2013山东高考数学试卷及答案详解（理科）WORD版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)+P(B)； 如果事件A、B独立，那么P(AB)?P(A)?P(B)。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。 1、复数z满组(z?3)(2?i)?5（z为虚数单位），则z的共轭复数z为

(A) 2?i (B) 2?i (C) 5?i (D) 5?i

2、已知集合A??0,1,2?，则集合B?x?yx?A,y?A中元素的个数是

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9

3、已知函数f(x)为奇函数，且当x?0时，f(x)?x2?(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

??1,则f(?1)? x9，底面是边长为3的正三角形，若P为4底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 (A)

5???? (B) (C) (D) 123465、将函数y?sin(2x??)的图象沿x轴向左平移可能取值为

?个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个8(A)

3??? (B) (C) 0 (D) ? 444?2x?y?2?0，?6、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组?x?2y?1?0,所表示的区域上一动点，则直线OM

?3x?y?8?0?的斜率的最小值为

11 (D) ? 327、给定两个命题p,q.若?p是q的必要不充分条件，则p是?q的

(A) 2 (B) 1 (C) ? (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

8、函数y?xcosx?sinx的图象大致为

yyyyxxOOO

(A) (B) (C) (D) O?x ???x 9、过点(3,1)作圆(x?1)?y?1的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为

(A) 2x?y?3?0 (B) 2x?y?3?0 (C) 4x?y?3?0 (D) 4x?y?3?0

10、用0，1，?，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279

22x21211、抛物线C1:y?x(p?0)的焦点与双曲线C2:?y2?1的右焦点的连线交C1于第一象限的

32p点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p?

(A)

332343 (B) (C) (D) 168332212、设正实数x,y,z满足x?3xy?4y?z?0.则当

xy212取得最大值时，??的最大值为

xyzz(A) 0 (B) 1 (C)

9 (D) 3 4第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13、执行右图所示的程序框图，若输入c的值为0.25，

则输出的n的值为 _______. 14、在区间[-3,3]上随机取一个数x，

使得x?1?x?2?1成立的概率为______.

开 始 输入?(??0) F0?1,F1?2,n?1????????015、已知向量AB与AC的夹角为120，

????????????????????且AB?3,AC?2.若AP??AB?AC， ????????且AP?BC，则实数?的值为____________.

16、定义“正对数”：lnx???F1?F0?F1F0?F1?F0??0,?lnx,b0?x?1,x?1.? 现有四个命题：

n?n?1 ①若a?0,b?0，则ln(a)?blna； ②若a?0,b?0，则ln(ab)?lna?lnb； ③若a?0,b?0，则ln()?lna?lnb； ④若a?0,b?0，则ln(a?b)?lna?lnb?ln2. 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17、（本小题满分12分）

???????ab??1?? F1是 输出n 否 结 束 设?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a?c?6,b?2,cosB? （Ⅰ）求a,c的值； （Ⅱ）求sin(A?B)的值. 18、（本小题满分12分）

如图所示，在三棱锥P?ABQ中，PB?平面ABQ，

E P 7.. 9F H G B C D Q BA?BP?BQ，D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP

的中点，AQ?2BD，PD与EQ交于点G，

A PC与FQ交于点H，连接GH.

（Ⅰ）求证：AB//GH；

（Ⅱ）求二面角D?GH?E的余弦值。

19、（本小题满分12分）

甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜

的概率是

12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。 23 （Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；

（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利

方得2分、对方得1分。求乙队得分X的分布列和数学期望。

20、（本小题满分12分） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，且S4?4S2,a2n?2an?1.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn?数列{cn}的前n项和Rn。

21、（本小题满分13分） 设函数f(x)?an?1。令cn?2b2n,(n?N*)，求??（?为常数）n2x?c（e?2.71828…是自然对数的底数，c?R） 2xe（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值；

（Ⅱ）讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数。

22、（本小题满分13分）

3x2y2 椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1,F2，离心率为，过F1且垂直于x轴

2ab的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2。设?F1PF2的角平分线PM交C

的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点。

设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k?0，试证明值.

11?为定值，并求出这个定kk1kk2

理科数学试题参考答案

一、选择题

DCABB CADAB DB 二、填空题

3 三、解答题

17、（Ⅰ）由余弦定理 b?a?c?2accosB， 得 b?(a?c)?2ac(1?cosB)， 又b?2,a?c?6,cosB? 所以 ac?9， 解得 a?3,c?3.

2217 ①③④ 3122227， 9 （Ⅱ）在 ?ABC中， sinB?1?cosB?242， 9 由正弦定理得 sinA?asinB22?， b3 因为 a?c， 所以 A为锐角. 所以cosA?1?sinA?21， 3102 27 因此 sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?18、（Ⅰ）证明：因为 D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点， 所以 EF//AB,DC//AB， 所以 EF//DC，

又 EF?平面PCD,DC?平面PCD， 所以 EF//平面PCD，

又 EF?平面EFQ,平面EFQ?平面PCD=GH，

g(x)??lnx?xe?2x?c??lnx?(e?1?c)??lnx?1?c， 要使g(x)?0，只需使?lnx?1?c?0，即 x?(0e,所以 c?e时，g(x)有两个零点， 故关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为2. 综上所述，

?2当c??e时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为0； ?2当c??e时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为1； ?2当c??e时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为2.

?2?1?c12；)

b2x2y2 22、解:（Ⅰ）由于c?a?b，将x??c代入椭圆方程2?2?1，得y??，

aab2222b2 由题意知?1，即a?2b2.

a 又e?c3?，所以a?2,b?1. a2x2 所以 椭圆C的方程为?y2?1

4 （Ⅱ）解法一：

设P(x0,y0)(y0?0). 又 F1(?3,0),F2(3,0)， 所以直线PF1,PF2的方程分别为:

lPF1:y0x?(x0?3)y?3y0?0,lPF2:y0x?(x0?3)y?3y0?0.由题意知

my0?3y0y0?(x0?3)22?my0?3y0y0?(x0?3)22，

由于点P在椭圆上，

x02所以?y02?14

所以m?3(3x0?2)22?(m?33x0?2)22 因为?3?m?3,?2?x0?2， 可得m?33?m. ?33x0?22?x022所以m?因此?3x0. 433?m?. 22解法二： 设P(x0,y0)， 当0?x0?2时， ① 当x0?113时，直线PF2的斜率不存在，易知P(3,)或P(3,?).

221若P(3,)，则直线PF1的方程为x?43y?3?0.

2由题意得m?37?3?m，

因为?3?m?3，

所以m?33. 4若P(3,?),同理可得m?② 当x0?1233. 43时，

设直线PF1,PF2的方程分别为 y?k1(x?3),y?k2(x?3)， 由题意知

mk1?3k11?k21?mk2?3k21?k22，

12(m?3)2k1所以 ， ?21(m?3)1?k221?x02因为 ?y02?1

4并且 k1?y0x0?3?,k2?y0x0?3，

所以(m?3)2(m?3)24(x0?3)2?4?x024(x0?3)2?4?x023x0?43x0?4.

(3x0?4)2?? ， 22(3x?4)3x0?83x0?1603x02?83x0?16即

m?3?m?3因为 ?3?m?3,0?x0?2且x0?所以

3 x03+m4+3=. 3-m4?3x0整理得 m?3x0， 4故 0?m?333且m?. 24综合①②可得 0?m?3. 23?m?0. 233综上所述，m的取值范围是 (?,).

22当-2?x0?0时，同理可得 ?（Ⅲ）设P(x0,y0)(y0?0)，则直线l的方程为y?y0?k(x?x0)，

?x22?+y=1 联立 ?4

?y?y?k(x?x)00? 整理得 (1?4k)x?8(ky0?kx0)x?4(y0?2kx0y0?kx0?1)?0 由题意 ??0， 即 (4?x022)k2?2xyk?1?y? 0000222222x02 又 ?y02?1

4k 所以 16y0k?8x0y0? 故 k?2220x? 0x0， 4y011x0?3x0????k1k2y0y30 由（Ⅱ）知 ?2x0， y0 所以

4y2x11111??(?)?(?0)0??8， kk1kk2kk1k2x0y0 因此

11为定值，这个定值为?8. ?kk1kk2

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