朝阳区2011-2012年高三年级第一学期期末统一考试（数学文）

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（文史类） 2012.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合M?{x|x?3},N?{x|log2x?1}，则M?N等于

A．?

C．{x|0?x?3}

B．{x|1?x?3}

（ ）

2 D．{x|2?x?3}

2.已知平面向量a?(3,1)，b?(x,3)，且a⊥b，则实数x的值为 （ ）

A．?9 B．?1 C．1 D．9

2?(x?0)?x3. 函数y??的图象大致是 （ ）

x??2?1(x?0)

4. 设数列?an?是公差不为0的等差数列，a1?1且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn等于 （ ） A．

n28?7n8 B．

n24?7n4 C．

n22?3n4 D．n?n

25.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．1 B．?1 C． ?2 D．0

1

6. 函数f(x)?2x?2x?a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（ ）

A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D． (0,2) 7. 已知函数f(x)?sinx?3cosx，设a?f(?7)，b?f(?6)，c?f(?3)，则a,b,c的大小关系是

（ ）

A. a?b?c B.c?a?b C.b?a?c D.b?c?a

8. 已知集合A?{(x,y)|x?n,y?na?b,n?Z},B?{(x,y)|x?m,y?3m2?12, m?Z}.若存在实数

a,b使得A?B??成立,称点(a,b)为“￡”点，则“￡”点在平面区域C?{(x,y)|x?y?108}内的

22个数是 ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. x?1,??y?x,9. 若变量x，y满足约束条件? 则z?2x?y的最大值为 . ?2x?3y?6,?10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.

11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .

12. 设直线x?my?1?0与圆(x?1)?(y?2)?4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是 .

13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数，x?N）的关系为y??x?18x?25.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.

2

?222频率 组距 004 003 002 001 O 40 50 60 70 80 时速（km/h） 3 32 主视图 2 2 侧视图 2 俯视图

14. 已知两个正数a,b,可按规则c?ab?a?b扩充为一个新数c,在a,b,c三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. （1）若a?1,b?3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；

（2）若p?q?0，经过6次操作后扩充所得的数为(q?1)m(p?1)n?1（m,n为正整数），则m,n的值分别为______________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a?2bsinA?0． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b?????????7，c?2，求AB?AC的值．

16. （本题满分14分）

如图，在四棱锥S?ABCD中，平面SADQ为SB的中点．

（Ⅰ）求证：CD?平面SAD； （Ⅱ）求证：PQ//平面SCD；

?平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且P 为AD的中点，

S

Q

P D B

C

· （Ⅲ）若SA?SD，M为BC中点，在棱SC上是否存在点N，

使得平面DMN⊥平面ABCD，并证明你的结论.

17. （本题满分13分）

A

M

如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为(a,b)（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）． （Ⅰ）请列出一个家庭得分(a,b)的所有情况；

（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得

分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？

2 3 5 5 3 2 A 3

18. （本题满分13分）

设函数f(x)?alnx?ax22?2x,a?R.

（Ⅰ）当a?1时,试求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值; （Ⅱ）当a?0时,试求函数f(x)的单调区间. 19. （本题满分13分）

已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为

12，且过点P(1,)，F为其右焦点.

23

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点A(4,0)的直线l与椭圆相交于M、N两点（点M在A,N两点之间），若△AMF的面积相等，试求直线l的方程. 20. （本题满分14分）

数列{an}，{bn}（n?1,2,3,?）由下列条件确定：①a1?0,b1?0；②当k?2时，ak与bk满足：当

ak?1?bk?12ak?1?bk?12与△MFNak?1?bk?1?0时，ak?ak?1,bk?；当ak?1?bk?1?0时，ak?，bk?bk?1.

（Ⅰ）若a1??1，b1?1，求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式（不需要证明）； （Ⅱ）在数列{bn}中，若b1?b2???bs(s?3,且s?N*)，试用a1,b1表示bk，k?{1,2,?,s}； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列{cn}(n?N*)满足c1?12，cn?0，cn?1??22?mmamcn?cn (其中m为给

2定的不小于2的整数)，求证：当n?m时，恒有cn?1.

4

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（文史类）答案 2012.1

一、选择题： 题号 答案 二、填空题： 题号 （9） 答案 185（1） D （2） B （3） B （4） A （5） D （6） C （7） B （8） A （10） 80 （11） 33 （12） ?33（13） 5 8 255 （14） 8,13 注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.

三、解答题： （15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由3a?2bsinA?0，

根据正弦定理得：

3sinA?2sinBsinA?0.?????????????????????3分

因为sinA?0，所以sinB??332. ??????????????????5分

又B为锐角， 则B?. ???????????????????6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B??3．因为b?27，c?2，

根据余弦定理，得 7?a?4?4acos?3， ??????????????8分

2整理，得a?2a?3?0．由于a?0，得a?3． ???????????10分

于是cosA?b?c?a2bc222?7?4?947?714， ????????????11分

????????????????所以 AB?AC?AB?ACcosA?cbcosA?2?7?714?1． ?????13分

（16）（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD为正方形，则CD又平面SAD?平面ABCD， 且面SAD?面ABCD?AD，

?AD. ???????1分

5

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