点坐标为（2，3） ∴B 点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限5.答案：解：设运动时间为 t，则 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t， BP=12-2t． （1） 若△ QAP 为等腰直角三角形， 则 AQ=AP， 即： 6-t=2t， t=2（符合题意） ∴t=2 时，△ QAP 为等腰直角三角形． （2）∠B=∠QAP=90°①当△ QAP∽△ABC 时，，即：，过点 A 作 AB⊥OA，交待求直线于点 B，过点 A 作平 行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥AC

则由上可知： 由双垂直模型知：△ OCA∽△ADB＝90°∴ ∵A（2，1） ， ＝45°∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB ∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2 ∴D 点坐标为（3，1） ∴B 点坐标为（3，﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝x情形三：7.答案：解：情形一：8.答案：证明：方法一： 情形二： 连接 PC，过点 P 作 PD⊥AC 于 D，则 PD//BC 根据折叠可知 MN⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM ∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC∽MCN

∴MC：CN=PD：DC ∵PD=DA ∴MC：CN=DA：DC ∵PD//BC ∴DA：DC=PA：PB ∴MC：CN=PA：PB∴x＝∴，则。 答案为 A方法二：如图， 过 M 作 MD⊥AB 于 D，过 N 作 NE⊥AB 于 E 由 双 垂 直 模 型 ， 可 以 推 知 △ PMD∽NPE ， 则 10.答案：解： 过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G， 过点 D 作 y 轴的 平行线交 x 轴于 F，交 GC 的延长线于 E。 ∵直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A、B 两点 ∴A（1,0） ，B（0,2） ，而 MD=DA ， ∴MC：CN=PA：PB ∴OA=1，OB=2，AB= ∵AB：BC=1:2 ∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90° ∴∠CBG=∠BAO 又∵∠CGB=∠BOA=90° ∴△OAB∽△GBC，根据等比性质可知 NE=EB，PM=CM，PN=CN， 9.答案：A∴ 解题思路：如图 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 M，交 x 轴于 点 N，则∠M=∠DNA=90°， 由于折叠，可以得到△ ABC≌△ADC， 又由 B（1，3） ∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90° ∴ ∠1+∠2=90° ∵ ∠DNA=90° ∴ ∠3+∠2=90° ∴ ∠1=∠3 ∴ △ DMC∽△AND， ∴GB=2，GC=4 ∴GO=4 ∴C（4,4） 同理可得△ ADF∽△BAO，得∴DF=2 ， AF=4 （5,2） 11.答案：证明： （方法一）如图∴OF=5∴D∴设 CM=x，则 DN=3x，AN=1＋x，DM＝ 延长 AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CM ∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴ △ BEA≌△CEM∴3x＋＝3

∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM ∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF ∴△MCF∽△ADF∵AC 为 AB、AD 的比例中项 ∴即 ∴ ∵CM=AB，AD=AC 又∵∠1=∠2 ∴△ACD∽△ABC∴∴∴∴ （方法二） 过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ ABE∽△ADG，△ CEF∽△DGF 13.答案：解：∴，∵AD=AC，BE=CE 证明： ∴ 过点 E 作 PQ∥BC 分别交 BA 延长线和 DC 于点 P 和 点Q ∵AB∥CD，PQ∥BC ∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形∴PB＝EF＝CQ， 12.答案：证明： 过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延长线于点 F，则∠2=∠3 ∵AC 平分∠DAB ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AD=DF ∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3 ∴△BEA∽△DEF 又∵AB＝b，CD＝a ∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴∴ ∵AD=DF 14.答案：解： ∴

连接 MF ∵M 是 AC 的中点，EF＝FC∴MF∥AE 且 MF＝AE∴△BEN∽△BFM ∴BN： BM＝BE：BF＝NE：MF ∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝ 1:2 ∴BN ： NM ＝ 1:1 设 NE ＝ x ，则 MF ＝ 2x ， AE ＝ 4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ： QM ＝ AN ： MF ＝ 3:2 ∵BN ： NM ＝ 1:1 ， NQ ： QM ＝ 3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:2（2） 如图 2，AD 为△ ABC 的角平分线 过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD 的延长线于 E 则∠BAD=∠E ∵AD 为△ ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠E=∠CAD ∴AC＝CE ∵CE∥AB ∴△BAD∽△CED15.答案：证明： （1） 如图 1，AD、BE 为△ ABC 的中线，且 AD、BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE，交 AD 的延长线于点 F ∵CF∥BE 且 E 为 AC 中点 ∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE ∵∠EAO＝∠CAF ∴△AEO∽△ACF ∴∴∴ ∵D 为 BC 的中点，∠ODB＝∠FDC ∴△BOD≌△CFD ∴BO＝CF 16.答案：证明： ∴ 如图，作 DP∥AB，DQ∥AC 则四边形 MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且 △ DPQ 是等边三角形 ∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ ∵M、N 分别是边 AB，AC 的中点∴ 同理，可证另外两条中线 ∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长∴MN＝ 的BC＝PQ∵DP∥AB，DQ∥AC ∴△CDP∽△CFB，△ BDQ∽△BEC∴，∴

∵EF＝DE＝a ∵DP＝DQ＝PQ＝ BC＝ AB ∴ ∴ AB（ ）＝ 20.答案： （1） 证明： 在平行四边形 ABCD 中， AD∥BC， ∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS ∴△DRP∽△BSP∴ 17.答案：证明：∵EF//AB，AB//DC ∴EF//DC ∴△AOE∽△ACD，△ DOE∽△DBA ∴ 同理由 AB∥CD 可证△ PTD∽△PQB∴ ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ 18.答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB ∴ ∵ ， ， （2）证明：成立，理由如下： 在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS ∴△DRP∽△BSP∴ 同理由 AB∥CD 可证△ PTD∽△PQB∴△AFE∽△ADC，△ CEH∽△CAB∴ ∵EF＝EH，∴∴ ∴ ∴ ∴ 19.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC ∴ ∵ ， ，∴△BFE∽△BCA，△ AED∽△ABC 21.答案：证明: ∵AB＝AC，AD 是中线， ∴AD⊥BC,BP=CP ∴∠1=∠2 又∵∠ABC=∠ACB ∴∠3=∠4∴，∴

∵CF∥AB ∴∠3=∠F,∠4=∠F 又∵∠EPC=∠CPF ∴△EPC∽△CPF ∴BP ＝PE·PF2又∵∠3=∠4 ∴△APE∽△CPF∴ 即证所求 ∴ 24.答案：证明：如图，连接 BH 交 AC 于点 E，∴22.答案：证明：∵DE⊥AB ∴ ∵ ∴ ∵ ∴△ADE∽△DBE ＝90° ＝90°∴ ∴DE2= ∵BF⊥AC ∴ ∵ ∴ ∵ ∴△BEG∽△HEA ＝90° ＝90°且 ∵H 为垂心 ∴BE⊥AC ∴∠EBC+∠BCA=90° ∵AD⊥BC 于 D ∴∠DAC+∠BCA=90° ∴∠EBC=∠DAC 又∠BDH=∠ADC=90° ∴△BDH∽△ADC∴ ∴ ∵∠BPC ∴ ＝ ∴DE2=EG•EH，即为 直 角 ，AD⊥BC ∴PD2 ＝ BD·DC ∴PD2 ＝ AD·DH 25.答案：证明：∵CD 是 Rt△ ABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点 ∴CE=EB=DE ∴∠B=∠BDE=∠FDA ∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90° ∴∠B=∠ACD ∴∠FDA=∠ACD ∵∠F=∠F ∴△FDA∽△FCD23.答案：证明： ∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6 ∴△PAH∽△PCG∴ ∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD ∴△ACD∽△CBD∴

∴中， G 是 BC 的中点， ∴GD＝GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1 的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90° ∴GD⊥EF 28.答案：证明：由四边形 ABCD、DEFG 都是正方形可 知，∠ADC=∠GDE=90°，则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在 和 中∴ 即 26.答案：证明： （1）∵∠ACB＝∠ADC＝90° ∴∠A＋∠ACD＝90° ∠BCM＋∠ACD＝90° ∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD ∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD ∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH ∴∠ADE＝∠CMB ∴△AED∽△CBM∴≌则∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND ∴△ANM∽△CND则 （2）由上问可知： 故只需证明 ∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC ∴△ACD∽△ABC ，即 ∴ 即可 29.答案：证明：找模型。 （ 1 ） △ BCD 、 △ BDG ， △ CDG 构成母子型相似。 ∴△BDG∽△DCG∴ ∴，即∴ ∴DG2＝BG·CG （2）分析：将等积式转化为比例式。27.答案： （1）将结论写成比例的形式，，可BG·CG＝GF·GH ∵∠GFC=∠EFH ， ∠GFC+∠FCG=90° ∴∠H=∠FCG 而∠HGB=∠CGF=90° ∴△HBG∽△CFG 而 ∠EFH+∠H=90° ，以考虑证明△ FDB∽△FCD（已经有一个公共角∠F） Rt△ ACD 中，E 是 AC 的中点 ∴DE=AE ∴∠A=∠ADE ∵∠ADE=∠FDB ∴∠A=∠FDB 而∠A+∠ACD=90° ∠FCD+∠ACD=90° ∴∠A=∠FCD ∴∠FCD=∠FDB 而∠F=∠F ∴△FBD∽△FDC∴∴BG·CG＝GF·GH．∴ ∴ （2） 判断： GD 与 EF 垂直 Rt△ CDB30.答案： （1）证明：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝ 135° ＝ ∠MEB ＋ ∠EMB ∴∠NEC ＝ ∠EMB 又 ∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （ 2 ） △ COE∽△EON 证明：∵∠OEN=∠C ＝ 45°，∠COE ＝∠EON ∴△COE∽△EON 31. 答案：解： （1）△ BCP∽△BER，△ CQP∽△DQR， △ ABP∽△CQP，△ DQR∽△ABP （2）∵AC∥DE ∴△BCP∽△BER

∴ ∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形 ∴AD=BC，AD=CE ∴BC=CE，即点 C 为 BE 的中点 ∴ 又∵AC∥DE ∴△CQP∽△DQR∴ ∵点 R 为 DE 的中点 ∴DR=RE∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：232.答案：证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB ∴△ADB∽△AED∴ ∴AD²＝AE AB 同理可证：AD²＝AF AC ∴AE AB＝AF AC

反比例函数典型例题1、 （2011 宁波）正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例 函数 y=2、已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两个实数根的倒数 和等于 3，且关于 x 的方程（k-1）x2+3x-2a=0 有实根， 且 k 为正整数，正方形 ABP1P2 的顶点 P1、P2 在反比例 函数 y=2 （x＞0）的图象上，顶点 A1、B1 分别在 x 轴、y x 2 （x＞0）的图象上，顶点 A2 在 x 轴的正 xk 1 （x＞0）图象上，顶点 A、B 分别在 x 轴 x和 y 轴的正半轴上，求点 P2 的坐标．轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P3 在 反比例函数 y=半轴上，则 P2 点的坐标为___________，则点 P3 的坐标为 __________。答案： （2，1）或 （ 6 ，6 ） 2答案： P2 （ 2 ， 1 ） P2 3、如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点 在一反比例函数图象上，且正方形 OABC 的边长为 2． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点 D 的坐标．（ 3 +1， 3 -1）答案： （1） y= ( 5 1 , 5 -1 ) 4、两个反比例函数 y=4 x(2)3 6 ，y= 在第一象限内的图象 x x如图所示，点 P1、P2 在反比例函数图象上，过点 P1 作 x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N， 若点 N（m，n）恰好在 y= 的乘积是______。 答案：33 的图象上，则 NP1 与 NP2 x答案：3

5、（2007 泰安）已知三点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ， P3（1，-2）都在反比例函数 y= x2＞0，则下列式子正确的是（ A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2k 的图象上，若 x1＜0， x）答案：D C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y26、如图，已知反比例函数 y=1 的图象上有点 P，过 P 点 x答案： （1） y 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，使四边形 OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点 P1，过点 P1 分别作 BP 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A1、B1，使四边形 BA1P1B1 为正方形，则点 P1 的坐标是________。12 x（2）2 9、如图，已知△ OP1A1、△ A1P2A2、△ A2P3A3、…均为等 腰直角三角形， 直角顶点 P1、 P2、 P3、 …在函数 y= （x ＞0）图象上，点 A1、A2、A3、…在 x 轴的正半轴上， 则点 P2010 的横坐标为________________。4 x答案： 5 1 5 -1 2 ，2 7、在反比例函数 y=1 （x＞0）的图象上，有一系列点 xP1、P2、P3、…、Pn，若 P1 的横坐标为 2，且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为 2．现分别过点 P1、P2、P3、…、Pn 作 x 轴与 y 轴的垂线段，构成若干个 长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次 记为 S1、S2、S3、…、Sn，则 S1+S2+S3+…+S2010=________。答案：2 2010 2 2011答案：1 8、如图，四边形 ABCD 为正方形，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，且 OA=2，OB=4，反比例函数 y=k (k≠0)在第 x一象限的图象经过正方形的顶点 D． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移_____个单位长度 时，点 C 恰好落在反比例函数的图象上．

4 8 ，y=- 的图象在第一象限，第 x x 4 二象限如图，点 P1、P2、P3…P2010 在 y= 的图象上，它们 x10、两个反比例函数 y= 的横坐标分别是有这样规律的一行数列 1，3，5，7，9， 11，…，过点 P1、P2、P3、…、P2010 分别作 x 轴的平行线， 与 y=-8 的图象交点依次是 Q1、Q2、Q3、…、Q2010，则点 xQ2010 的横坐标是______________。答案：-803811、如图所示，正方形 OABC，ADEF 的顶点 A，D，C 在 坐标轴上； 点 FAB 上， 点 B， E 在反比例函数 y= （x＞0） 的图象上． （1）正方形 MNPB 中心为原点 O，且 NP∥BM，求正方 形 MNPB 面积． （2）求点 E 的坐标． 答案： （1）正方形 MNPB 面积=4×正方形 OABC 的面积 =4×1×1=4 （2） 13、如图，梯形 AOBC 中，对角线交于点 E，双曲线y=1 xk （k＞0）经过 A、E 两点，若 AC：OB=1：3，梯 x） D、形 AOBC 面积为 24，则 k=（ A、 5 1 5 -1 2 ，2 108 7B、35 2C、65 427 2答案 A12、(2011 十堰）如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交 于点 E，双曲线 y=k （k＞0）经过 A，E 两点，若平行四 x边形 AOBC 的面积为 24，则 k=________。 答案：8

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