固体物理习题集答案

综合模拟题一（答案）

一、填空（ 10 分）

1 、 晶体的基本特征是结构具有 ( 周期性 )。

2 、 对于一定的布喇菲晶格， 选择是( 不唯一) 的，其对应的 的选择是(不唯一)

的，其对应的倒格子空间是 ( 唯一) 。

3 、声子是指 ( 晶格振动的能量量子 ) ，是晶体中典型的 ( 元激发 )。

4 、 晶格周期性势场中运动的单电子波函数具有( 布洛赫函数) 形式，对于相同能带，相差一个倒格矢的两个状态其波函数和能量 ( 相等 )。

5 、晶体的热膨胀是由原子之间的( 非谐效应 )所引起的。

6 、 1920 年劳埃等提出( X 射线衍射 )方法，从实验上验证了晶体具有规则几何外形是晶体中原子、分子规则排列结果。

二、解释说明题（ 2×5 分）

1 、说明一维双原子晶格振动的光学支和声学支的本质区别。

长光学支格波的本质是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，包含了晶格振动频率最高的振动模式；长声学支的本质是原胞内不同原子没有相对位移，原胞质心的振动，振动频率较低，包含晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式晶格）晶体中不存在光学支格波。

2 、请解释导体、半导体和绝缘体能带结构的区别。

晶体电子的状态由原分立的原子能级分裂为能带，电子填充能带的情况分为满带、不满带和空带，对于半导体和绝缘体，只存在满带和空带，最高的满带称价带，最低的空带称导带，导带与价带之间的间隔称带隙，一般绝缘体的带隙较大，可达 10ev，而半导体的带隙较小，只有1ev；对于导体，除满带和空带外，还存在不满带，即导带是不满带。满带电子不导电，而不满带中的电子参予导电，半导体由于带隙较

小，价带电子受到激发后可以跃迁至导带而参予导电，绝缘体的带隙较大，价带电子需获得很大能量才能激发，故一般情况下，不易产生跃迁现象。

三、证明题（ 40 分）

1 、（ 15 分）证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方晶格，设体心立方的基矢 为：

。

证明：体心立方的基矢为： ，

由倒格子基矢定义可得： ，

这里

面心立方结构的基矢为： ；

二者对比，仅差常数项，故体心立方的倒格子是面心立方结构。

2、（15分）证明：二维金属中自由电子的能态密度为： （ S 为晶格面积）。

解：对于二维情况：

其中

，则

所以，

3、（10分）证明：一维离子晶体（两种离子，间距为a）的马德隆常数为： 。

证明： (符号定认:同号为负,异号为正)

四、计算题（ 2×20分）

1、设一长度为L的一维简单元晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示为

，试由简谐近似（只考虑最近邻情况）求

(1) 色散关系；

(2) 模式密度 g(ω)；

(3)用德拜模型的思想求晶格热容（只列出积分表达式即可）。

解：（ 1）原子间弹性恢复力系数：

已知一维单原子链的色散关系是 或

所以，

（ 2）设振动模式数为原子总数N，q的分布密度为L/2 π ， 则 dq 范围内的振动模式数为

（3）频率为ω的格波的热振动能为

整个晶格热振动能为

则比热为

，并证明

附近等

2、用紧束缚近似方法求面心立方结构的S态原子能级相对应的能带函数 能面近似为球面。

解：（ 1）由紧束缚近似理论知：

对于面心立方晶格，最近邻数为 12，且 = J1

分别为：

则有

所以，

（ 2）当 趋于零时，有

对其它同类项作同样处理后，得到：

取一级近似，忽略高次交叉项，得到：

可见， E(k) 与 k 的方向无关，即等能面为球面。

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