高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

抛物线专题复习

知识点梳理： y2?2px (p?0)抛 物 线 l y y2??2px (p?0)y x2?2py (p?0)y F O x l x2??2py (p?0)y O F l O x l x O F x F 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 {MMF =点M到直线l的距离} x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 焦半径 x?0,y?R 关于x轴对称 (p,0) 2关于y轴对称 pp,0) (0,) 22焦点在对称轴上 O(0,0) (?(0,?p) 2e=1 x??p 2x?p 2y??p 2y?p 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p 2p A(x1,y1) AF?x1?p 2AF??x1?p 2AF?y1?p 2AF??y1?p 2焦 点弦 长 ?(x1?x2)?p (y1?y2)?p ?(y1?y2)?p AB (x1?x2)?p 焦点弦 y o A?x1,y1?x B?x2,y2?F AB的几条性质A(x1,y1)B(x2,y2) 以AB为直径的圆必与准线l相切 若AB的倾斜角为?，则AB?2p2pAB? 若的倾斜角为，则 ?ABsin2?cos2?p2x1x2? y1y2??p2 411AF?BFAB2???? AFBFAF?BFAF?BFp切线 y0y?p(x?x0) 方程 一．直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

y0y??p(x?x0) x0x?p(y?y0) x0x??p(y?y0) ，

，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?b 抛物线联立方程法：

，(p?0)

?y?kx?b?k2x2?2(kb?p)x?b2?0 ?2?y?2px设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出

y1?y2?kx1?b?kx2?b?k(x1?x2)?2b，y1y2?(kx1?b)(kx2?b)?k2x1x2?kb(x1?x2)?b2 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB的弦长

AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?1?k2? a或 AB?1?11?22 y?y?1?(y?y)?4yy?1?k121212k2k2a抛物线练习

1、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值

时，点P的坐标为 2、已知点P是抛物线y2?2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为

3、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为

4、设O是坐标原点，F是抛物线y2?2px(p?0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为

60，则OA为

5、抛物线y?4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，

2AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 6、已知抛物线C:y?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK?的面积为

22AF，则?AFKx2y2??1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 7、已知双曲线458、在平面直角坐标系xoy中，有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y?2px(p?0)则该抛物线的方程是 。

9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是

10、抛物线y??x上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是

11、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 12、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线y?2px(p?0)上的两个动点,O是坐标原点,向量

222OA,OB满足OA?OB?OA?OB.设圆C的方程为x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0。

(1) 证明线段AB是圆C的直径;

(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为解： (1)证明:

225时，求p的值。 5OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)2?(OA?OB)2，

222OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB，

整理得: OA?OB?0，?x1?x2?y1?y2?0……(1) 以线段AB为直径的圆的方程为

(x?x1?x22y?y221)?(y?1)?[(x1?x2)2?(y1?y2)2]， 224展开并将(1)代入得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0， 故线段AB是圆C的直径

x1?x2?x???2(2)解: 设圆C的圆心为C(x,y),则?

?y?y1?y2??2x1?x2?(y1?y2)|2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则d?

5|y12y22，又因x1?x2?y1?y2?0，?x1?x2??y1?y2， y?2px1,y2?2px2(p?0)，?x1x2?24p212y12y22，x1?x2?0,?y1?y2?0，?y1?y2??4p2， ??y1?y2?24p1(y12?y22)?(y1?y2)||y12?y22?2y1y2?4p(y1?y2)?8p2|(y1?y2?2p)2?4p24p?d??， ?545p45p|当y1?y2?2p时,d有最小值pp25,由题设得，?p?2. ?555213、已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y?2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点

C为圆心）

（1）求圆C的方程；

（2）设圆M的方程为(x?4?7cos?)?(y?7cos?)?1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线

22PE，PF，切点为E，F，求CE，CF的最大值和最小值．

（1）解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知

22222．又因为y1x12?y12?x2?y2?2x2．即 ?2x1，y2?2x2，可得x12?2x1?x2(x1?x2)(x1?x2?2)?0．由x1?0，x2?0，可知x1?x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴

?3??333?上．设C点的坐标为(r，，于是有r，rr?2?r，解得r?4，所以圆C的0)，则A点坐标为???22???2??2????方程为(x?4)2?y2?16．

（2）解：设?ECF?2a，则CECF?|CE||CF|cos2??16cos2??32cos2??16． 在Rt△PCE中，cos??2x4?，由圆的几何性质得 |PC||PC||PC|≤|MC|?1?7?1?8，|PC|≥|MC|?1?7?1?6，

所以

121616≤cos?≤，由此可得?8≤CECF≤?．则CECF的最大值为?，最小值为?8． 2399l y F 14、如图，已知点F(1，0)，直线l:x??1，P为平面上的动点， 过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQF?FPFQ． （1）求动点P的轨迹C的方程；

O 1 x （2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知MA??1AF，?1MB??2BF，求?1??2的值；

解：（1）设点P(x，y)，则Q(?1，y)，由QPQF?FPFQ得：

(x?1，0)(2，?y)?(x?1，y)(?2，y)，化简得C:y2?4x．

（2）设直线AB的方程为x?my?1(m?0)．

Q y P B O A M F x 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M??1，???2??， m?联立方程组??y?4x，2?x?my?1，，消去x得：

y2?4my?4?0，??(?4m)2?12?0，故

?y1?y2?4m， ?yy??4．?12由MA??1AF，MB??2BF得：

y1?22???1y1，y2????2y2，整理得： mm2?11?24m222y1?y2??????2???0． ??2?，?2??1?，?1??1???2???12m?y1y2?m?4my1my2my1y2

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