物理那个资料(1)

第四章 波动方程

描写任意时刻任意质点（质元）振动状态的函数方程叫波动方程，也叫波函数。波动方程或称波方程是一种重要的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。

将平面简谐波方程对坐标求二次偏导，得

??x?l???2y?2??A2cos???t????0? 2???x??????将平面简谐波方程对时间求二次偏导，得

??x?l???2?2???A?cos???t???0? ??2???t???对比以上两式，得

?2y1?2y?22 2 ——波动方程 ?x??t

可以证明，上面方程的解即为沿x轴传播的波。

?2y1?2y简单证明波动方程2?2的通解为y(x,t)=f(x-?t)+?(x+?t) 2?x??t 第一项f(x-?t)描写了沿x轴正向以?传播的波。 第二项?(x+?t) 描写了沿x轴负向以?传播的波。

一般地，只要任意物理量满足上述波动方程，它一定能在空间中以波的形式传播。且?为波速。

第五章 波的能量

1.波的能量

所有波动都携带能量。例如，弹性媒质中的机械波把某处媒质质点的振动传给波阵面前方原来是静止的媒质质点，就意味着波带有动能和势能。通常，用波内单位体积所具有的能量来量度波所携带的能量，称为波的能量密度.理论推导表明，弹行行波的平均能量密度是与媒质质点的密度、振幅的平方以及频率的平方成正比的。在单位时间内通过垂直于波矢的单位面积所传递的能量称为波的强度或能流密度，它等于波的能量密度与波的传播速度的乘积。

波的传播过程就是振动的传播过程。波到哪里，哪里的介质就要发生振动，因而具有动能；同时由于介质元的变形，因而具有势能，因此波传到哪里，哪里就有机械能。这些机械能来自于波源。可见，波的传播过程即是振动的传播过程，又是能量传递过程。在不传递介质的情况下而传递能量是波动的基本性质。

介质的动能与势能之和称为波的能量。 （1）动能——在介质中取微小体积DV,得动能 EK=???121x?mv=?A2?2sin2????t???0?dV ??22?????(2)势能——可以证明，势能与动能相等 ?1x?222??V=?A?sin????t??????0?dV 2????(3)总能 E=?A2?2sin2????t??????x????0?dV ????（4）能量密度 W=?x?dE22???t???=?A2?sin???0? ??dV?????平均能量密度w=1?A2? 22.波的能流密度 定义波的能流密度单位时间内通过垂直于波的传播方向上单位面积的能量。 ??s?w? s?w? 另外的补充（红色字体） 设：媒质密度为 ， 表示体元的体积。则该体积的动能为： (1)

2 、势能

又由

体元的 剪切应变 为： ，所以：体元剪切应变势能为：

(2)

又因为横波： ，所以有：

(

(1) 和 (

) 式比较：得：

)

。即：体元的动能和势能具有相同的数值，同时

达最大或最小。 3 、总能

因此， 某体元的总能等于两者之和 ：即：

(3)

由（ 3 ）式可知：某体元的总能为空间和时间的函数。

注意 ：波动过程中体元势能是由于体元的形变而为体元所有。

4 、能量密度 ：单位体积媒质所有的能量 , 用 表示，由（ 3 ）式知：

平均能量密度 ：能量密度在一周期内的平

均值

：

平均能流密度

媒质中体元的能量由振动状态决定，而振动状态又以波动传播，所以能量也以波速传播。现取波面上一面元 的能量为：

，则，在一周期内体积为

的柱体内的能量均得流过该面元，流过

，则：单位时间通过单位面积的能量：

定义 ：平均能流密度：大小等于单位时间内通过与波传播方向面积的能量，方向沿波传播方向，是一矢量，符号“ ” :

(5)

即： 平均能流密度的大小等于平均能量密度与波速 的乘积 。

单位： , 或：

，对应的平均能流密度为

, 则：

例 ：一球面波，不计媒质吸收的能量，设波面 单位时间内通过不同波面的能量相同，即：

即： 球面波各体元的振幅和该点到波源的距离成反比 。

波在传播时，介质中各质元都在各自的平衡位置附近振动，因而具有动能，同时介质要产生形变，因而具有弹性势能。介质的动能与势能之和称为波的能量。质元的振动动能为

(推导）

同时，质元因发生弹性形变而具有弹性势能。可以证明，质元的弹性势能为

质元的总能量为其动能与势能之和，即

由上式及波的能量分布图可以总结出波的能量的特点。 单位体积中波的能量。

在波传播的介质中，可用能量密度描述介质中各处能量的分布情况，由上式可给出能量密度为

在介质中某一地点(即一定)，介质的能量密度随时间t作周期性变化。而该处介质在一个周期内的平均能量密度则为

上式表明，对平面波来说，波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质的密度三者成正比。

波的能量来自波源，能量流动的方向就是波传播的方向。能量传播的速度就是波速，为了描述波的能量传播，常引入能流密度的概念。单位时间内通过介质中某一面积的平均能量，叫做通过该面积的平均能流。在单位时间内平均通过面积S的能量为

（推导）

单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积上的平均能量，称为能流密度，通常以表示。 在单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积上的平均能量，称为能流密度，以由上两式得

表示，

能流密度矢量常称为坡印廷矢量，即 上式当中，位是

是介质的密度，是波速，是振幅， 是波的角频率。能流密度 I 的单

确定)

。上式说明，在均匀介质(即 、一定)中，从一给定波源(即

发出的波，其能流密度与振幅的平方成正比。能流密度是一矢量(常称为坡印廷矢量)，它的方向即为波速的方向。故上式可写成如下的矢量形式： 声波的能流密度，叫做声强。

能流密度越大，单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的能量越多，波就越强，所以能流密度是波的强弱的一种量度，因而也称为波的强度。例如声音的强弱决定于声波的能流密度（声强）的大小；光的强弱决定于光波的能流密度（称为光强度）的大小。

由于波的强度与振幅有关，因此当平面简谐波在介质中传播时，若介质是均匀的，且不吸收波的能量，则其振幅将保持不变。但是，对球面波来说，情况就不同。

当弹性波在介质中传播时，介质中的质元在平衡位置附近振动，因而具有动能，同时该处的介质也将产生形变，因而也具有势能。波动传播时，介质由近及远地开始振动，能量也源源不绝地向外传播出去。波在传播中携带着能量，能量随同波一起传播，这是波动的重要特征。在本知识点中，我们以平面简谐纵波在棒中传播的特殊情况为例，对能量的传播作简单说明。

在棒中任取长度为Δx，截面为S，体积为

=SΔx的体积元。体积元的质量为

，r为棒的质量体密度)，在不引起混淆的时候，我们也常把它简称为质

元。当波动传播到这个质元时，这质元将具有动能谐波的表式为

和弹性势能

，设棒中平面简

质元的动能是

由于质元的振动速度为

代入上式即得

对质元的势能的分析要复杂一些，可以证明（过程可以参考相关书籍），质元的动能和势能相等，即有：

而质元的总机械能W即波能为

波能表现出特殊的规律，即它的任何一个质元的动能和势能相等，它们同时达到最大，同时为零，是一种同相的关系。其必然结论是质元的机械能不守恒。在简谐振动中，谐振子

的动能最大时势能最小，势能最大时

波传播时的体积元的变形 动能最小，二者相位相反因而机械能

守恒。在简谐波中每一个质元都在进行简谐振动，为什么它的动能和势能会始终相等，机械能不守恒呢？首先，波动中的质元的模型和谐振子的模型不同。以弹簧振子为例，弹簧振子的动能集中在没有弹性的小球上，而势能却集中在没有质量的弹簧上，而波动中的质元却既有质量又有弹性，动能和势能都集中在它的身上。如果把质元当作小球，把旁边的其它质元当作弹簧，则模型本身就有误了。其次是它们运动的外在条件不同。我们前面讨论的谐振子是孤立系统，没有外力对它作功，因而它的机械能守恒。而波动中的任何一个质元都不是孤立的，在波传播的过程中，质元的前后两个截面上都有外力做功，而且两个外力还有相位差，即功率不相同。当输入大于输出时，质元的机械能增加，当输出大于输入时，质元的机械能减少。由于波动的周期性，这种增加和减少也呈周期性的规律，因而质元的机械能也呈周期性的变化，不是一个守恒量。

进一步讲，与势能相关的是介质的相对形变，质元的势能与相对形变的平方成正比。质元的长度是Δx，伸长为Δy，因而质元的相对形变为

。借助于波形曲

也

)

线(如上图)不难看出：在P点，速度为零，质元的动能为零；同时曲线斜率

为零，即相对形变为零，所以质元的弹性势能也为零。在Q处，速度最大，动能最大，

同时波形曲线较陡，有最大值，所以弹性势能也最大。可见质元的动能和势能

确实是同相的。

质元的动能和势能相等，机械能随时间而在零和最大值之间周期地变化着，这说明它在不断地接受和放出能量。波动之所以能传播能量，就是由于它能够交换能量，而孤立的振动系统是不传播能量的。

介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度用w表示，有

波的能量密度是随时间迅速变化的，从传输能量的角度出发，我们通常关心它的时间平均值，即在一个周期内的平均值。因为正弦函数的平方在一个周期内的平均值为1/2，所以波的平均能量密度为

这一公式虽然是从平面简谐波的纵波的特殊情况导出的，但是可以证明，这个结论对于所有的简谐波都适用。

第六章 惠更斯原理

概念(1) 行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；(2) 所有子波源各自向外发出许多子波；(3) 各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。

原理的依据：（1）波动在介质中是逐点传播的；（2）各质点作与波源完全相同的振动。

说明：①该原理对非均匀媒质也成立，只是波前的形状和传播方向可能发生变化；②知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前。

原理的局限性：没有说明子波的强度分布；没有说明子波不向后传播的问题。 波面上的每一点（面元）都是一个次级球面波的子波源，子波的波速与频率等于初级波的波速和频率，此后每一时刻的子波波面的包络就是该时刻总的波动的波面。其核心思想是：介质中任一处的波动状态是由各处的波动决定的。

我们知道，波在均匀各向同性介质中传播时，波面及波前的形状不变，波线也保持为直线，沿途不会改变波的传播方向。例如波在水面上传播时，只要沿途不遇到什么障碍物，波前的形状总是相似的，圆圈形的波前始终是圆圈，直线形的波前始终保持直线。也就是说，波沿直线传播。

可是，当波在传播过程中遇到障碍物时，或当波从一种介质传播到另一种介质时，波面的形状和波的传播方向（即波线方向）将发生改变。例如水波可以通过障碍物的小孔，在小孔后面出现圆形的波，原来的波前、波面都将改变，就好像是以小孔为新的波源一样。它所发射出去的波叫子波。从这种观点出发，惠更斯得出一条原理，称为惠更斯原理。惠更斯原理内容如下：介质中，波传到的各点不论在同一波前或不同波前上，都可看作是发射子波的波源。在任一时刻这些子波的包迹就是该时刻的波前。

利用惠更斯原理可以由已知的波前通过几何作图方法确定下一时刻的波前，从而确定波的传播方向。例如当波在均匀的各向同性介质中传播时，用上述作图法求出的波前的几何形状总是保持不变的。

应该指出，惠更斯原理很好地解释了波的传播方向问题，但却没有给出子波强度的分布，后来菲涅耳对惠更斯原理做了重要补充，解决了波的强度分布问题，这就是在光学中有重要应用的惠更斯-菲涅耳原理。

原理的应用：波入射到两种媒质分界面上时，传播方向发生改变，发生反射、折射现象。 波的反射定律：入射线、反射线和法线在同一平面内，入射角i等于反射角 i′

i = i′

波的折射定律：入射线、反射线和法线在同一平面内，且

上式中γ为折射角，u1 、u2分别是入射波和折射波的波速， n21是媒质2相对于媒质1的相对折射率。

波的反射和折射现象可以根据惠更斯原理，用作图法加以说明。

B i 波的反射 波的折射

D B A C A C γD ?ACD??CAB ?CDA??ACB

入射角=反射角

BC/ACBCsini n???sinrAD/ACAD

n??入 ?折

第七章 波的干涉

1.波的干涉 ： 几列波在同一空间相遇，形成有的地方介质振动始终很强，有的地方介质振动始终很弱（稳定的强弱分布），称为波的干涉。能够干涉的几列波称为相干波。（几列波满足一定条件，则两列波相遇各空间点的合振动能各保持恒定振幅而不同位置各点以不同动能振动，这种现象称为波的干涉。） 2.波的干涉条件 ： （１）两列波具有相同的振动方向； （２）两列波具有相同的频率； （３）两列波在空间每一点引起的振动都有固定的相位差。 简单之，即： 振动方向相同、频率相同且在各空间点保持固定的相位差（相差恒定）。 如：同频率同方向的正弦或余弦振动的合运动仍为正弦或余弦振动，合振动的振幅由分振动振幅以及相位差决定。 光学里，常用“ 光程差 ”：如果光程差是波长的整数倍 ，则该处振动加强；如果光程差是半波长的奇数倍，则该处振动减弱。 满足干涉条件的两列波，才能实现干涉现象所要求的空间各点振动强弱所具有的确定的分布。 3.干涉的强弱位置 （1）波的独立传播原理——空间中一列波的传播与有无其他波无关。 （2）干涉的强弱位置 P r1 S1 r2 S2 y1?A1cos??t??01? y2?A2cos??t??02? yP1?A1cos(?t??01??r1) ?

yP2?A2cos(?t??02??r2?) 由同方向同频率的简谐振动合成可知 AP????2A12?A2?2A1A2cos??01??02??r2?r1?? ???2?? 由此得干涉强弱条件 ??01-?02??r2?r1?? ?特别是当两波源同相时，有

强?A?A1?A2? 2???1?弱?A?A1?A2? ? ?r2?r1?= ? 或

2??强?A?A1?A2?

2???1?弱?A?A1?A2?

r2?r1?

1 （??）?弱A?A1?A2 2

式中，k为所有整数。

??强?A?A1?A2? ??第八章 驻波

1.驻波定义：两列传播方向相反的相干波的叠加为驻波。 2.驻波的特点： ?????y1?Acos????t????? ?????????y2?Acos????t????? ????????????????y?y1?y2?Acos???t????Acos???t??? ????????????y?2Acos??2????cos?t 或 y??2Acos?cos?t ??????，0，，? 22??3?有的点振动始终很弱（波节），例如?，-，，，? 444（1）驻波中有的点振动始终很强（波腹），例如?，-（2）相邻两波节（腹）的距离称驻波的波长?驻??行2 （3）相邻两波节之间的质点振动同相；任一节点两边的质点振动反相。 （4）波节附近动能为零，势能最大；波腹附近势能为零，动能最大。或者说：势能与动能在一波腹内互相转换（驻波没有能量的传递）。 （5）半波损失 一般地，反射波的写法为 ①写出入射波在发射点引起的振动 ②以发射点为波源，写出它激起的波，即为反射波。可以证明，由上面方法写出的反射波与入射波的合成必然引起反射波为波腹。 如果发射点固定，必为波节，这时写反射波时要在上面的基础上附加的相位。 这种反射波的相位突变，称为半波损失。 波从波疏媒质表面发射时有半波损失。 第九章 多普勒效应

1.多普勒效应——波的频率随波源或观察者的速度而变化的现象，称为多普勒效应。 2.多普勒效应的原因

（1）波源静止，观察者运动——波长不变，波速发生变化，所以频率变化了。 （2）波源运动，观察者静止——波长改变，波速不变，所以频率变化了。 （3）波源运动，观察者运动

?0??观察者f?f0

?0??波源相互接近，取第一组符号；远离，取第二组。

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