(甘志国)先解决一个问题,再解决一串问题

先解决一个问题，再解决一串问题

甘志国(该文已发表 数学教学，2012(9)：35-37)

两条异面直线所成的角是锐角或直角.本文中还规定：两条相交直线所成的角指它们相

交所成的四个角中的较小者，所以也是锐角或直角；当两条直线平行或重合时，它们所成的

角是0 .所以空间两直线(包括重合的情形)所成角的范围是[0 ,90 ].空间的一条直线与一个

平面所成角的范围也是[0 ,90 ].本文中又规定：两个相交平面所成的角指它们相交所成的

四个二面角中的较小者，所以也是锐角或直角，两个相交平面所成角的范围是(0 ,90 ].

问题1 若直线a,b成 角( 是定值，有0 90 )，则过空间一定点P与a,b均

成 (0 90 )角的直线有且仅有几条？

图1

答案 可不妨设a b O，这是不会影响本题的答案的.如图1，设过点O的直线l 与

a,b均成 角，又过点P作直线l//l (则l存在且唯一)，则l与a,b也均成 角，所以问题

1等价于“过点O与a,b均成 角的直线l 有且仅有几条”.又设a,b所成的角及其补角的平

分线所在的直线分别为m,n(有m n).得问题1的答案是：

(1)当0 90 时： ①又0

②又

③又 2时，所求的直线为0条； 2，所求的直线为1条，即a,b所成锐角的角平分线所在的直线；

2 90

为m， l Om arccos2cos 时，所求的直线为2条，且它们在a,b确定的平面 内的射影均

cos

④又 90 2；

2时，所求的直线为3条，且其中2条在a,b确定的平面 内的射影均

为m， l Om arccoscos

cos2，另一条就是n； ⑤又90

2 90 时，所求的直线为4条，且其中2条在a,b确定的平面 内的

射影均为m， l Om arccoscos

cos2，另2条在a,b确定的平面 内的射影均为n，

l On arccoscos

sin2；

⑥又 90 时，所求的直线为1条，即 的过点O的垂线.

(2)当 90 时：

①又0 45 时，所求的直线为0条；

②又 45 ，所求的直线为2条，即m,n；

③又45 90 时，所求的直线为4条，且其中2条在a,b确定的平面 内的射影

均为m

， l Om )，另2条在a,b确定的平面 内的射影均为n

，

l On )；

④又 90 时，所求的直线为1条，即 的过点O的垂线.

证明 由全日制普通高级中学教科书(必修)《数学·第二册(下B)》(2006年人民教育出

版社，第2版)(下简称《教科书第二册(下B)》)第28页第6题“从一个角的顶点引这个角

所在平面的斜射线，设它和已知角两边的夹角为锐角且相等，求证这条斜射线在平面内的射

影是这个角的平分线”的结论知，l 在 内的射影为m或n(包括l 的情形).

若过点O的直线l 在 内的射影为m，由《教科书第二册(下B)》)第48页的公式

“cos cos 1cos 2”，得cos l Om cos mOa cos l Oa(当Ol 与Om重合时也成

立). 又 mOa

2(定值)，所以 l Oa随 l Om的增大而增大，且 l Oa

2(当且仅当

Ol 与Om重合时取等号). 并注意

2 90

2，可得欲证成立.

问题1是一个常见问题，高中师生应当都很清楚.下面由这个问题的解决再来解决下面

的一串问题.

问题2 若直线a,b成 角( 是定值，有0 90 )，则过空间一定点P与a,b均

成90 (0 90 90 )角的平面有且仅有几个？

解 因为直线l与平面 成 角 直线l与平面 的垂线成90 角，又过定点P的

直线l的垂面是唯一确定的，所以问题2与问题1是等价的，得问题1的答案中关于直线条

数的结论就是问题2中关于平面个数的答案.

问题3 若相交平面 , 成 角( 是定值，有0 90 )，则过空间一定点P与

, 均成90 (0 90 90 )角的直线有且仅有几条？

解 因为平面 , 成 角 平面 , 的垂线成 角，直线l与平面 成 角 直线

l与平面 的垂线成90 角，所以问题3与问题1是等价的，所以两者答案也一致.

问题4 若相交平面 , 成 角( 是定值，有0 90 )，则过空间一定点P与

, 均成 (0 90 )角的平面有且仅有几个？

解 可得问题4与问题3是等价的，因而两者答案一致.

问题5 若直线a与平面 成90 角(90 是定值，0 90 90 )，则过空

间一定点P与a, 分别成 ,90 (0 90 )角的直线有且仅有几条？

解 因为直线a与平面 成90 角 直线a平面 的垂线成 角，直线l与平面

成90 角 直线l与平面 的垂线成 角，所以问题5与问题1是等价的，得问题1

的答案中关于直线条数的结论就是问题2中关于平面个数的结论.

问题6 若直线a与平面 成90 角(90 是定值，0 90 90 )，则过空

间一定点P与a, 分别成90 , (0 90 )角的平面有且仅有几个？

解 可得问题6与问题5是等价的，因而两者答案一致.

高考题1 (2004·湖北·理·11)已知平面 与 所成的锐二面角为80 ，P为 , 外

一定点，过点P的一条直线与 , 所成的角都是30 ，则这样的直线有且仅有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解 D.在问题3的答案(1)②中选 =80 , 30 后立得答案.

高考题2 (2009·重庆·理·9)已知二面角 l 的大小为50 ，P为空间中任意

一点，则过点P且与平面 和平面面 所所成的角都是25 的直线的条数为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

解 B.在问题3的答案(1)③中选 =50 , 25 后立得答案.

自主招生题 (2011·华约·6)已知异面直线a,b成60°角，A为空间一点，则过A与

a,b都成45°角的平面( )

A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个

解 B.在问题2的答案(1)④中选 =60 , 45 后立得答案.

最后，我们再来看一个问题(当然，读者还可把它转化成其他一些问题)：

问题7 如图2，点O 平面 ，l是空间的一条定直线，l与 成 角( 是定值，有

0 90 ).在 内过点O与l成 (0 90 )角的直线有且仅有几条？

图2

答案 如图2，过点O作直线l //l，得l 与其在 内的射影m成 角.

(1)当 =0 时：

①又 =0 或90 时，所求的直线为1条，分别为l 及l 在 内过点O的垂线；

②又0 90 时，所求的直线为2条.

(2)当 =90 时：

①又0 90 时，所求的直线为0条；

②又 90 时，所求的直线为无数条，即 内过点O的任意直线.

(3)当0 90 时：

①又0 时，所求的直线为0条；

②又 ，所求的直线为1条，即m；

③又 90 时，所求的直线为2条，即与m成arccoscos 角的两条直线. cos

证明 (1)，(2)显然成立.

(3)由《教科书第二册(下B)》第48页的黑体字“平面的斜线和它在平面内的射影所成

的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角”知①，②成立！下证③成

立.

如图3，设 内过点O的直线a与l 成 角，得

cos cos mOa cos

即所求直线a与m所成的角 mOa arccoscos ，易知它是锐角，所以所求的直线有且cos

仅有2条(为图3中的a,b)，且m是a,b所形成的一对对顶角的平分线

.

图3

参考文献

1 甘志国著.初等数学研究(II)下[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.104-105

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/65m4.html