2011年03月10日2243154315数形结合思想在中学数学

数形结合思想在中学数学中的应用

摘 要：数形结合方法是高中数学中的常见和一个很有效的方法，这种解题方法使用适当可以事半功倍，而且可以培养学生的思维能力，是学生综合使用所学的知识，这种类型的题目在历年高考试题中经常出现，那么如何在平时有针对性的培养学生这方面的能力是一个很有意义的问题，对这方面的探讨也有很多的实际意义。笔者就近几年的高中数学教学结合近几年的高考对这种数学思想方法的应用作一些分析，仅供各位同仁参考：

关键词：数形结合、教学渗透、引导运用、提升能力

一、数形结合思想方法在高中数学中具有怎样的地位和意义

1、数学思维能力是学生分析数学问题和解决数学问题的重要基础，而数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2、实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构有明显的几何意义。如等式：x2+y2=1表示一个单位圆。

3、纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结构的思想方法解决一些抽象的问题，可以起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4、数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、高考对于数形结合这一数学思想是如何考查的

函数的图像是函数的一种直观表示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量

1

之间的对应关系；通过观察函数的图像，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律；借助函数的图像，既有助于记忆函数的有关性质和变化规律，又有助于研究函数的性质，以及利用数形结合的方法去解决某些问题；高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。利用函数图像，可以很方便地研究函数的几何性质，如单调性，周期性，奇偶性，最值，零点，值域及定义域，对称性等。以下是一些和考点与典型例题，作简要分析，有助于我们在教学中把握教学的深浅度。

考点一：集合

例1：（2010年高考辽宁卷理1）已知A，B均为集合U={1，3，7，9}的子集，且A∩B={3}，CUB∩A={9}，则A=（ ）

（A）{1，3} (B){3，7，9} (C){3，5，9} (D){3，9} 解析：因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为CUB∩A={9}，所以9∈A，故选D。本题也可以用Venn图的方法来解，如下图：

由图易知A={3，9}。

考点二：利用三角函数图像求方程的根的个数

例2：方程sin2x=sinx在区间（0，2?）内解的个数是 3 。

分析：在同一平面坐标系内分别画出y=sin2x和y=sinx（0，2?）内的图像，观察交点的个数就得到解的个数。

2

解析：由图可知，在区间（0，2?）内y=sin2x和y=sinx图像有3个交点，即方程在区间（0，2?）内有3个解。

考点三：考查函数的图像

例3：（2010年山东省高考题11）函数y=2x-x2 的大致图像是（ ）

3

解析：由于2x-x2=0在x<0时有一解；在x>0时有两解，分别为x=2和x=4。因此函数y=2x-x2有三个零点，故应排除B、D，又当x→-∞时，2x→0，而x2→+∞，故y=2x-x2→-∞，因此排除D，故选A。

本题以函数的图像为载体考查指数函数y=2x和二次函数y=x2的图像及性质，考查了函数的零点知识以及抽象概括能力和应用意识。求解本题的关键是能判断出在x>0时，y=2x和y=x2有两个交点。

考点四：利用图像解分段函数及不等式综合题

?x2?1,x?0例4：（2010年高考江苏卷11）已知函数f(x)??,则满足不等式

?1,x?0f(1?x2)?f(2x)的x的范围是__ ___。 解析：方法一：分类讨论 当x=-1时，无解。

当-10，f(1?x2)?f(2x)化为（1-x2）2+1>1，恒成立。

2 当00，f(1?x2)?f(2x)化为（1-x2）+1>(2x) 2+1，

即1-x2>2x，（x+1）2<2，所以0

当1-x2<0时，无解。

综上知-1

4

?x2?1,x?0解析：作出函数f(x)??的图像如下：

?1,x?0

结合分段函数的图形易知： 1-x2>0且有1-x2>2x，从而很容易解得x的范围是：（-1，2-1）。

考点五：求距离

例5（2010年高考辽宁卷7）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上的一点，PA⊥L，A为垂足，如果直线AF的斜率为-3，那么│PF│=（ ） A、43 B、8 C、83 D、16 解析：如图所示，

5

直线AF的方程为y=-3(x-2),与准线方程x=-2联立得A（-2，43）。设P（x0，yO）,代入抛物线方程y2=8x，得8x0=48，所以x0=6，所以│PF│= x0 +2=8，选B。 本题考查了抛物线的的几何性质，考查运算求解能力和数形结合思想，难度适中。 又如例6：直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的相邻两点之间的距离是 。

解析：由正切曲线的图像可知，直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的相邻两点之间的距离恰好就是函数y=tanωx (ω>0)的最小正周期，即T=

?。 ?6

点评：一般地，直线y=m（m为常数）与正切曲线y=tanωx(ω>0)的图像相交的相邻交点之间的距离为函数y=tanωx (ω>0)的最小正周期 考点六：线性规划求最值

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题，它较好地演绎了数形结合这一重要的数学思想，成为最近几年每年高考的必考内容之一。

例7（2010年高考福建卷文5）

?x?1??x-2y+3?0?y?x?设x,y?R,且( )

,则z=x+2y的最小值等于

A.2 B.3 C.5 D.9 【答案】B

【解析】画出不等式表示的平面区域如图阴影所示， 当直线z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取得最小 值3，故选B。

【命题意图】本题考查不等式中的线性规划，在线性约束条件下求目标函数的最值问题，考查学生数形结合的数学思想。

考点七：函数图像的奇偶性（对称性）

4x?1f?x??x2的图象 例8（2010年高考重庆卷理5）函数

A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 【答案】D

4?x?11?4xf(?x)???f(x)?xx22解析： ?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称

对对称函数的作图，可以先作出部分图像，然后利用对称性作出对称部分的图像。基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。

7

考点八：图像的平移

y?sin(2x?)3的图像，只需把函数例9（2010年全国Ⅱ卷理7）为了得到函数y?sin(2x?)6的图像[来源:学科网]

????（A）向左平移4个长度单位 （B）向右平移4个长度单位 ??（C）向左平移2个长度单位 （D）向右平移2个长度单位 【答案】B

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

y?sin(2x??【解析】

)sin2(x?)y?sin(2x?)?sin2(x?)6=12，3=6，所以将

???y?sin(2x????y?sin(2x?)6的图像向右平移4个长度单位得到3的图像，故选

)B.

例10（2010年天津卷文8）

??5??右图是函数y?Asin（?x+?）（x?R）在区间?-，?上的图象，?66?为了得到这个函数的图象，只要将y?sinx（x?R）的图象 上所有的点

?(A)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到

1原来的2倍，纵坐标不变

?(B) 向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

8

?1(C) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变

?(D) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A

2?【解析】由给出的三角函数图象知，A=1，???，解得??2，又

2?(??6)+??0，

所以

???y?sin(2x+)3，即原函数解析式为3，所以只要将y?sinx（x?R）的

??图象上所有的点先向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1?y?sin(2x+)2倍，纵坐标不变即可得到函数3的图象，选A。

【命题意图】本题考查正弦型三角函数的图象变换、考查正弦型三角函数解析式的求法，考查识图能力。

考点九：求解三角函数解析式

y?sin??x???(??0,???例11（2010年高考重庆卷理6）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则

)2

??A. ?=1 ?= 6 B. ?=1 ?=- 6 ??C. ?=2 ?= 6 D. ?=2 ?= -6 【答案】D

解析：?T?????2

2?

?3 由五点作图法知

?????2，?= -6.

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考点十：求作函数的图像 例12 作函数y=x2－2x+3的图像。

【分析】这是一条开口向上的抛物线，所以要画出其图像，只需确定其最低点、与坐标轴交点及对称轴即可。

【解答】由y=x2－2x+3=（x－1）2+2，故该函数的对称轴方程为x=1，最低点坐标为P（1，2），与y轴交点为M（0，3）在坐标系中画出图像如下：

【点评】对一次函数、二次函数、反比例函数等大家都比较熟悉的简单函数的作图，我们均可采用特征值作图法，由最值点、零点、与y 轴交点、对称轴等特征值确定图像的大致位置和形状。

利用函数图像进行数形结合的思想方法解题，将代数问题转化为平面解析几何问题处理，同样也可以提高解题效率。如：

考点十一：求解圆锥曲线

3)，例13（2010年高考福建卷理17）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，0)为其右焦点。 且点F(2，（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与

l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

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【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

x2y2?2?1(a>0,b>0)2ab【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点

为

?c=2?c=2??2a=|AF|+|AF'|=3+5=8?F（-2，0），从而有，解得?a=4，

x2y2??12222a=b+cb?121612又，所以，故椭圆C的方程为。 3y=x+t（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2，

?3y=x+t??2?22?x+y=1?1612得3x2+3tx+t2-12=0， 由?22??（3t)-4?3(t-12)?0，解得l因为直线与椭圆有公共点，所以有

?43?t?43，

|t|=49?1另一方面，由直线OA与l的距离4可得：4，从而t=?213，

由于?213?[?43,43]，所以符合题意的直线l不存在。

考点十二：利用数形结合解含绝对值不等式 例14（2010年高考陕西卷理15A）不等式【答案】

x?3?x?2?3的解集为 .

?xx?1?[来源:学科网]

【解析】（方法一）当x??3时，∵原不等式即为??x?3???x?2??3??5?3，这显然不可能，∴x??3不适合.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

当?3?x?2时，∵原不等式即为?x?3???x?2??3?x?1，又?3?x?2，∴

1?x?2适合.

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当x?2时，∵原不等式即为?x?3???x?2??3?5?3，这显然恒成立，∴x?2适合.

故综上知，不等式的解集为（方法二）设函数学科网ZXXK]

??5,x??3,?f?x???2x?1,?3?x?2,?5,x?2,??x1?x?2或x?2?，即?xx?1?.

，则[来源:f?x??x?3?x?2∵

∴作函数f?x?

的图象，如图所示，并作直线y?3与之交于点A. 又令2x?1?3，则x?1，即点A的横坐标为1. 故结合图形知，不等式的解集为

考点十三：求参数

1???1a,a2???2y?x?处的切线与两个例15（2010年高考全国Ⅱ卷理10）若曲线在点??xx?1?. 坐标围成的三角形的面积为18，则a?

（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..[来源:学|科|网Z|X|X|K]

1?1?31?31?3222y'??x,?k??ay?a??a2(x?a)222【解析】，切线方程是，令x?0，1?3?113y?a2s??3a?a2?18222，令y?0，x?3a，∴三角形的面积是，解得

a?64.故选A.

2y?x?ax?b在点(0,b)处的切线方程例14（2010年高考全国Ⅱ卷文7）若曲线

是x?y?1?0，则

（A）a?1,b?1 (B) a??1,b?1

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(C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1

【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵

y??2x?ax?0?a，∴ a?1，(0,b)在切线x?y?1?0，∴ b?1[来源:学,科,网 考点十四：数列

例16（2010年高考安徽卷文21）设C1,C2,?,Cn,?是坐标平面上的一列圆，它

y?3x3相切，

们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线

对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn?1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列. (Ⅰ)证明：{rn}为等比数列；

n{}（Ⅱ）设r1?1，求数列rn的前n项和.

【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.

【解题思路】（1）求直线倾斜角的正弦，设Cn的圆心为(?n,0)，得?n?2rn，同理得?n?1?2rn?1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{rn}中rn?1与rn的关系，证明{rn}为等比数列；（2）利用（1）的结论求{rn}n的通项公式，代入数列rn，然后用错位相减法求和.解题过程略。

【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项an与an?1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和Sn乘以公比，然后错位相减解决.

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考点十五：直线和圆的位置关系

22y?kx?3(x?3)?(y?2)?4相交于M，N两点，例17（江西卷理8）直线与圆

若|MN|≥23，则k的取值范围是

3333[?,0](??,?]?[0,??)[?,]4433 A． B． C．

2[?,0]D．3

【答案】A

【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.

解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当

3[?,0]|MN|?23时，由点到直线距离公式，解得4；

解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取??，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A [

三、新课程教材中数形结合思想在各个章节中是如何体现的？

1、必修1中的集合与函数

解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例如：高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另有5人两项竞赛都不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的人数为 。 解决函数和函数与方程问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。例如：用数形结合思想讨论关于x的方程x2?6x?8?a（其中已知a?R）的实数解的个数。

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2、必修2中的解析几何

对于解析几何，其基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 3、必修3中的几何概型

几何概型是高中数学新课程的新增内容之一，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限到无限的延伸。那么如何利用数形结合思想来解决几何概型问题呢？结合本人的教学实践，浅谈一点对此的肤浅认识，以苏教版必修3第102页例3为例：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。

解析：记“AM

P（E）=P（AM

AC'AC2 ==。ABAB2

此题体现了由“形”→“数”。 4、必修4中的三角函数

解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 5、必修4中的向量

向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁和工具，在解决实际问题中有广泛的应用。“平面向量”是高中数学新课程的重要内容。向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量由大小和

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方向两个因素决定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集形与数于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。教材中配备了大量的几何图形，一方面加强几何直观，强调向量的概念的几何背景以及向量运算的几何意义，另一方面突出数形结合、形数转化。教材在规定了向量运算的有关法则之后，将平面向量与直角坐标系联系起来，其中包括向量运算的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的坐标表示等，使向量运算完全代数化，使数与形紧密结合起来，同时也为研究和解决几何问题又→提供了两种方法——向量法与坐标法。例如：已知向量→a＝(cosα, sinα)，b＝(3，-1)，则︱2→a-→b︱的最大值，最小值分别是（ ）

A、42，0； B、4，42； C、16，0； D、4，0

分析：由于向量既有代数的计算，又有几何意义，因此本题可以利用模的运算公式把︱2→a-→b︱的表达式求出来，再根据函数的最值的求法得到︱2→a-→b︱的最大值，最小值；同时可以根据其几何意义，很容易从图形中找到答案。 6、必修5中的不等关系和简单线性规划

在必修5中的不等关系中，对不等式a?b?2ab的理解也可以从以下几方面理解：

（1）从“数”的角度来理解：①两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均数。②两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 （2）从“形”的角度理解定理：

CD2?CA?CB

CD?ab CD≤圆的半径。 ∴ab?

a?b。 216

即圆内的半弦长小于等于的半径。

对于线性规划则体现了“数”与“形”的完美结合。例如：设变量x、y满

?y?1,??x?y?0,?x?y?2?0,?足约束条件

则z?x?2y的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析：在直角坐标系中画出可行域（如下图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为zmax?1?2?(?1)?3.故选B。解题中既考查了 “数”，也考查了 “形”。

y y?x

x?y?0 A l0:x?2y?01 O A 2 x x?y?2?0 ?2 四、在高中数学教学中如何实施数形结合思想方法的渗透

灵活、深刻的思维对于快速、准确的解题是十分重要的，数学教学不能一味的让学生埋头做题，关键是要教数学的思考，教学生寻找解决问题的思路和方法。针对于教材中大量的数形结合思想，要想提升学生运用数形结合思想的能力，则需要我们教师在日常的教学中耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。

简而言之，数形结合思想就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。 1、以“数”化“形”

由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”

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具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。 2、以“形”变“数”

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。 3、“形”“数”互变

“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”

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变“数”的结合。

注：以上必修*和选修*均为苏教版高中教材

参考文献：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/65oo.html