练习册大学物理（一）答案

大学物理（一）练习册 参考解答

第1章 质点运动学

一、选择题

1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(D)，6(D)，7(D)，8(D )，9(B)，10(B)， 二、填空题

(1). A?2sin?t ，(2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s.

(4). 16Rt2 4 rad /s ?

，

1?2n?1??? (n = 0,1,… ), 2

2

(5). 4t3-3t2 (rad/s)，12t2-6t (m/s2). (6).

13ct，2ct，c2t4/R. 3(7). 2.24 m/s2，104o

??(8). 50(?sin5ti?co5stj)m/s，0，圆.

(9). h1v /(h1?h2) (10). v1?v2?v3?0

三、计算题

1. 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．

解：(1) v??x/?t??0.5 m/s

(2) v = d x/d t = 9t - 6t2, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.

2. 一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．

解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt

????v0dv??4tdt v = 2t2

0t v?dx /d t?2t2

?xx0dx??2t2dt

0t x?2 t3 /3+x0 (SI)

3. 质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为 a＝2＋6 x2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．

1

解：设质点在x处的速度为v，

a?vdvdvdx???2?6x2 dtdxdt vdv?0???2?6x?dx

203xv?2x?x2

4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．

??1dvdvdydv ??vdtdydtdy又 a??ky ∴ -ky?v dv / dy

1212 ??kydy??vdv , ?ky?v?C

221212已知 y?y0 ，v?v0 则 C??v0?ky0

22解： a?22 v2?v0?k(y0?y2)

5. 一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为S?bt?12ct 其中2b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．

解： v?dS/dt?b?ct at?dv/dt?c an??b?ct?/R

2根据题意： at = an 即 c??b?ct?/R

2解得 t?Rb? cc 6. 如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度?与时间t的函数关系为??kt (k为常量)．已知t?2s时，质点P的速度值为32 m/s．试求t?1s时，质点P的速度与加速度的大小．

解：根据已知条件确定常量k

2P O R k?ω/t2?v/Rt2?4rad/s2

2

?? ??4t, v?R??4Rt

t?1s时， v = 4Rt2 = 8 m/s

at?dv/dt?8Rt?16m/s2 an?v2/R?32m/s2

22 a?at?an22??1/2?35.8 m/s2

y

7. (1)对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径r、角速度?和单位矢量i、j表示其t时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r, 角速度?如图所示；

(2)由(1)导出速度 v与加速度 a的矢量表示式； (3)试证加速度指向圆心．

?????j r ? O i ??(x,y) x ?????解：(1) r?x i?y j?rcos?t i?rsin?t j

????dr??r?sin?t i?r?cos?t j (2) v?dt????dv??r?2cos?t i?r?2sin?t j a?dt????2 (3) a????rcos?t i?rsin?t j????2 r

???这说明 a与 r方向相反，即a指向圆心

8. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．

解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：

vFE =60 km/h 正西方向 vAF =180 km/h 方向未知

vAE 大小未知， 正北方向

北???由相对速度关系有： vAE?vAF?vFE ????vFEvAE、 vAF、vEE构成直角三角形，可得 ?西vAE??2?2??vvAE??vAF???vFE??170 km/ h

vAF?v???tg?1?vFE/vAE??19.4?

?v （飞机应取向北偏东19.4?的航向）．

3

四 研讨题

? ?1. 在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不 a?0 v M 可能的？ ?v (1) ?

a ?参考解答： v ?a (1)、(3)、(4)是不可能的．

?M v (1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；

(3) (3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心；

(4) 曲线运动法向加速度不可能为零.

2. 设质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)在计算质点的速度和加速度时：

222M ?a M (2) (4)

drdr第一种方法是，先求出r?x?y，然后根据 v?及 a?2而求得结果；

dtdt第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

dx2dy2d2x2d2y2 v?()?()和 a?(2)?(2).

dtdtdtdt你认为两种方法中哪种方法正确？

参考解答：

第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义，

??d?dx?dy??drv??(xi?yj)?i?j

dtdtdtdt?ddx?dy?d2x?d2y??dva??(i?j)?2i?2j

dtdtdtdtdtdtdxdy所以 v?()2?()2， a?dtdtd2x2d2y2(2)?(2). dtdt第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性

??0dr0dr?drd0??r?0为r方向的单位矢量）?)?r （r， v??(r?rdtdtdtdt??0?0drdrd2r?dvd2r0??2?a??2r?r.

dtdtdtdtdt2?0dr?? 问题的关键：dt??0didr?0,如果在第一种方法的讨论中，?0,那么 在第二种方法中，dtdt??0dr0drdr0?drd0??r?)??,则v?dr也成立！ r v?=??(r?rrdtdtdtdtdtdt?0dr?0必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据?0,则r注意：若

dt?0大质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)，质点作平面曲线运动，如图所示，r小不变，但方向改变！

?0dr?0,即第一种方法是错误的！ 所以dt

4

?0???drdi?0?i（显然i是大小与方向均不随时间改变的常矢量）??0,只有在直线运动中，rdtdtdrd2r速度的大小才等于.对加速度的大小a?也可以用同样方法加以讨论.

dt2dt

第2章 质点力学的运动定律 守恒定律

一、选择题

1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(B)，12(A)，13(D)

二、填空题

(1). ?2=12rad/s，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N2s

??(5). 2t3i?2tj (SI)

3(6). 16 N2s， 176 J (7). 16 N2s ，176 J (8). l0k/M，

Ml0k

M?nmM(9). 63.2 N

(10). (2 m，6 m)； (-4 m，2 m)和(6 m，8 m)； 2 m和6 m. 三、计算题

1. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x2，k是比例常数．设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小．

解：根据牛顿第二定律

kdvdvdxdv?m?m??mv 2dtdxdtdxxvA/4dxk∴ vdv??k,vdv??dx 22??mx0Amx12k413k v?(?)?2mAAmA∴ v?6k/(mA)

f??

2. 质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度．

解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv，由牛顿定律

5

?Kv?m∴ ?Kdvdt?,mvdv dttvKdv??dt??

mv0v0∴ v?v0e?Kt/m (2) 求最大深度 解法一：

dx dt dx?v0e?Kt/mdt

v?xt

?0dx?v0e?Kt/mdt

0?∴ x?(m/K)v0(1?e?Kt/m)

xmax?mv0/K

dvdvdxdv?Kv?m?m()()?mv解法二：

dtdxdtdxm∴ dx??dv

Kxmax0m ?dx???dv

K0v0

∴ xmax?mv0/K

3. 如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h＝0.5 mh 处，煤粉自料斗口自由落在A上．设料斗口连续卸煤的流量为qm＝40 kg/s，A以v＝2.0 m/s的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向．（不计相对传送带静止的煤粉质重）

解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度

y v?2gh

0?vA 设煤粉与A相互作用的?t时间内，落于传送带上的煤粉质量为 ?m?qm?t

fy?t ? 设A对煤粉的平均作用力为f，由动量定理写分量式： fx?t??mv?0 fy?t?0?(??mv0)

将 ?m?qm?t代入得 fx?qmv， fy?qmv0∴ f?

?f?t ??fx?t x

? f与x轴正向夹角为? = arctg (fx / fy ) = 57.4°

? 由牛顿第三定律煤粉对A的作用力f′= f = 149 N，方向与图中f相反．

6

fx2?fy2?149 N

4. 有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v水平地运动．忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：

(1) 若每秒有质量为qm=dM/dt的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v运动，需要多大的功率？

(2) 若qm=20 kg/s，v＝1.5 m/s，水平牵引力多大？所需功率多大？

解：(1) 设t时刻落到皮带上的砂子质量为M，速率为v，t+dt时刻，皮带上的砂子质量为M+dM，速率也是v，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F的冲量为：

Fdt?(M?dM)v?(Mv?dM?0)?dM?v ∴ F?vdM/dt?v?qm 由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F?，即F?=F．由于皮带匀速 运动，动力源对皮带的牵引力F″=F， 因而， F? =F，F?与v同向，动力源所供给的功率为：

P?F?v?v?vdM/dt?v2qm (2) 当qm＝dM/dt=20 kg/s，v＝1.5 m/s 时，水平牵引力

F?＝vqm=30 N 所需功率 P=v 2qm=45 W

5.一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂 一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为?．令链条由静止开始运动，则

(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？

解：(1)建立如图坐标.

某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为 l?a y y f??mg

????l?a a l摩擦力的功 Wf? =

?0l?afdy???l?a0mgydy l(l?a)2

112mv2?mv022

a ?mg2ly20l?a =??mg2lx

(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W＝

其中 ∑W = W P＋Wf ，v0 = 0

mgmg(l2?a2)xdx? WP =?Pdx=? ala2l?mg(l?a)2由上问知 Wf??

2lmg(l2?a2)?mg1?(l?a)2?mv2 所以

2l2l21g2222(l?a)??(l?a)得 v? lll??

7

6.小球A，自地球的北极点以速度v0在质量为M、半径为R的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系

?中轴OO＇与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO＇相交于距O为3R的C点．不考虑空气阻力，求小球A在C点

??的速度v与v0之间的夹角?．

?AmMOR v0CO＇?? v?

解：由机械能守恒：

2 1mv0?GMm/R?1mv2?GMm/(3R) ①

22根据小球绕O角动量守恒： Rmv0?3Rmvsin? ② ①、②式联立可解出． sin??v09v?12GM/R20

7.质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保持

?在原点不动．起初，当A离B很远( r = ∞)时，A具有速度v0，

方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D．粒子A由

D于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已

知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB．

解：A对B所在点的角动量守恒．设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v． DmAv0?mAvd， v?Dv0/d A、B系统机械能守恒(A在很远处时， 引力势能为零)

2 1mAv0?1mAv2?GmAmB/d

A v0dB?a?v

22解得 v2?v0?2GmB/d

22∴ mB?(D2?d2)v0/(2Gd)

???8. 一个具有单位质量的质点在随时间 t变化的力F?(3t2?4t)i?(12t?6)j (SI) 作用下运动．设该质点在t = 0时位于原点，且速度为零．求t = 2秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量．

??F?ma， 解： 以下各式均为SI式 m = 1

??????22 F?(3t?4t)i?(12t?6)j， a?(3t?4t)i?(12t?6)j

???∵ a?dv/dt，t = 0时，v0?0

tt????2∴ ?dv??adt??[(3t?4t)i?(12t?6)j]dt

?v???322 v?(t?2t)i?(6t?6t)j

???∵ v?dr/dt， t = 0时， r0?0

t??1423??32∴ r??vdt?(t?t)i?(2t?3t)j

430????????当t = 2 s时 r??4i/3?4j，v?12j, F?4i?18j

000 8

?????4???力矩 M0?r?F?(?i?4j)?(4i?18j)??40k

3????4???角动量 L0?r?mv?(?i?4j)?12j??16k

3

四 研讨题

1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？

参考解答：

汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（ 一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。

2. 冲量的方向是否与冲力的方向相同？

参考解答：

?t2????冲量是力对时间的积累，由动量定理：I??Fdt?P2?P ??P1t1??所以，冲量的方向和动量增量?P的方向相同，不一定与冲力F的方向相同。

3. 一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。

参考解答：

机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为m 的物体（例如一气球）静止在相对于地面为h的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为 mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。

在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为h处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能 E0=0，下落至地面时，物体具有速度的大小为v，动能为mv 2/2，动量的大小为 mv，系统的机械能为 E =mv2/2 ? mgh = E0=0.

9

4. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明．

参考解答：

不一定满足守恒条件．

?例如在水平面上以速度v0匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球．以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球＋地系统机械能守

?恒．若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为v，则小球

?????对地速度v??v0?v，v?与绳张力T不垂直，故小球摆动过程中绳

张力对小球要作功，这时小球＋地系统不满足机械能守恒条件．但在上述两个参考系（惯性系）中，动能定理和功能原理仍是成立的．

5. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？ 参考解答：

在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。

在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平向右的“重力场”中一样。根据Fi=m?2r，这“重力场”左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左（与水平“重力”方向相反）的“浮力”的作用而向左运动。

（忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动）

第2章 刚体定轴转动

一、选择题

1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题

(1). v ≈15.2 m /s，n2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l) (4). 5.0 N·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg2m2 (7). (8).

1Ma 2l11?mgl参考解：M＝?dM＝???gm/l?rdr??mgl

022 10

?J?mr??(9).

21J?mR2

(10).

??3gsin?/l

三、计算题

1. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量J?1mR2，其中m为圆形平板的质量） 2解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为

mg?2?r?rdr ?R2R2总摩擦力矩 M??dM??mgR

03 dM??故平板角加速度 ? =M /J

设停止前转数为n，则转角 ? = 2?n

2由 ?0?2???4?Mn/J

2J?02?3R?0/16π?g 可得 n?4?M

2. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为

R Mm1MR2，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速2度与时间的关系．

解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程

对物体： mg－T ＝ma ① 对滑轮： TR = J? ② 运动学关系： a＝R? ③ 将①、②、③式联立得 a＝mg / (m＋∵ v0＝0，

1M) 2 RT M ?T amg1∴ v＝at＝mgt / (m＋M)

2

3. 为求一半径R＝50 cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m1＝8 kg的重锤．让重锤从高2 m处由静止落下，测得下落时间t1＝16 s．再用另一质量m2=4 kg的重锤做同样测量，测得下落时间t2＝25 s．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．

解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR－Mf＝Ja / R ① mg－T＝ma ②

11

h＝

12at ③ 2 RT则将m1、t1代入上述方程组，得

a1＝2h /t12＝0.0156 m / s2 T1＝m1 (g－a1)＝78.3 N J＝(T1R－Mf )R / a1 ④ 将m2、t2代入①、②、③方程组，得

-

Tmg

2 a2＝2h /t2 ＝6.43103 m / s? T2＝m2(g－a2)＝39.2 N

J = (T2R－Mf)R / a2 ⑤

由④、⑤两式，得 J＝R2(T1－T2) / (a1－a2)＝1.063103 kg2m2

4. 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速

度成正比，即M＝－k? (k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为?0时所需的时间．

解：根据转动定律： ?????????????? ???? Jd? / dt = -k?????????????????????????????????????????????????? ∴ 两边积分：

12kdt

?J?0/21tk??0?d????0Jdt

??d?

得 ln2 = kt / J ∴ t＝(J ln2) / k

5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n1转动，他的两手各拿一个质量为m的砝码，砝码彼此相距l1 (每一砝码离转轴码离转轴为

1l1),当此人将砝码拉近到距离为l2时(每一砝21l2)，整个系统转速变为n2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中2自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)

解：(1) 将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W等于系统动能之增量：

W＝?Ek＝

112112(J0?ml2)4??n2?(J0?ml12)4?2n12 2222这里的J0是没有砝码时系统的转动惯量．

(2) 过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：

1212ml1) n1 = 2? (J0＋ml2) n2 222ml12n1?l2n2∴ J0?

2?n2?n1? 2?(J0＋

?? (3) 将J0代入W式，得 W??mn1n2l1?l2

12

2?22?6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙 水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求

O ?v0 m R (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为

1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 2

解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的角动量守恒．

1MR2＋mR2)? 2mv0 ??

?1??M?m?R?2? mv0R＝(

(2) 设?表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 Mf??R0r?g??2?rdr＝(2 / 3)???gR3＝(2 / 3)?MgR

设经过?t时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －Mf??t＝0－J?＝－(∴

1MR2＋mR2)?＝- mv 0R 2mv0Rmv0R3mv0 ?t? ???2/3??MgR2?MgMfv0 O

7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰

121L L L 1撞．碰撞点位于棒中心的一侧L处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬

2时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时

2v0 12的转动惯量为ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)

3

解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为

?3L/20?v0xdx??L/20?v0xdx??v0L2?mv0L

212式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为

1?3?3?1?1? J???m?L??m?L?3?4?2??4?2?因碰撞前后角动量守恒，所以 7mL?/12?22?72???mL?

12??1mv0L 2∴ ? = 6v0 / (7L)

13

8. 长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，

开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，m l摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．

(2) 细杆摆起的最大角度?．

解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为?，系统角动量守恒 得： J? = mv0l

由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能

O l?M

112mv0?J?2 22代入J＝Ml，由上述两式可得 M＝3m (2) 由机械能守恒式

1

3

2

1112mv0?mgl及 J?2?Mg?l1?cos?? 2221并利用(1) 中所求得的关系可得 ??arccos

3

四 研讨题

1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。

参考解答： 不能．

因为刚体的转动惯量

?r2i?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对

过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为

1mR2，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴2的转动惯量为零．

2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？

参考解答：

根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。

由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。

非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。

3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？

14

参考解答：

分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．

当质心平动的速度vc= 0而角速度? ?0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系．

dv解题：由质心运动定理:?Fr?mc

dt因Fr?? mg, 得 vc?vc0??g (1)

由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律M?I?

2d?, 得 ???0?3?gt (2) ?RFr?(mR2)3dt2R由(1),(2)两式可得 ???0?可得 ?0?

3vc. 2R这说明当vc= 0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．

3vc.?vc ??0 , 令 vc?0 ；2R第3章 狭义相对论

一、选择题

1(B)，2(C)，3(C)，4(C)，5(B)，6(D)，7(C)，8(D)，9(D)，10(C) 二、填空题 (1). c

-(2). 4.333108s

2(3).?? ?x/v , (?x/v)1?(v/c)

(4). c (5). 0.99c (6). 0.99c

-(7). 8.893108 s (8).

13c 2(9). v?3c/2，v?3c/2

(10). 931016 J, 1.531017 J 三、计算题

1. 在K惯性系中观测到相距?x = 93108 m的两地点相隔?t=5 s发生两事件，而在相对于K系沿x方向以匀速度运动的K＇系中发现此两事件恰好发生在同一地点．试求在K＇系中此两事件的时间间隔．

解：设两系的相对速度为v , 根据洛仑兹变换， 对于两事件，有

15

?x? ?t??x??v?t?21?(v/c)2?t??(v/c)?x?1?(v/c)2

由题意： ?x??0

可得 ?x = v ?t

?t??t?1?(v/c)2，

2由上两式可得 ?t???t1?(v/c)?((?t)2?(?x/c)2)1/2= 4 s

-2.在K惯性系中，相距?x = 53106 m的两个地方发生两事件，时间间隔?t = 102 s；而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K＇系中发生这两事件的地点间的距离?x＇是多少？

解：设两系的相对速度为v．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有 ?x? ?t??x??v?t?1?(v/c)?t??(v/c22

)?x?21?(v/c)由题意： ?t??0

可得 ?t?(v/c2)?x

2及 ?x???x1?(v/c)

由上两式可得 ?x??[(?x)2?(c2?t/c)2]1/2?[?x2?c2?t2]1/2= 43106 m

3. 一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0 =90 m，相对于地面以v?0.8 c (c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．

(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？

解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为

2 L?L01?(v/c)?54 m

则 ?t1 = L/v =2.253107 s

(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L0，则

- ?t2 = L0/v =3.753107 s

4. 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？

解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根

-

16

据时间膨胀公式?t??t`1?(v/c)22，可得时间间隔为?t`??t1?(v/c)= 4(s)．

5. 在惯性系中，有两个静止质量都是m0的粒子A和B，它们以相同的速率v相向运动，碰撞后合成为一个粒子，求这个粒子的静止质量M0．

???解：设粒子Ａ的速度为vA，粒子Ｂ的速度为vB，合成粒子的运动速度为V．由动量守恒得

1?v/c1?v/c1?V/c???因vA?vB?v1，且vA??vB，所以 V?0．

?m0vA2A2??m0vB2B2??M0V22

即合成粒子是静止的．由能量守恒得

m0c21?v2/c21?v2/c22m0解出 M0?

221?v/c?m0c2?M0c2

6. 两个质点A和B，静止质量均为m0．质点A静止，质点B的动能为6m0c2．设A、B两质点相撞并结合成为一个复合质点．求复合质点的静止质量．

解：设复合质点静止质量为M0，运动时质量为M．由能量守恒定律可得 Mc2?m0c2?mc2 其中mc2为相撞前质点B的能量． mc2?m0c2?6m0c2?7m0c2 故 M?8m0 设质点B的动量为pB，复合质点的动量为p．由动量守恒定律 p?pB

利用动量与能量关系，对于质点B可得

222424 pBc?m0c?m2c4?4qm0c

对于复合质点可得 Pc?M0c?Mc?64m0c

2222由此可求得 M0 ?64m0?48m0?16m022242424 M0?4m0

四 研讨题

1. 相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？

参考解答：

牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。

牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的近似。 牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换

x??x?vt,y??y,z??z,t??t.

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狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换

vt?2xc. x??x?vt,y??y,z??z,t??v2v21?21?2cc比较上述两个变换式可知，在低速时，即v ??c时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。

2. 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？

参考解答：

同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。

这个结论与光速不变原理紧密相联。

设相对运动的惯性系是S(x0y)和S?(x?0?y?)，坐标系和相对运动如图所示，坐标原点0和0?重合时设为t?t??0。

由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为

v?t?2?xc ?t?? 2v1?2c如果在S系中两事件同时发生，即?t?0，那么在S?系中两事件的时间间隔

v?2?x ?t??c2v1?2c与两事件在S系中发生的空间间隔?x有关。当?x?0时，?t??0。即两事件在S?系中不同时发生。

如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。即洛仑兹变换中的

v2v?0. 2?0,2cc则 ?t???t，就不再有同时的相对性。

3. 在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测都将是同时发生的，对吗？这里的参考系均指惯性系。

参考解答： 对的。

如果S系和S?系是相对于运动的两个惯性系。设在S?系中同一地点、同一时刻发生了

??x1??0,?t??t2??t1??0. 两个事件，即?x??x2将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中

18

v??x1?)(x22c ?t?t2?t1?

2v1?2c则可得 ?t?t2?t1?0，说明在S系中也是同时发生的。

这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。

?t??4. 静长L 0的火车以匀速v行驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止；乙是火车上的观测者，相对于火车静止. 甲观测到的长度L?L01?v2/c2< L0 ，即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩. 试从另一个角度来看长度收缩问题,即被测量者如何看待别人的测量,并讨论产生不同看法的原因.

参考解答：

当火车以匀速v行驶时,甲是地面上的观测者,相对于地面静止;乙是火车上的观测者,相对于火车静止. 以地面为S系,沿火车速度方向取x轴;以火车为S′系,沿火车速度方向取x′ 轴.甲是这样测量运动中的火车长度的：在S系的同一时刻（t2 = t1）,在地面划下火车前端A的位置x2和后端B的位置x 1 (如图1所示),然后测量x2和x1之间的距离L, 这就是甲测出的运动中的火车长度,即

L?x2?x1????(1) 对乙来说,火车是静止的,火车前端A的位置x′2和后端B的位置x′1之间的距离就是火车的静长

??x1?L 0 ,即 L0?x2????(2)

v2且 L?L01?2c????(3)

因v < c ,故由式(3)得出L < L0 , 即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩。 乙是如何看待上述甲的测量呢? 乙观测到, 甲在t′2时刻在地面上划下火车前端A的位置x2 , 在t′1时刻在地面上划下火车后端B的位置x1,由洛伦兹变换

v??t?x 2?22?c?1?v/c?1v????t1??有 t2(t?t)?(x?x)2121? 222?c??1?v/ct??11?v/c这个结果表明：t′2在先，t′1在后.也就是说,在乙看来,甲并不是同时划下火车前后端的位置的,而是先( t′2时刻) 划下火车前端A的位置x2 ,后( t′1时刻) 划下火车后端B的位置x1, 如图2所示.所以,乙认为,甲少测了一段长度,这段长度为

??t2?)?L?v(t1????(4) 将式(3)代入式(4)得

v2?L?2L0????(5)

c

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??t1???t2v/c222L??vL0?0c2????(3) 因此,乙认为,甲所测量的不是火车的长度, 而是比 火车短ΔL的某一长度：

L*?L0??L????(6)

将式(5)代入式(6)得

?v2?* L???1?c2??L0

??乙还观测到,地面上沿火车进行方向的尺缩短了,缩短的因子为1?v2/c2, 于是乙推知, 甲所观测到的火车长度应为

L*v21?2c这正是甲测得的结果. 由以上的分析可见,在S系看来,甲的观测是正确的,火车的长度收缩是真实的. 在S′系看来,火车的长度是L0 ,并没有收缩, 而是甲的观测方法有问题(先测前端, 后测后端), 甲少测了一段长度ΔL ,加上甲的尺缩短了,两种因素合在一起,使甲得出火车长度收缩的结论.

v2?1?2L0

c第4章 振动

一、选择题

1(C)，2(B)，3(B)，4(C)，5(C)，6(D)，7(B)，8(D)，9(B)，10(C) 二、填空题

(1). ?、-?? /2分、???． (2). 2?2m/k、2?m/2k (3). x?0.04cos(?t?1?) ?

2(4). 0.04cos(4?t?1?)

2(5). x?2?10?2cos(5t/2?1?)

2(6). 0.05 m，-0.205?（或-36.9°） (7). 3/4，2??l/g

(8). 291 Hz或309 Hz

(9). 13102 m，?/6

-

13(10). 0.06cos?t，0.03cos(?t??) 或 0.03cos(πt?π)

22三、计算题

1．在一轻弹簧下端悬挂m0 = 100 g砝码时，弹簧伸长8 cm．现在这根弹簧下端悬挂m = 250

g的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm，并给以向上的21 cm/s的初速度（令这时t = 0）．选x轴向下, 求振动方程的数值式．

解： k = m0g / ?l ?0.1?9.8N/m?12.25 N/m

0.08 20

= ?k = ? （取k = 1） h(1?cos2?)?1?sin? 22①②D??∵ cos2??1?2sin? ∴ 2hsin??1? 2?O′?Ph

sin???/(4h)?0.105 ? = 6°

5. 设入射波的表达式为 y1?Acos2?(x??t)，在x = 0处发生反射，反射点为一固定T端．设反射时无能量损失，求

(1) 反射波的表达式；

(2) 合成的驻波的表达式； (3) 波腹和波节的位置．

解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变?，且反射波振幅为A，因此反 射波的表达式为 y2?Acos[2?(x/??t/T)??]

(2) 驻波的表达式是 y?y1?y2 ?2Acos(2?x/?? (3) 波腹位置： 2?x/??11?)cos(2?t/T??) 221??n?, 211 x?(n?)?, n = 1, 2, 3, 4,?

2211 波节位置： 2?x/????n???

221 x?n? , n = 1, 2, 3, 4,?

2

?26. 一弦上的驻波表达式为 y?3.00?10(co1s.6?x)co5s5?0t (SI)．

(1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅及波速； (2) 求相邻波节之间的距离；

- (3) 求t = t0 = 3.003103 s时，位于x = x0 = 0.625 m处质点的振动速度．

解：(1) 将 y?3.00?10cos1.6?xcos550?t 与驻波表达式 y?2Acos(2?x/?)cos(2??t) 相对比可知：

- A = 1.503102 m, ? = 1.25 m， ? = 275 Hz 波速 u = ?? = 343.8 m/s (2) 相邻波节点之间距离 ?x??21?= 0.625 m 226

(3) v??y??46.2 m/s ?tx0,t0

7. 如图7所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密媒质 B 入射 的反射面．波由P点反射，OP = 3? /4，DP = ? 6．在t = 0时，

x O D P 反射 C

O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D点处入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为A，频

图7 率为?．）

解：选O点为坐标原点，设入射波表达式为 y1?Acos2[?(?t?x/?)??] 则反射波的表达式是 y2?Acos[2?(?t?OP?DP?x合成波表达式（驻波）为 y?2Acos(2?x/?)cos(2??t??) 在t = 0时，x = 0处的质点y0 = 0， (?y0/?t)?0， 故得 ???)????]

1? 2?)cos(2??t?)?3Asin2??t

2因此，D点处的合成振动方程是

y?2Acos(2?3?/4??/6?

8. 一弦线的左端系于音叉的一臂的A点上，右端固定在B点，并用T = 7.20 N的水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒50次的简谐振动（如图）．这样，在弦线上产生了入射波和反射波，

B O 并形成了驻波．弦的线密度? = 2.0 g/m， 弦线上的质点离开

A L 其平衡位置的最大位移为4 cm．在t = 0时，O点处的质点经

过其平衡位置向下运动，O、B之间的距离为L = 2.1 m．试求： (1) 入射波和反射波的表达式； (2) 驻波的表达式．

解：按题意，弦线上行波的频率??= 50 Hz，波速u = (T/?)1/2 = 60 m/s，波长? = u/? = 1.2 m. 取O点为x轴和y轴的原点．x轴向右，y轴向上．令入射波在B点的初相为?B?1?，则2?(x?L)??B?] ① ?22??[??t?(x?L)??B?] ② B点为固定点，则反射波的表达式为 y2?Acos2?22??(x?L)?]cos[2??t??B] ③ 弦线上驻波表式为 y?y1?y2?2Acos[?22??L?]cos[2??t??B] 据此，O点振动方程为 y0?2Acos[??2由L/??7/4有 y0??2Acos(2?vt??B)?2Acos(2?vt??B??) [??t?其表达式为 y1?Acos2

27

2?④

由③式可知弦线上质点的最大位移为2A，即 2A = 4 cm 再由题给条件可得④式中 ?B???由此可得：

13?， 即 ?B?? 22?x??] (SI) 0.62?x??2[00?t??] (SI) 反射波： y2?2.0?10cos10.62?x??2cos(100?t?) (SI) 驻波： y?4.0?10cos0.62 入射波： y1?2.0?10?2cos[100?t?

9．一声源S的振动频率为?S = 1000 Hz，相对于空气以vS = 30 m/s的速度向右运动，如图．在其运动方向的前方有一反射面M，它相对于空气以v = 60 m/s的速度向左运动．假设声波在空气中的传播速度为u = 330 m/s，求：

(1) 在声源S右方空气中S发射的声波的波长； (2) 每秒钟到达反射面的波的数目； (3) 反射波的波长．

SvSvM

解：(1) 设一接收器R静止于空气中，声源S以vS速率接近接收器R，则由多普勒效应公式可知，R接收到的声波频率

u330?S??1000?1100 Hz u?vS330?30则 ??u/??330/1100 = 0.30 m

(2) 每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于反射面处接收到的波的频率??．由多普

??勒效应公式有： ???u?v330?60?S??1000?1300 Hz u?vS330?30 (3) 接收器接收到反射面的反射波的频率

u?? u?vuu?v330?60反射波的波长 ?R????0.21 m

?R??1300 ?R?

四 研讨题

1. 波传播时，介质的质元并不随波迁移。但水面上有波形成时，可以看到漂在水面上的树

叶沿水波前进的方向移动。这是为什么？ 参考解答：

如图所示，当水面上有波形成时，表面上水的质元是在平行于波传播方向的竖直平面内做圆周运动（不是上下的简谐运动）。这是因为，水波传过时，波峰处的水面比原来高了，波谷处的水面比原

28

来低了，波峰处增加的水量必定是由临近的波谷处移来的。 这样，水面上的质元就有了沿水波传播方向的纵向振动，纵向振动和横向振动的合成就使得水面质元做圆周运动。

正是由于水面质元的圆周运动（或说是由于质元有沿水波传播方向的纵向振动），使得水面上的树叶等漂浮物沿水波前进的方向移动。

2. 如果地震发生时，你站在地面上，先感到哪种摇晃？

参考解答：

地震波在地球内部的传播有纵波（P 波）和横波（S 波）两种形式，并且纵波（P波）的传播速度比横波（S波）的传播速度快（前者的速度在地壳内是 5 km /s，在地幔深处是14 km /s，而后者的速度是 3 km /s～ 8 km /s）。当地震发生时，如果人站在震源正上方的地面上，会感觉到先上下颠（纵波引起的感觉）然后横向摇（横波引起的感觉），这中间的时间差在日本被称为“自救时间”.

3. 为什么在没有看见火车也没有听到火车鸣笛的声音的情况下，把耳朵贴靠在铁轨上可以判断远处是否有火车驶来？

参考解答：

从传播速度来看，声波在铁轨中的传播速度远远大于声波在空气中的传播速度。低碳钢棒中纵波的速度为5200 m /s，而空气中纵波的速度为331 m /s. 从声音的强度来看，因为波的强度为

I?1?u?2A2 2其中，铁轨的密度ρ及u都分别远远大于空气的ρ及u，在ω，A分别相同的情况下，铁轨中传播的声波的强度也远比空气中声波的强度大。

综合以上两个因素可知，把耳朵贴靠在铁轨上就容易判断出远处是否有火车驶来。

4. 沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，具体位相差的公式是：???2???x,请分

析相位干涉仪如何利用这一特征，测定来波方向.

参考解答：

相位干涉仪就是利用这一特征，测定来波的方向。

在军事上常常需要确定雷达信号的来波方向,称为无源测向. 相位干涉测向仪是一种常用的测向系统,其基本结构与工作原理如图所示.两个天线单元A和B相隔一定距离d,水平放置，当雷达电磁波平行传输过来，到达A天线比到达B天线多经过的路程为：

a?dsin? 式中θ是来波方向与天线轴线的夹角,也就是方位角. 则两天线信号的相位差为： ???2??a?2?d?sin?

式中λ是雷达信号的波长. 相位干涉仪一般采用超外差接收机,首先确定信号波长λ,然后根据测出的A、B 天线信号的相位差

29

Δφ,就可以利用上式计算出方位角θ.

5. 利用干涉原理制成干涉消声器可以降低内燃机、压缩机等排放高速气流时产生的低频噪声,请查阅资料说明干涉消声器控制噪声的工作原理.

参考解答：

利用干涉原理制成干涉消声器可以降低内燃机、压缩机等排放高速气流时产生的低频噪声,其原理如图所示.

波长为λ的声波沿管道向右传播,在A处分成两束相干波,它们分别通过r1和r2的路程后再在B处相遇,若Δr = r2 - r1 恰好等于声波半波长λ/2 的奇数倍,则干涉相消,从而达到控制噪声的目的.为了使这类消声器在

低频范围内具有较宽的消声频率,一般将多个这样的消声单元串联起来,并且使每一个单元的Δr不等,就可以对不同波长的噪声加以控制.

第6章 光的干涉

一、选择题

1(C)，2(A)，3(C)，4(B)，5(A)，6(B)，7(B)，8(C)，9(C)，10(D) 二、填空题

(1). 使两缝间距变小；使屏与双缝之间的距离变大. (2). DN (3). 0.75

(4). 3?，1.33 (5). ?(2L) (6). 113

(7). d0 d0－? (8). r12/r22 (9). 2(n – 1)h (10).

?2L(N2?N1)

三、计算题

-1. 在双缝干涉实验中，波长?＝550 nm的单色平行光垂直入射到缝间距a＝23104 m的双缝上，屏到双缝的距离D＝2 m．求：

(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；

- (2) 用一厚度为e＝6.63105 m、折射率为n＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移

-到原来的第几级明纹处？(1 nm = 109 m)

解：(1) ?x＝20 D? / a＝0.11 m

(2) 覆盖云玻璃后，零级明纹应满足 (n－1)e＋r1＝r2 设不盖玻璃片时，此点为第k级明纹，则应有r2－r1＝k? 所以 (n－1)e = k?

k＝(n－1) e / ?＝6.96≈7

零级明纹移到原第7级明纹处

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2. 在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别 S1 为l1和l2，并且l1－l2＝3?，?为入射光的波长，双缝之间的距l1 d 离为d，双缝到屏幕的距离为D(D>>d)，如图．求：

S0 l 2S (1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离． D 2(2) 相邻明条纹间的距离．

解：(1) 如图，设P0为零级明纹中心 则 r2?r1?dP0O/D (l2 +r2) ? (l1 +r1) = 0

∴ r2 – r1 = l1 – l2 = 3? ∴

P0O?D?r2?r1?/d?3D?/d

(2) 在屏上距O点为x处, 光程差

??(dx/D)?3? 明纹条件 ???k? (k＝1，2，....)

xk???k??3??D/d 在此处令k＝0，即为(1)的结果．相邻明条纹间距

?x?xk?1?xk?D?/d

l1 s0 l2 s1 d s2 r1 r2 屏 O

x P0 O D

3. 在折射率n＝1.50的玻璃上，镀上n?＝1.35的透明介质薄膜．入射光波垂直于介质膜表面照射，观察反射光的干涉，发现对?1＝600 nm的光波干涉相消，对?2＝700 nm的光波干涉相长．且在600 nm到700 nm之间没有别的波长是最大限度相消或相长的情形．求所镀

-介质膜的厚度．(1 nm = 109 m)

解：设介质薄膜的厚度为e，上、下表面反射均为由光疏介质到光密介质，故不计附加程差。当光垂直入射i = 0时，依公式有： 对?1： 2n?e?1?2k?1??1 ① 2n?=1.35按题意还应有： n = 01.00对?2 2n?e?k?2 ② 由① ②解得： k?2??2?1 e 1.50 ?3 n =??1?

将k、?2、n?代入②式得 e?k?2-＝7.783104 mm 2n?

-4. 用波长为?＝600 nm (1 nm＝109 m)的光垂直照射由两块平玻璃板构成的空气劈形膜，劈

-尖角?＝23104 rad．改变劈尖角，相邻两明条纹间距缩小了?l＝1.0 mm，求劈尖角的改变量??．

解：原间距 l1＝? / 2?＝1.5 mm 改变后， l2＝l1－?l＝0.5 mm ??改变后， ?2＝? / 2l2＝6310-4 rad

- ??＝?2－?＝4.03104 rad

5. 用波长为?1的单色光照射空气劈形膜，从反射光干涉条纹中观察到劈形膜装置的A点处是暗条纹．若连续改变入射光波长，直到波长变为?2 (?2＞?1)时，A点再次变为暗条纹．求A点的空气薄膜厚度．

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解：设Ａ点处空气薄膜的厚度为ｅ，则有

11?1?(2k?1)?1,即2e?k?1 22改变波长后有 2e?(k?1)?2

2e?∴

k?1?k?2??2,k??2/(?2??1) ∴ e?

6. 一平凸透镜放在一平晶上，以波长为?＝589.3 nm(1nm =10m)的单色光垂直照射于其上，测量反射光的牛顿环．测得从中央数起第k个暗环的弦长为lk＝3.00 mm，第(k＋5)个暗环的弦长为lk+5＝4.60 mm，如图所示．求平凸透镜的球面的曲率半径R．

解：设第k个暗环半径为rk，第k＋5个暗环半径为rk+5，据牛顿环公式有 rk2?k?R , rk2?5??k?5??R

－9

11k?1??1?2/(?2??1) 22 第(k+5)暗环 第k暗环 O rk+5 d rk lk lk+5

rk2?5?rk2?5?R

R?rk2?5?rk2/5?

???1??1?由图可见 r?d??lk?, rk2?5?d2??lk?5?

?2??2?2k222?1??1?∴ r?r??lk?5???lk?

?2??2?22∴ R?lk?5?lk/?20??＝1.03 m．

2k?52k22??

7. 在如图所示的瑞利干涉仪中，T1、T2是两个长度都是l的气室，波长为?的单色光的缝光源S放在透镜L1的前焦面上，在双缝S1和S2处形成两个同相位的相干光源，用目镜E观察透镜L2焦平面C上的干涉条纹．当两气室均为真空时，观察到一组干涉条纹．在向气室T2中充入一定量的某种气体的过程中，观察到干涉条纹移动了M条．试求出该气体的折射率n (用

S?L1S1T1L2CEOS2T2 l

已知量M，?和l表示出来）．

解：当T1和T2都是真空时，从S1和S2来的两束相干光在O点的光程差为零．

当T1中充入一定量的某种气体后，从S1和S2来的两束相干光在O点的光程差为(n – 1)l． 在T2充入气体的过程中，观察到M条干涉条纹移过O点，即两光束在O点的光程差改变了M?．故有

(n－1)l－0 = M? n＝1＋M? / l．

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四 研讨题

1. 如果S1和S2为两个普通的独立的单色线光源，用照相机能否拍出干涉条纹照片？如果曝光时间比10-8s短得多，是否有可能拍得干涉条纹照片？

参考解答：

如果S1和S2为两个普通的独立的单色线光源，用照相机不能拍得干涉条纹照片；如果

-8

曝光时间比10s短得多，有可能拍得干涉条纹照片。

所谓干涉就是在观察的时间内，叠加区有一稳定的强度分布。一般的实验中观察时间都

-8

远比原子发光的时间10s长得多，所以要维持各点强度稳定，就得要求叠加区内各点每时刻相遇的两条光线除了频率相同、振动方向相同之外，还必须相位差恒定。

由发光的特点可知，在我们观察的时间内，两个独立光源不可能保证两条光线在确定的点有恒定的相位差。但每时刻，两独立光源发出的两条光线在各点都有一定的相差，即有一确定的谐振叠加结果，只不过在观察的时间内，各种合成结果都会出现，从而得到的观察结果是非相干的。

用普通相机只能拍得平均结果，所以无法拍得两个独立的光源的“干涉条纹”照片。 如果曝光时间比10-8s短得多，即短到一个原子一次发光的时间，那么就把两个原子发光的某一次的叠加结果记录下来，当然就有一个确定的强度分布。因此可以说，这样的相机有可能拍得干涉条纹。

2. 用白色线光源做双缝干涉实验时，若在缝S1后面放一红色滤光片，S2后面放一绿色滤光片，问能否观察到干涉条纹？为什么？

参考解答：

不能观察到干涉条纹。

判断是否能看到干涉条纹应从两个方面考虑。 首先是产生相干叠加的条件，即相干光必须频率相同，在叠加区必须有振动方向相同的分量及有恒定的相位差。

22其次还要从技术上考虑，如对两光强之比（及两光束光强之比R?I1/I2?A1）、/A2光源的非单色性及光源的线度等都有一定的要求，以保证获得清晰的干涉条纹。 若在两个缝上分别放置红色和绿色滤波片，不满足频率相同的相干条件，所以不可能看到干涉条纹。

3. 在煤矿的井下生产中,即时准确地监测井下气体的甲烷浓度变化,对确保安全生产极其重要.请利用所学的知识设计一检测仪监测矿井甲烷浓度.

参考解答：

介绍瑞利干涉仪监测矿井甲烷浓度。

在煤矿的井下生产中,即时准确地监测井下气体的甲烷浓度变化,对确保安全生产极其重要. 根据甲烷和纯净空气的折射率不同,运用双光束干涉,通过观察干涉条纹的变化,可以实现对井下空气中甲烷浓度的监测.

瑞利干涉仪的结构如图所示,S为狭缝光源,经透镜L1后成为平行光,再由双缝S1、S2 分离出两束相干光,分别让它们通过长度相等的两个气室T1、T2 后,由透镜L2 会聚到其焦平面上形成干涉条纹. 若

两气室T1、T2内气体相同,则两束光在0点处干涉相长,形成零级明条纹. 若将气室T1内充入

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纯净空气,其折射率用n0表示;将气室T2内充入井下气体,其折射率用n′ 表示,则两束光到达0点的光程差为：

??n?L?n0L?(n??n0)L?k?????(1)

式中,L为气室的长度；λ为光的波长；k为0点处干涉明条纹的级次. 假设井下气体中甲烷浓度为x %,则其折射率n′与纯净空气的折射率n0以及纯甲烷气体的折射率n有如下关系：

n??n将其整理为

x100?x ?n0100100x100????(2)

n??n0?(n?n0)由式(1)和式(2)可得: x?100k?

(n?n0)L即为0点处干涉明条纹的级次k与气室中井下气体的甲烷浓度x%之间的关系式. 实际应用中,需要使两气室内的气体具有相同的压强和温度,利用读数显微镜可较方便地确定0处干涉明条纹的级次k ,在已知波长λ和纯净空气折射率n0以及纯甲烷气体的折射率n的情况下,即可计算出井下气体的甲烷浓度.

4. 薄膜尤其是光学薄膜厚度测控技术不断完善,就其测量原理而言,主要有光电极值法、干涉法、石英晶体振荡法椭偏仪法，请查阅相关文献说明薄膜厚度测控技术中的干涉法的物理原理。

参考解答：

干涉法是纯光学方法的主要内容，比如测量玻璃基底上的膜层厚度, 就可采用迈克尔逊干涉仪来测量，在迈克尔逊干涉仪的基本光路中,将固定反射镜置换成待测样品（右上图）,并与另一反射镜形成楔状空气劈而产生等厚干涉。由于是台阶状样品,因而产生的干涉条纹（右下图），当膜厚增加半波长时,两组干涉条纹便错动一个条纹宽度,因此膜厚可表示为：

?b??d???m?

?a?2式中?为单色光波长,a为干涉条纹宽度,b为两组条纹错开的距离,m为错开的条纹数目取值为零或正整数。

考虑到光束在玻璃和薄膜上反射,相位改变并不相同,因此上式应写为：

?b???2???m? d???12??a?2式中?1和?2分别为玻璃和薄膜的相位变化，对玻璃而言?1 = ?. 在测量时不必确定?2,只需根据前一式子,用两个不同波长的单色光分别测定a、b值而得到d.

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第7章 光的衍射

一、选择题

1(D)，2(B)，3(D)，4(B)，5(D)，6(B)，7(D)，8(B)，9(D)，10(B) 二、填空题

(1)． 1.2mm，3.6mm (2)． 2， 4 (3)． N 2(5)． 5 (6)． 更窄更亮 (7)． 0.025

(8)． 照射光波长，圆孔的直径 (9)． 2.243104

-，

N

(4)． 0，±1，±3，.........

(10)． 13.9 三、计算题

1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长?1和?2，垂直入射于单缝上．假如

?1的第一级衍射极小与?2的第二级衍射极小相重合，试问 (1) 这两种波长之间有何关系？

(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

asin?1?1?1 asin?2?2?2 由题意可知 ?1??2 , sin?1?sin?2

?1?2?2

(2) asin?1?k1?1?2k1?2 (k1 = 1, 2, ??) sin?1?2k1?2/a

asin?2?k2?2 (k2 = 1, 2, ??) sin?2?k2?2/a

代入上式可得

若k2 = 2k1，则?1 = ?2，即?1的任一k1级极小都有?2的2k1级极小与之重合．

-2. 波长为600 nm (1 nm=109 m)的单色光垂直入射到宽度为a=0.10 mm的单缝上，观察夫琅

禾费衍射图样，透镜焦距f=1.0 m，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度? x0； (2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x2

解：(1) 对于第一级暗纹，

有a sin? 1≈?

因? 1很小，故 tg?? 1≈sin? 1 = ? / a

故中央明纹宽度 ?x0 = 2f tg?? 1=2f? / a = 1.2 cm

(2) 对于第二级暗纹， 有 a sin? 2≈2?

x2 = f tg?? 2≈f sin?? 2 =2f ? / a = 1.2 cm

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