有限元大作业

研究生课程考核试卷

科 目： 有限元分析技术 教 师： 金晓清

姓 名： 刘双龙 学 号： 20140713189 专 业： 机械工程领域 类 别： （专业） 上课时间： 2014年 10月至2014年 12月

考

生 成 绩： 卷面成绩 平时成绩 课程综合成绩

阅卷评语：

阅卷教师 (签名)

重庆大学研究生院制

带孔薄板应力分布及应力集中探究

摘要：带孔薄板的应力集中问题是使用工程领域中一个较为常见的问题，

也是弹性力学中平面问题的一个经典问题。本文首先采用弹性力学中平面问题的相关知识进行推导，其中只考虑三个应力分量，而忽略其在厚度方向上的变化，从而得出圆孔附近的应力分布，由此可以看出应力集中最大点及其应力集中系数，从而在理论上验证了本探究的Benchmark（当孔径远小于薄板尺寸时，应力集中系数为k=3）。接着应用ansys软件进行分析，得到直观的应力分布图，及应力集中最大点及其应力集中系数，随即绘制应力集中系数随圆孔直径变化的折线图，直观的可以看出应力集中系数的变化趋势，再用benchmark进行验证，正好吻合。

一、问题描述：

如图（1）所示：在长为300mm、宽为300mm的矩形薄板中央开一个半径为a（a为可变常数）的圆孔，当薄板受横向拉伸的外载荷下，分析薄板的应力分布及应力集中系数。本探究设定该薄板为各向同性材料，其弹性模量E=200000MPa，泊松比为v=0.3。

（1）

二：理论求解

应用弹性理论知识求解“孔半径远远小于薄板尺寸”时的应力系数 1、将次实际问题问题转化为带孔薄板“等值拉压”和“等向拉伸”两种典型情况解答。

具体如下：

（1）等值拉压：如下图所示：

（2）等值拉压

X轴方向两边均布载荷F=q/2 Y轴方向两边均布载荷F=?q/2 （2）等向拉伸：如下图所示：

（3）等向拉伸

X轴方向两边均布载荷F=q/2 Y轴方向两边均布载荷F=?q/2

2、具体求解：

（1）等值拉压：如图（1）所示单位厚度矩形薄板的等值拉压情况。在离边界较远处有半径a的小圆孔。X轴方向两边均布载荷F=q/2，Y轴方向两边均布载荷F=?q/2，即已知：

?X?q/2，?y??q/2，τxy=0 （a）

选用极坐标，板的矩形边界用半径为b的同心圆来代替。当b足够大时，将式（a）代入转轴公式（7.81）（注：在《弹性理论基础》182页）

22??????cos2???sin2? (7.81) ???22??????sin2???cos2? 2qq得： ???cos2?，????sin2? （b） 22?r???X??yX??X??yXcos2???xysin2?xyyyXyr?xyrr?br?r?b在内孔处的力边界条件是：

?r?r?a?0，??r?r?a?0 （c）

（b）式表明?r的环向分布规律为cos2?。由（7.84）（注：第183页）:

1?2?1???r?22?

r??r?r?2? ???2 （7.84）

?r ?r????(1??)

?rr???2?的第一式可知?r与2及1??有关，所以应力函数也按cos2? 变化，

r?r??设为： ? =f（r）cos2? （d）

代入协调方程（7.78）（注：第182页）：

?21?1?2?21?1?2 (2??2)(2??2)??? （7.78） 22?rr?rr???rr?rr??d21d4d21d4得： cos2?(2??2)(2??2)f?0

drrdrrdrrdrr消去因子cos2? 得欧拉方程，其特征方程为：

[(k?2)(k?3)?(k?2)?4][k(k?1)?k?4]?0 即： k(k-4)(k+2)(k-2)=0

因而通解为： f?r??Ar?Br2?C?D 2r代入（d）式得? =(Ar?Br2?C?D) cos2? ，再代入（7.84）式得2r6D应力分量： ?r??cos2?(2B?4C?) 24rr ???cos2?(12Ar2?2B?6D ) （e）

r46D ?r??sin2?(6Ar2?2B?2C?)

r2r4利用边界条件(b)和(c)定出积分常数：

A?qq4622B??(1?3??6?) ，?(1??)24N2Nb （f）

qa2qa46 C?(1??) ，D??(1??4)

4N2N4a其中，N=(1??2); ???1

b对于无限大板小圆孔情况，??????? ，各常数简化成：

qa2q A=0，B=-?C??D??qa4 （g）

424代回（e）式得等值拉压无限大板中小圆孔附近的应力：

a2a2q ?r?(1?2)(1?32)cos2?

2rra4q ????(1?34)cos2? （h）

2ra2a2q ?r???(1?2)(1?32)sin2?

2rr可以看出，在孔边r=a处：

?r?0

????2qcos2? （i）

?r??0

（2）等向拉伸：如图（2）所示单位厚度矩形薄板的等值拉伸情况。在离边界较远处有半径a的小圆孔。X轴方向两边均布载荷F=q/2，Y轴方向两边均布载荷F=q/2，即已知：

?X?q/2，?y??q/2，τxy=0

这里采用《弹性理论基础》中的结论P190（7.114）式得到等向拉伸无限大板中小孔附近的应力：

a2q ?r?(1?2)

2ra2q ???(1?2) （j）

2r ?r??0

可以看出，在孔边r=a处： ?r?0

???q （k）

?r??0 3、 叠加

将以上“等值拉压”和“等向拉伸”两种情形叠加得到本研究“孔半径远远小于薄板尺寸”时小圆孔附近的应力：

?r?0

????2qcos2??q?q(1?2cos2?) （m） ?r??0 4、 得出结论

由（m）式可知：当“孔半径远远小于薄板尺寸”时，在孔边边r=a

处，当??和??2?3? 时，应力最大，即y轴和圆孔边的交点处应力最大：2??=3q ，则K=

?? =3。得以验证符合本探究的benchmark：当“孔半径远q远小于薄板尺寸”时， 应力集中系数为3。

三、应用ansys软件分析应力分布及应力系数

在软件ansys13.0平台上，在定薄板尺寸，定材料，定弹性模量，定

泊松比，定外载荷情况下，分析薄板随圆孔孔径由大变小时应力分布的变化，及应力集中系数的变化。

已知量：E=200000MPa，v=0.3，q=200MPa，长宽都为300mm 1、 操作步骤

在软件ansys13.0中（1）建立模型, （2）定义材料弹性模量、泊松比，（3）定义单元类型、单元边长尺寸，圆孔半径为a=24，（4）划分网格，（5）施加载荷求解（6）查看结果 如下图所示：

（4）a=24时的应力分布云图

由上图可知，最大应力出现在y轴和圆孔边线相交处，也就是应力集中地方，最大应力为：?max=642.653MPa 同样的方法可得：

（5）a=22mm时的应力分布图，?max=634.371

（7）a=20mm时的应力分布图，?max=627.615

（8）a=18mm时的应力分布图，?max=622.631

（9）a=16mm时的应力分布图，?max=612.548

（10）a=15mm时的应力分布图，?max=613.989

（11）a=14mm时的应力分布图，?max=608.082

（12）a=13mm时的应力分布图，?max=605.97

（13）a=12mm时的应力分布图，?max=603.669

（14）a=11mm时的应力分布图，?max=602.051

（15）a=10.5mm时的应力分布图，?max=601.481

（16）a=10mm时的应力分布图，?max=600.972

3、绘制表格：

将最大应力?max数据、应力集中系数K数据及圆孔直径数据整理成如下表格。 其中K=

?max。 q24 22 20 18 16 15 圆孔直径 最大应力 642.653 634.371 627.615 622.631 612.548 613.989 应力集中系数 3.213265 3.171855 3.138075 3.113155 3.06274 3.069945 圆孔直径 最大应力 14 608.082 13 605.97 12 11 10.5 10 603.669 602.051 601.481 600.972 应力集中系数 3.04041 3.02985 3.018345 3.010255 3.007405 3.00486 由上表（最大应力及应力集中系数与半径关系表）我们可以看出，在

薄板尺寸不变、薄板材料不变、外载荷不变的情况下，最大应力及应力集中系数随圆孔直径的减小而减小。 4、绘制折线图：

为了更为直观的看出应力集中系数随圆孔直径变化而变化的的趋势，绘制如下折线图：

由以上折线图可以看出应力集中系数随圆孔直径变化的趋势：应力集中系数随圆孔直径减小而减小，且逼近于3。可以预测，当圆孔直径无限小时，应力集中系数无限的接近于3，甚至等于3，也就是无限接近于本文的benchmark。

五、得出结论

本文首先用弹性力学知识进行理论求解，成功得到理论值（应力集中

系数K=3），符合本探究的benchmark（当圆孔尺寸远小于薄板尺寸时，应力集中系数为3）。接着利用软件ansys13.0进行探究，得到实验结论，正好和理论值相符，也就符合benchmark。

综述：本文在理论、实验两方面进行了验证，都符合实际情况。

参考文献

[1]陆明万，罗学富.弹性力学理论基础（上册）.北京：清华大学出版社，2001 [2]张秀辉，ANSYS 14.0有限元分析从入门到精通，机械工业出版社，2013 [3]曾攀，有限元分析基础教程，北京，清华大学出版社，2008

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/64zv.html