【推荐精选】2018-2019版高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式学案 新

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推荐精选K12资料第1课时排列与排列数公式

学习目标 1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．

知识点一排列的定义

从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．

思考让你安排这项活动需要分几步？

答案分两步．第1步确定上午的同学；

第2步确定下午的同学．

梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．

知识点二排列数及排列数公式

思考从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？

答案4×3×2＝24(个)．

梳理

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1．a ，b ，c 与b ，a ，c 是同一个排列．( × )

2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √ )

3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( × )

4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ×

)

类型一 排列的概念

例1 判断下列问题是否为排列问题：

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

(3)选2个小组去种菜；

(4)选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互通信．

考点 排列的概念

题点 排列的判断

解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．

(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．

(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．

所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．

反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路

跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题．

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又

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推荐精选K12资料 有多少种方法？

(2)从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭

圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2

b 2＝1? (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？

考点 排列的概念

题点 排列的判断

解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．

若方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小关系一定； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a >b 还是a <b ，方程x 2a 2－y 2

b 2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．

(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．

类型二 排列的列举问题

例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？

(2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列．

考点 排列的概念

题点 列举所有排列

解 (1)由题意作“树状图”，如下．

故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．

(2)由题意作“树状图”，如下．

故所有的排列为abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb .

反思与感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略

(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．

(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，

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推荐精选K12资料 再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．

跟踪训练2 写出A ，B ，C ，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法． 考点 排列的概念

题点 列举所有排列

解 由题意作“树状图”，如下，

故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB .

类型三 排列数公式及应用

例3 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且，n <55)；

(2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59

； (3)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n .

考点 排列数公式

题点 利用排列数公式计算

(1)解 因为55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)元素，

所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .

(2)解 2A 58＋7A 48A 88－A 59

＝

2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×(8＋7)8×7×6×5×(24－9)

＝1. (3)证明 方法一 因为A m n ＋1－A m n

＝

(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！ ＝

n ！(n －m )！·? ????n ＋1n ＋1－m －1 ＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m

＝m ·n ！(n ＋1－m )！

＝m A m －1n ， 所以A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n .

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方法二 A m n ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A m n 个． 含有a 1的可这样进行排列：

先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n 种排法．

故A m n ＋1＝m A m －1n ＋A m n ，

所以m A m －1n ＝A m n ＋1－A m n .

反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法

排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．

跟踪训练3 不等式A x 8<6A x －28的解集为( )

A ．[2,8]

B ．[2,6]

C ．(7,12)

D ．{8}

考点 排列数公式

题点 解含有排列数的方程或不等式

答案 D

解析 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！

， 化简得x 2－19x ＋84<0，

解得7<x <12，①

又?????

x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，② 由①②及x ∈N *，得x ＝

8.

1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )

A ．1

B ．3

C ．2

D ．4

考点 排列的概念

题点 排列的判断

答案 C

解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．

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推荐精选K12资料 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )

A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B ．甲乙，丙乙、丙甲

C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙

D ．甲乙，甲丙，乙丙

考点 排列的概念

题点 列举所有排列

答案 C

3．(x －3)(x －4)(x －5)…(x －12)(x －13)，x ∈N *，x >13可表示为( )

A ．A 10x －3

B ．A 11x －3

C ．A 10x －13

D ．A 11x －13

考点 排列数公式

题点 利用排列数公式计算

答案 B

解析 从(x －3)，(x －4)，…到(x －13)共(x －3)－(x －13)＋1＝11(个)数，所以根据排列数公式知(x －3)(x －4)(x －5)…(x －12)(x －13)＝A 11x －3.

4．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为( )

A ．5

B ．10

C ．15

D ．20

考点 排列的应用

题点 无限制条件的排列问题

答案 D

5．解方程A 42x ＋1＝140A 3x .

考点 排列数公式

题点 解含有排列数的方程或不等式

解 根据题意，原方程等价于????? 2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)，

即????? x ≥3，x ∈N *，

(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，

整理得4x 2－35x ＋69＝0(x ≥3，x ∈N *

)， 解得x ＝3? ??

??x ＝234?N *，舍去

.

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推荐精选K12资料 1．判断一个问题是否是排列问题的思路

排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．

2．关于排列数的两个公式

(1)排列数的第一个公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)适用m 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n 起连续写出m 个数的乘积即可．

(2)排列数的第二个公式A m n ＝n ！(n －m )！

用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n ，m ∈N *，m ≤n ”的运用．

一、选择题

1．A m 12＝9×10×11×12，则m 等于( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

考点 排列数公式

题点 利用排列数公式计算

答案 B

2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

考点 排列的概念

题点 排列的判断

答案 B

解析 由排列的定义知①④是排列问题．

3．与A 310·A 77不相等的是( )

A ．A 910

B ．81A 88

C ．10A 99

D ．A 1010

考点 排列数公式

题点 利用排列数公式证明

答案 B

解析 A 310·A 77＝10×9×8×7！＝A 910＝10A 99＝A 1010，81A 88＝9A 99≠A 1010，故选B.

4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )

A ．6

B ．4

C ．8

D ．10

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推荐精选K12资料 考点 排列的概念

题点 列举所有排列

答案 B

解析 列树状图如下：

丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲

故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．

5．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有( )

A ．6个

B ．10个

C ．12个

D ．16个

考点 排列的应用

题点 无限制条件的排列问题

答案 C

解析 不同结果有A 24＝4×3＝12(个)．

6．下列各式中与排列数A m n 相等的是( )

A.n ！(n －m ＋1)！ B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )

C.n A m n －1n －m ＋1

D ．A 1n A m －1n －1 考点 排列数公式

题点 利用排列数公式证明

答案 D

解析 A m n ＝

n ！(n －m )！，而A 1n A m －1n －1＝n ×(n －1)！(n －m )！＝n ！(n －m )！， ∴A 1n A m －1n －1＝A m n .

7．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )

A ．6

B ．9

C ．12

D ．24

考点 排列的概念

题点 列举所有排列

答案 B

解析 这四位数列举为如下：

1 012,1 021,1 102,1 120,1 201，

1 210,

2 011,2 101,2 110，共9个．

二、填空题

8．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．

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题点 列举所有排列

答案 12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed

解析 画出树状图如下：

可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .

9．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *

}，则集合P 中共有________个元素．

考点 排列数公式

题点 利用排列数公式计算

答案 3

解析 由题意知，m ＝1,2,3,4，由A 34＝A 44，故集合P 中共有3个元素．

10．满足不等式A 7n A 5n

>12的n 的最小值为________． 考点 排列数公式

题点 解含有排列数的方程或不等式

答案 10 解析 A 7

n A 5n ＝n ！

(n －7)！n ！(n －5)！＝(n －5)！(n －7)！

>12，得(n －5)(n －6)>12， 解得 n >9或n <2(舍去)．∴最小正整数n 的值为10.

11．2017北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为________．

考点 排列的应用

题点 无限制条件的排列问题

答案 60

解析 由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．

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12．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.

考点排列的应用

题点无限制条件的排列问题

答案 2

解析当x≠0时，有A44＝24(个)四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，

故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2；

当x＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合题意，

综上可知，x＝2.

三、解答题

13．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？

考点排列的应用

题点无限制条件的排列问题

解由题意可得A2n＋2－A2n＝58，

即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，

解得n＝14.

所以原有车站14个，现有车站16个．

四、探究与拓展

14．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数字是( )

A．8 B．5 C．3 D．0

考点排列数公式

题点利用排列数公式计算

答案 C

解析1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！， (100)

＝100×99×…×6×5！，所以从5！开始到100！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3. 15．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？

考点排列的应用

题点无限制条件的排列问题

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解对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．

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