2014年四川省高考文科理科数学考试说明

第1～23页：文科考试说明

第24～52页：理科考试说明

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）考试说明

数学（文科）

《2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）考试说明》的数学（文科）部分（以下简称《考试说明》）以既有利于数学新课程的改革、又要发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查考生对中学数学知识的掌握程度、又注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能，既符合四川省普通高等学校招生统一考试工作整体方案和普通高中课程改革的实际情况、又利用高考命题的导向功能推动新课程的课堂教学改革为基本原则，依据教育部颁布的《普通高中课程方案（实验）》、《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科·课程标准实验）》、《四川省普通高考改革方案》、《四川省普通高中课程设置方案》、《四川省普通高中课程数学学科教学指导意见》，并结合我省普通高中数学教学实际制定．

Ⅰ．考试性质

普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．

Ⅱ．命题指导思想

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学科（四川卷）的命题，将遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意的命题指导思想，将知识、能力和素质融为一体，坚持正确导向，注重能力考查，力求平稳推进，确保命题质量，全面检测考生的数学素养和考生进入高等学校继续学习的潜能，有利于高校选拔新生和中学实施素质教育．

数学科考试将充分发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生数学的基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生的数学基本能力、应用意识和创新意识，考查考生对数学本质的理解，体现《课程标准》中对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求．数学科命题将在试卷结构、难度控制及试题设计等方面保持相对稳定，适度创新，既体现新课程理念，又继承四川省历年高考数学命题的成果．

Ⅲ．考试形式与试卷结构

一、考试形式

考试采用闭卷、笔试形式．考试时间为120分钟．考试时不允许使用计算器．

二、考试范围

考试内容如下：

数学1（必修）：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）．

数学2（必修）：立体几何初步、平面解析几何初步．

数学3（必修）：算法初步、统计、概率．

数学4（必修）：基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换．

数学5（必修）：解三角形、数列、不等式．

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用（不含“导数及其应用”中的“（4）生活中的优化问题举例”）．

选修1—2：推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图．

1

三、试卷结构

1．试题类型

全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分．

试卷结构如下：

解答题 6 74

2．难度控制

试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4—0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题为难题．试卷由三种难度的试题组成，并以中等难度题为主．命题时根据有关要求和教学实际合理控制三种难度试题的分值比例（大致控制在3:5:2）及全卷总体难度．

Ⅳ．考试内容及要求

一、考核目标与要求

数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力。具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科·课程标准实验）》、《四川省普通高中课程数学学科教学指导意见》确定。

关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下：

1．知识要求

知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程系列1中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.

各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明．

对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求．了解、理解、掌握是对知识的基本要求．

（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识和直接应用。这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。

（2）理解（B）：要求对所列知识内容有理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够解释、举例或变形、推断，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.

这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等.

（3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，能够推导证明，能够利用所学知识对比较综合的问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.

这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.

2

2．能力要求

能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力及应用意识和创新意识.

（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.

（2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用其解决问题或作出新的判断.

（3）推理论证能力：会根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．

（4）运算求解能力：会根据概念、公式、法则对数、式、方程和几何量进行正确的运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，分析、寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.

（5）数据处理能力：会依据统计中的方法收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断、解决给定的实际问题.

（6）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.

（7）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．

3．个性品质要求

个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义. 就考试而言，要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.

4．考查要求

数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间内在联系的深刻性，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构．

（1）对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。考查应注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度设计问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.

（2）对数学思想方法的考查，是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必然要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度．考查时，应从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧。

（3）对数学能力的考查，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料．高考的数学命题，强调“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和

3

应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．能力的考查以推理论证能力和抽象概括能力的考查为核心，全面涉及各种数学能力，强调综合性、应用性，并要切合考生实际，强调其科学性、严谨性、抽象性，强调探究性、综合性和应用性。对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力．

（4）对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式．应用问题的命题要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要充分考虑中学数学教学的实际和考生的年龄特点，并结合考生具有的实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的实际水平．

（5）对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查．在考试中通过创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题进行考查。试题设计要注重问题的多样化，体现思维的发散性，着眼数学主体内容、体现数学素质；试题主要以反映数、形运动变化及其相互联系的问题出现，主要为研究型、探索型、开放型等类型的问题．

（6）数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思维方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力体现对考生综合数学素养和数学学习现状及潜能的考查．

二、考试范围与要求层次

4

5

6

1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

7

8

Ⅴ．参考样题

为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近几年高考数学（北京卷、全国卷和四川卷）中选择了部分试题编制成参考样题．均有答案、说明．参考样题与2013年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有对应关系．

一、选择题；在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

[试题1]（2010年全国文史类第1题改编）如果集合},2{R x x x A ∈≤=，≤=x x B {

,3}Z x ∈，那么=B A （ ）

A ．)2,0(

B ．]2,0[

C ．}2,0{

D ．}2,1,0{ [答案] D

[说明] 本题考查集合的交集运算以及绝对值不等式、无理不等式的解法． [试题2]（2003年北京文史类第2题改编）如果9

.019=y ，048

227

=y ，5

.13)

3

1

(-=y ，

那么（ ）

A ．>3y >1y 2y

B ．>1y >3y 2y

C ．>2y >1y 3y

D ．>1y >2y 3y

9

[答案] 把1y ，2y ，3y 都化成以3为底的指数幂，得8.113=y ，14423=y ，5.133=y ．由 函数x y 3=在),(+∞-∞上是增函数，且44.15.18.1>>，得>1y >3y 2y ，因此正确答案选B ．

[说明] 本题考查指数的概念、指数的运算和指数函数的单调性．

[试题3]（2007年北京文史类第3题改编）函数x x x f 2sin 2cos )(-=的最小正周期 是（ ）

A ．

2

π

B ．π

C ．π2

D ．π4 [答案] 因为x x x f 2sin 2cos )(-=)4

2sin(2π

--=x ，所以)(x f 的最小正周期为

ππ

=2

2，因此正确答案选B ． [说明] 本题考查三角函数的周期性以及和角与差角公式．

[试题4]（2006年北京文史类第2题改编）函数x y sin 1+=的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线2

π

=x 对称

[答案] D ．

[说明] 本题考查正弦函数的性质、函数的有奇偶性及其图象的对称性．

[试题5]（2004年北京文史类第3题）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同 的平面．给出了下列四个命题：

①若α⊥m ，n ∥α，则n m ⊥； ②若α∥β，β∥γ，α⊥m ，则γ⊥m ；

③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若γα⊥，γβ⊥，则α∥β． 若中正确命题的序号是（ ）

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．①和④ [答案] A ．

[说明] 本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系， 并考查把符号语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力．

[试题6]（2010全国文史类第8题）如果执行 如图1所示的框图，输入5=N ，则输出的数等于（ ）

A ．45

B ．54

C ．56

D ．65

[答案] 第一次运行5=N ，1=k ，

0=S ，2

11

0?+=S ，51<成立，进入

第二次运行；2=k ，=S 3

21211?+?=， 52<成立，进入第三次运行；3=k ，S

10 321211?+?=

4

31?+，53<成立，进 入第四次运行；4=k ，=S 3

21211?+? 431?+5

41?+，54<成立；5=k ，=S 321211?+?431?+541?+6

51?+611-= 65=，55<不成立，此时退出循环，输出S ．因此答案选D ． [说明] 本小题考查程序框图的循环结构，及考生的识图能力和简单的计算能力，题目难易适中，找出规律及最后一次运行是解题的关键．

[试题7]（2010年北京文史类第3题）从}5,4,3,2,1{中随机选取一个数为a ，从}3,2,1{中随机选取一个数为b ，则a b >的概率是（ ）

A ．54

B ．53

C ．52

D ．5

1 [答案] 从}5,4,3,2,1{中随机选取一个数有5种选法，从}3,2,1{中随机选取一个数有3种选法，由分步计数原理知共有1535=?种选法．而满足a b >的选法有：当3=b 时，a 有2种，当2=b 时，a 有1种，共有312=+种选法．由古典概型知a b >的概率=P 153= 5

1．因此答案选D ． [说明] 本是主要考查古典概型的求法和分类讨论思想的应用．

[试题8]2005年北京文史类第4题改编）如果2=a ，1=b ，b a c +=，且b c ⊥，那么向量a 与b 的夹角为（ ）

A ．

6π B ．3π C ．3

2π D ．65π [答案] 由两向量的夹角公式b a b a ?=αcos 和已知条件可知，只需求得b a ?的值即可．由b a c +=，得b a a a c a ?+?=?，再由已知求得b a ?1-=，21cos -=α，得=α 3

2π，因此答案选C ． [说明] 本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直 的条件．

[试题9]（2010年北京文史类第3题改编）如果2)31(3i i z +-=，那么=z （ ） A ．41 B ．2

1 C ．1 D ．2

11

[答案] ∵2

)31(3i i z +-=

，∴=

z =

+-=

+-2

2

313)31(3i

i i i =422

1

，因此答案选B ． [说明] 本题主要考查复数的运算和复数模的求法． [试题10]（2011年全国文史类第4题）若变量y x ,满足

约束条件??

?

??≥-≤-≤+,1,23,6x y x y x 则

=z y x 32+的最小值为（ ）

A ．17

B ．14

C ．5

D ．3 [答案] 如图2，作出可行 域ABC ?，再作出初始直线

32:0=+y x l ，即

x y 3

2

-=，发现0l 向上移动时

z 越来越大，故0l 平移到过C

点时z 最小，又)1,1(C ，∴532min =+=z ．因此答案选C ．

[说明] 本题主要考查线性规划问题以及数形结合思想．

[试题11]（2008年全国文史类第7题）已知等比数}{n a 满足321=+a a ，632=+a a ，则7a =（ ）

A ．64

B ．81

C ．128

D ．243

[答案] 设等比数列公比为q ，∵321=+a a ，∴=+32a a 6)(21=+a a q ，∴2=q ．

又=+21a a 311=+q a a ，∴331=a ，∴11=a ．∴7a 6

2=64=．因此答案选A ．

[说明] 本题主要考查等比数列的通项公式，求解时应利用方程思想准确求出1a 和q ． [试题12]（2011年全国文史类第7题）设函数x x f ωcos )(=)0(>ω，将)(x f y =的图象向右平移

3

π

个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ） A ．

3

1

B ．3

C ．6

D ．9 [答案] 由已知，)(3*

N n nT ∈=π，∴)(3

2*N n n ∈=?

πωπ，∴n 6=ω)(*N n ∈，∴当1=n 时，ω取得最小值6．因此答案选C ．

[说明] 本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数的有关性质．

[试题13]（2011年北京《考试说明》样题文史类第8题）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：

1

，

2

分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数，则有（）

A．>

1

x

2

x，<

1

s

2

s B．=

1

x

2

x，>

1

s

2

s

C．=

1

x

2

x，=

1

s

2

s D．<

1

x

2

x，>

1

s

2

s

[答案] 由甲、乙成绩分布的对称性可得=

1

x

2

x，再根据标准差是刻画成绩的分散与

集中程度的量得到>

1

s

2

s．因此答案选B．

[说明] 本题主要考查平均数、标准差的概念．

[试题14]（2011全国文史类第8题）已知直二面角β

α-

-l，点α

∈

A，l

AC⊥，C 为垂足，点β

∈

B，l

BD⊥，D为垂足．若2

=

AB，1

=

=BD

AC，则=

CD（）A．2B．3C．2D．1

[答案] 如图3，连接BC，在直二面角

β

α-

-l中，l

AC⊥，∴β

⊥

AC，∴

BC

AC⊥．∴ABC

?为直角三角形，∴

=

-

=2

21

2

BC3．在BCD

Rt?中，

3

=

BC，1

=

BD，∴=

-

=1

)3

(2

CD

2．因此答案选C．

[说明] 本题主要考查线线垂直、线面垂

直、面面垂直的关系以及空间想象能力和数据的处理能力．

[试题15]（2009全国文史类第7题）甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有（）

A．150种B．180种C．300种D．345种

[答案] 若从甲组中选出1名女同学，有1

3

C种选法，则甲组还需从5名男同学中选1

名，有1

5

1

3

C

C种，其余2名同学还应从乙组的男同学中选，有2

6

C种，此时有1

5

1

3

C

C2

6

C225

=

（种）；若从乙组中选1名女同学，有1

2

C种选法，则还需从乙组的男同学中选1人，有1

6

C种

选法，从甲组的5名男同学中选2名，共有2

5

C种，共有1

6

C2

5

C1

2

C120

=（种），故共有225 345

120=

+（种）不同的选法．因此答案选D．

[说明] 本题考查用两个原理及组合知识解决实际问题，求解时应注意分类讨论思想的应用．

[试题16]（2011年北京文史类第5

题）某四棱锥的三视图如图4所示，该

四棱锥的表面积是（）

A．32B．2

16

16+

C．48D．2

32

16+

[答案] 由三视图还原几何体的直

13 观图如图5所示．

=表S =?+???444)2242

1( 21616+，因此答案选B ．

[说明] 本题考查三视图及几何体表面

积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力．

[试题17]（2009年四川省文史类第7题）

已知d c b a ,,,为实数，且d c >，则“b a >”

是“d b c a ->-”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条

件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必

要条件

[答案] ∵d c >，∴d c -<-，又b a >，∴

c a -与

d b -的大小无法比较；

当d b c a ->-成立时，假设b a ≤，d c -<-，∴d b c a -<-，与题

设矛盾，∴b a >．综上可知，“b a >”是“d b c a ->-”的必要而不充分条件．因此答案选B ．

[说明] 本题主要考查充分必要条件的判断，解题时注意反证法的应用．

[试题18]（2011年北京文史类第3题改编）如果

A ．1<

B ．1<

C ．y x <<1

D ．x y <<1

[答案] 不等转化为??????<<0log ,log log 3

13131y y x x y <<1．因此答案选D ． [说明] 本题主要考查对数不等式的求解，考查考生的运算求解能力．

[试题19]（2009年全国文史类第5题改编）假设双曲线的渐近线与抛物线12

+=x y 相切，那么该双曲线的离心率为（ ）

A ．3

B ．2

C ．5

D ．6 [答案] 双曲线122

22=-n

y m x 的渐近线方程为x m n y ±=，∵12+=x y 与渐近线相切，∴12

+x 0=±x m n 只有一个实根，∴0422=-m n ，∴4222=-m m c ，∴522

=m c ，∴5=e ，因此答案选C ．

[说明] 本题考查双曲线离心率的求法、对双曲线渐近线方程的理解以及直线与抛物线位置关系的判断．本题求解的关键是利用直线与抛物线相切，得到消元后的二次方程的判别式等于0，由此得到n m ,之间的关系式．

[试题20]（2010年四川省文史类第11题）设0>>b a ，则++ab a 12)

(1b a a -的最小值是（ ）

14 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

[答案] )(112b a a ab a -++=)(112b a a ab ab ab a -+++-=)(1)(b a a b a a -+- ab ab 1++422=+≥，当且仅当1)(=-b a a 且1=ab ，即2=a ，2

2=b 时取等号．因此答案选D ．

[说明] 本题考查均值不等式，应灵活运用添项、减项的方法．

[试题21]（2010年；四川省文史类第10题）椭圆+22a x )0.(122

>>=b a b

y 的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A ．]2

2,0( B ．]21,0( C ．)1,12[- D ．)1,21[ [答案] 设),(00y x P ，则=PF 0ex a -．又点F 在AP 的垂直平分线上，∴0ex a -= c c a -2，因此=0x 222)(c c a ac a +-．又a x a <≤-0，∴≤-a 222)(c

c a ac a +-a <．∴≤-1112

2<-+e e e ．又10<

二、填空题：把答案填在题中横线上．

[试题22]（2011年四川省文史类第3题改编）圆28422+-++y x y x 0=的圆心坐标 是 ．

[答案] 圆028422=+-++y x y x 的圆心坐标是)28,24(---

，即)4,2(-，因此答案填选)4,2(-．

[说明] 本题主要考查圆的一般方程中圆心坐标的求法．

[试题23]（2011年全国文史类第14题改编）如果)2,2

3(ππα∈，2tan =α，那么=αsin ．

[答案] ∵2tan =α，∴2cos sin =αα，∴ααsin 2

1cos =．又1cos sin 22=+αα，∴1)sin 21(sin 22=+αα，54sin 2=α，又)2,23(ππα∈，∴0sin <α，∴5

52sin -=α．因此答案填5

52-． [说明] 本题主要考查同角三角函数的基本关系式以及三角函数的符号问题．

[试题24]（2011年全国文史类第10题改编）如果)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x

15 时，)1(2)(x x x f -=，那么=-)25(f ．

[答案] ∵)(x f 是周期为2的奇函数，∴=-)25

(f =+-)225(f =-)2

1(f )21(f - )211(212-??-=21-=．因此答案填2

1-． [说明] 本题主要考查函数的奇偶性、周期性以及数据处理的能力．

[试题25]（2011年北京《考试说明》样题文史类第14题）口袋中有形状大小都相同的4只小球，其中有2只红球和2只黄球，从中依次不放回地随机模出2只球．那么2只都是黄球的概率为 ；2只颜色不同的概率为 ．

[答案] 由于基本事件的总数为12，2只都是黄球的配件包含的基本事件的个数为2，2只球颜色不同的事件包含的基本事件的个数为8．因此2只都是黄球的概率为

61，2只球 颜色不同的概率为32．因此答案应填61和3

2． [说明] 本题主要考查随机事件的概率及性质，考查古典概型的概率求解方法．

[试题26]（2011年北京《考试说明》样题文史类第16题改编）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．

已知数列}{n a 是等和数列，且11=a 公和为4，那么2012a 的值为 ，且这个数列的前2013项和2013S 的值为 ．

[答案] 由“等和数列”的概念，即可由题意得出的等和数列为1，3，1，3，1，3，…，于是2012a 3=，2013S 40251)31(2

12013=++?-=． [说明] 本题主要考查数列的基本概念，考查综合应用所掌握所学数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力．

[试题27]（2006年北京文史类第13题）在ABC ?中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边长分别是c b a ,,，若A sin ：B sin ：C sin 8:7:5=，则=c b a :: ，B ∠的大小是 ．

[答案] 由正弦定理得=c b a ::8:7:5，由余弦定理得21cos =

B ，得B ∠3π=． [说明] 本题主要考查正弦定理和余弦定理．

[试题28]（2010年全国文史类第15题）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 （填入所有可能的几何体前的编号）．

①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

[答案] ①三棱锥的正视线与其中一侧面平行可以得正视图为三角形；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得正视图为三角形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底，沿着一个侧面看，得正视图为三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆锥的底面水平放置，正视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形．因此答案选①，②，③，⑤．

[说明] 本题主要考查三视图的有关知识，从不同角度观察同一个几何体得到的图形不

16

一定相同，充分考查学生的空间想象能力以及画图、用图能力．

[试题29]（2010年四川省文史类第13题改编）4

)3(x

x -的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）

[答案] =-=-+r

r

r

r x

x C T 441)

3(r

r r x

C 2444)3(---．当024=-r ，即2=r 时，第3项为常数项，=3T 54)3(2

424=--C ．

[说明] 本题考查二项式定理及二项展开式的知识，考查学生分析问题的能力和运算能力．

[试题30]（2008年全国文史类第4题改编）曲线523+-=x x y 在点)3,1(处的切线方程是 ．

[答案]∵523+-=x x y ，∴23'2-=x y ，∴曲线在点)3,1(处的切线斜率=

k 1'=x y

1213=-?=，切线方程为)1(3-=-x k y ，即02=+-y x 即为所填答案．

[说明]本题考查多项式函数的导数以及导数的几何意义，考查直线点斜式的应用．求解此类问题应先求导数，再求导数值（斜率），根据导数值再用点斜式求出直线方程．

[试题31]（2011年四川省文史类第11题改编）在抛物线52-+=ax x y )0(≠a 上取横坐标为41-=x ，22=x 的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆36552

2

=+y x 相切，那么抛物线顶点的坐标为 ．

[答案] 当41-=x 时，a y 4111-=；当22=x 时，122-=a y ，∴割线的斜率k =

2

41

2411--+--a a 2-a ．设直线与抛物线的切点横坐标为0x ，由a x y +=2'得切线斜率为

a x +02，∴220-=+a a x ，∴0x 1-=．∴直线与抛物线的切点坐标为)4,1(---a ，

切线方程为)1)(2(4+-=++x a a y ，即06)2(=---y x a ．圆365522=+y x 的圆心到切线的距离1

)2(62+-=

a d ．由题意得

=

+-1

)2(62a 5

6，即51)2(2

=+-a ．又

0≠a ，∴4=a ，此时，=-+=542x x y 9)2(2-+x ．顶点坐标为)9,2(--．因此答

案应填)9,2(--．

[说明] 本题综合考查斜率公式、导数的几何意义、直线方程、点到直线的距离及二次函数等知识，涉及的知识较多且综合性较强，难度较大．

[试题32]（2009年全国文史类第15题）已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ．若圆M 的面积为π3，则球O 的表面积等于 ．

[答案] ∵圆M 的面积为π3，∴圆M 的半径3=r ．

设球的半径为R ，由图6可知，=

2

R 34

12

+R ，∴=2R 4． ∴ππ1642

=?=R S 球．因此答案应填π16．

[说明] 本题考查球的截面的性质．

[试题33]（2008年全国文史类第12题改编）将1，2，3填入33?

17 每列都没有重复数字，如图7是一种填法，则

不同的填写方法种数是 ．（用数字作答）

[答案] 由于33?方格中，每行、第列均没有重复数字，因此可从

中间斜对角线填起．如图8中的Δ，当Δ全为1时，有2种（即第一行 第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3

确定），当Δ全为2或3时，分别有2种，共有6种；当Δ分别为1，2，3有12种．因此答案应填12．

[说明] 本题主要考查分析问题和解决问题的能力．

[试题34]（2010年四川省文史类第16题）设S 为实数集R 的非空子集，若对于任意R y x ∈,，都有S xy y x y x ∈-+),(),(，则称S 为封闭集．下列命题：

①集合b a b a S ,3{+=为整数}为封闭集；

②若S 为封闭集，则S ∈0；

③封闭集一定是无限集；

④若S 为封闭集，则满足R T S ??的任意集合T 也是封闭集．

其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号）

[答案] 对于整数2211,,,b a b a ，有332211b a b a +++3)()(2121b b a a +++= ∈S ，)3(32211b a b a +-+3)()(2121b b a a -+-=∈S ，)3)(3(2211b a b a ++ =++)3(2121b b a a 3)(1221b a b a +∈S ，∴①正确．

当21a a =，21b b =时，)3(32211b a b a +-+=S ∈0，∴②正确．

当}0{=S 时，S 为封闭集，∴③错误．

取}0{=S ，}3,2,1,0{=T 时，显然T ?=?632，∴④错误．

综上可知，答案应填①，②．

[说明] 本题考查集合的概念、集合中元素与集合的关系、集合之间的关系等有关知识，考查学生运用所学知识解决新定义问题的创新应用能力，解题关键是正确理解封闭集的属性，本题是拓展性题．

三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

[试题35]（2009年北京文史类第15题改编）已知函数x x x f sin )cos(2)(π-=．

（1）求)(x f 的最小正周期；

（2）求)(x f 在区间]2

,6[ππ-上的最大值和最小值． [答案] （1）∵x x x f sin )cos(2)(π-=x x sin )cos(2-=πx x sin cos 2-= x 2sin -，∴函数)(x f 的最小正周期为π．

（2）由26π

π

≤≤-x ，得ππ

≤≤-x 23，∴12sin 23≤≤-x ，≤-≤-x 2sin 12

3． ∴)(x f 的最大值是2

3，最小值是1-． [说明] 本题主要考查三角函数的图象及性质，考查诱导公式、二倍角公式的正弦公式、函数)sin(?ω+=x A y 的周期及最大值和最小值．

18

[试题36]（2010年北京文史类第16题）已知}{n a 为等差数列，且63-=a ，08=a ．

（1）求}{n a 的通项公式；

（2）若等比数列}{n b 满足81-=b ，3212a a a b ++=，求}{n b 的前n 项和公式．

[答案] （1）设等差数列}{n a 的公差为d ．∵63-=a ，08=a ，∴??

?=+-=+.

05,6211d a d a 解得101-=a ，2=d ．∴1222)1(10-=?-+-=n n a n ．

（2）设等比数列}{n b 的公比为q ．∵3212a a a b ++=24-=，81-=b ，∴=-q 8 24-，3=q ．∴数列}{n b 的前n 项和公式为)31(41)1(1n n n q

q b S -=--=． [说明] 本题主要考查等差数列的通项公式以及等比数列的通项公式和前n 项和公式．考查学生的运算求解能力．

[试题37]（2011年北京《考试说明》样题文史类第24题）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．

（1）求2≤b 且3≥c 的概率；

（2）求函数c bx x x f ++=2)(的图象与x 轴无交点的概率．

[答案] （1）由于第一次抛掷骰子的每一个结果都可以与第二次抛掷骰子的任意一个结果配对，组成先后抛掷一枚骰子的一个结果，因此先后抛掷一枚骰子的结果共有36种． 2≤b 且3≥c 的结果有)3,1(，)4,1(，)5,1(，)6,1(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，)6,2(，其中第一个数表示第一次抛掷骰子的结果，第二个数表示第二次抛掷骰子的结果．因此2≤b 且3≥c 的概率为==368P 9

2． （2）∵函数c bx x x f ++=2)(的图象与x 轴没有交点，即02=++c bx x 没有实根，

则042<-=?c b ，即c b 2<．当1=c 时，1=b ；当2=c 时，2,1=b ；当c 3=时，3,2,1=b ；当c 4=时，3,2,1=b ；当c 5=时，4,3,2,1=b ；当c 6=时，4,3,2,1=b ．∴函数c bx x x f ++=2)(的图象与x 轴无交点的概率为36

17． [说明] 本题主要考查随机事件的概率，考查分类讨论的思想方法以及分析问题、解决问题的能力．

[试题38]（2011年成都市高二年级上期调研考

试第21题（文）改编）如图9，在三棱

锥ABC V -中，

⊥VC 底面ABC ，BC AC ⊥，D 是AB 的中点，且=AC

2=BC ．

（1）求证：平面⊥VAB 平面VCD ；

（2）当?=∠45VDC 时，求直线BC 与平面VAB 所成的角．

[答案] （1）证明：∵=AC BC ，∴ACB ?是等腰三角形，又D 是AB 的中点，∴AB CD ⊥．又⊥VC 底面ABC ，∴AB VC ⊥．

，∴平面⊥VAB 平面VCD ．

19 （2）解：∵ABC ?是等腰直角三角形，

D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥．又⊥VC 平

面ABC ，∴VC AB ⊥．∴⊥AB 平面

V C D ．过点C 作VD CE ⊥交VD 于E 点，

如图10．则⊥CE 平面VAB ．连接BE ，则BE

是BC 在平面VAB 内的射影，∴CBE ∠是直

线BC 与平面VAB 所成的角．在等腰VCD Rt ?中，2=CD ，∴CD CE ??=

22

1 1=．∴在CEB Rt ?中，=∠CEB sin =BC CE 2

1，故C B E ∠?=30．∴直线BC 与平面VAB 所成的角为?30． [说明] 本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理、等腰（直角）三角形性质的应用；考查线面垂直的性质、面面垂直的性质、线面所成角的性质、正弦函数的应用．

[试题39]（2008年全国文史类第21题）已知函数++=23)(ax x x f 1+x ，R a ∈．

（1）讨论函数)(x f 的单调区间；

（2）设函数)(x f 在区间)3

1,32(--内是减函数，求a 的取值范围． [答案] （1）∵1)(23+++=x ax x x f ，∴123)('2++=ax x x f ，当-=?2)2(a 43?01242≤-=a ，即33≤≤-a 时，0)('≥x f 恒成立，此时)(x f 为单调递增函

数，单调区间是),(+∞-∞．当-=?2)2(a 43?01242>-=a ，即3>a 或3-

函数)('x f 存在零解，此时当3312---x f ，当>x 3

312-+-a 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，当<<---x a 33123

312-+-a 时，0)('a 或3-

312-+->a x 时，函数)(x f 单调递增；当<<---x a 33123

312-+-a 时，函数)(x f 单调递减． （2）若函数)(x f 在区间)3

1,32(--内是减函数，则说明123)('2++=ax x x f 0=两根在区间)31,32(--外，因此0)32('≤-f ，且0)3

1('≤-f ，由此可解得2≥a ．因此a 的取值范围是),2[+∞．

[说明] 本题考查函数的导数、含参数不等式的解法，导数的应用以及分析问题、解决问题的能力．

[试题40]（2010年全国文史类第19题）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

20

（1（2）能否有%99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

附：

)

)()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-= [答案] （1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为

%1450070=． （2）967.9430

70300200)1603027040(5002

2≈????-??=K ．由于635.6967.9>，∴有%99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．

（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．

[说明] 本题考查22?列联表、抽样调查的方法、用样本估计总体和设计抽样方法搜集数据等知识．难度较大．

[试题41]（2009年北京文史类第20题）设数列}{n a 的通项公式为q pn a n +=,(*N n ∈ )0>p ．数列}{m b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使不等式m a n ≥成立的所有n 中最小值．

（1）若2

1=

p ，31-=q ，求3b ； （2）若1,2-==q p ，求数列}{m b 的前m 2项和的公式； （3）是否存在p 和q ，使得m b )(23*N m m ∈+=？如果存在，求p 和q 的取值范围；

如果不存在，请说明理由．

[答案] （1）由题意得3121-=

n a n ．解33121≥-n 得320≥n ．∴使33

121≥-n 成立的所有n 中的最小正整数为7，即3b 7=． （2）由题意得12-=n a n ．对正整数m ，由m a n ≥得2

1+≥m n ．根据m b 的定义可知，当12-=k m 时，m b k =)(*N k ∈；当k m 2=，m b 1+=k )(*N k ∈．∴+1b +2b

21 m b 2+ )(1231-+++=m b b b )(242m b b b ++++ )321(m ++++= 4

32[+++)]1(+++m ++=2)1(m m m m m m 22

)3(2+=+． （3）假设存在q p ,满足条件．由不等式m q pn ≥+及0>p 得p

q m n -≥．∵m b = )(23*N m m ∈+，由m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有2313+≤-<+m p

q m m ． 即q p m p q p --<-≤--)13(2对任意正整数m 都成立．当013>-p （或013<-p ）时，得13-+-

1．解得≤-3231-

1=p ，≤-3231-

[试题42]（2011年成都市高二年级上期调研考试第20题（文））抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆+22a x )0(122

>>=b a b

y 的一个焦点F ，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的交点为)6,2

3(A ，求抛物线的方程和椭圆的标准方程． [答案] 由题意可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．∵抛物线的图象过点)6,2

3(，∴有2

326?=p ，解得2=p ．∴抛物线的方程为x y 42=，其准线方程为1-=x ．∴椭圆的左焦点为)0,1(1-F ，右焦点为)0,1(2F ，即1=c ．又∵椭圆的图象过点)6,2

3(，∴=a 2+1AF =2AF ++22)6()2

1(6)6()2

5(22=+，得3=a ．∴222c a b -= 8=，∴椭圆的方程为+92x 182

=y ． [说明] 本题考查抛物线的和方程、几何性质、椭圆的方程、定义和几何性质的综合应用．属中档题．

[试题43]（2011年成都市高二年级上期调研考试第22题（文））双曲线-22a x >=a b

y (122

)1,1>b 的焦距为c 2，左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点)0,(a 和),0(b ，且点)0,1(到直线l 的距离为1d ，点)0,1(-到直线l 的距离为2d ．

（1）记+=1d S 2d ，用c b a ,,表示S ；

（2）若c S 54≥

，求双曲线的离心率e 的取值范围；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/657q.html