解析几何中的存在性问题

探究圆锥曲线中的存在性问题

1．求曲线（或轨迹）的方程。对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；

2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 一、是否存在这样的常数

x2例1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆?y2?1有两个不同的

2交点P和Q． （I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与

AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?2，

?1x22?2代入椭圆方程得?(kx?2)2?1．整理得??k?x?22kx?1?0 ①

?2?2直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k?4?2?1??k2??4k2?2?0， ?2???2??222?∞，?，?∞?解得k??或k?．即k的取值范围为?． ??????2222????（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP?OQ?(x1?x2，y1?y2)， 由方程①，x1?x2??42k． ② 21?2k又y1?y2?k(x1?x2)?22． ③ 而A(2，，0)B(0，，1)AB?(?2，1)．

所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2)， 将②③代入上式，解得k?2． 2 1 / 16

由（Ⅰ）知k??22或k?，故没有符合题意的常数k． 22y M 2 B 1 N O 1 x 练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）

已知抛物线C：y?2x，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB2A 的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

（Ⅱ）是否存在实数k使NANB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

2x12)，B(x2，2x22)，把y?kx?2代入y?2x2得2x2?kx?2?0， 解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，由韦达定理得x1?x2?k，x1x2??1， 2?kk2?x1?x2k?xN?xM??，?N点的坐标为?，?．

24?48?k2k???m?x??， 设抛物线在点N处的切线l的方程为y?84??mkk2将y?2x代入上式得2x?mx???0，

4822直线l与抛物线C相切，

?mkk2????m?8????m2?2mk?k2?(m?k)2?0，?m?k．

8??42即l∥AB．

（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB?0，则NA?NB，又

M是AB的中点，

?|MN|?1|AB|． 2111由（Ⅰ）知yM?(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4]

222?k21?k2???4???2． 2?2?4222kkk?16． MN?x轴，?|MN|?|yM?yN|??2??488又|AB|?1?k2|x1?x2|?1?k22(x1?x2)2?4x1x2

k2?16．

?1?k212?k??4?(?1)?k?1??22?? 2 / 16

k2?1612??k?184k2?16，解得k??2．

即存在k??2，使NANB?0．

2x1)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x2得 解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，22k2x2?kx?2?0．由韦达定理得x1?x2?，x1x2??1．

2?kk2?x1?x2k?xN?xM??，?N点的坐标为?，?．

24?48??抛物线在点N处的切线l的斜率为4?y?2x2，?y??4x，

k?k，?l∥AB． 4（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB?0．

??kk2?kk2?222x1??，NB??x2?，2x2??，则 由（Ⅰ）知NA??x1?，48?48???k??k??2k2??2k2??NANB??x1???x2????2x1???2x2??

4??4??8??8??k??k??2k2??2k2????x1???x2???4?x1???x2??

4??4??16??16??k??k????x1???x2??4??4???k??k???1?4x?x??1??2?? ?44???????k2??1?4x1x2?k(x1?x2)?4? ???kk2???x1x2??x1?x2???416???kkk2????1????4216???kk2??1?4?(?1)?k?2?4? ???k2??3????1????3?k2?

16??4???0，

32k2?1??0，??3?k?0，解得k??2．

416即存在k??2，使NANB?0．

22练习2.直线ax-y=1 与曲线x-2y=1相交于P、Q 两点。

当 a为何值时，PQ=21+a2；

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是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

ìax-y=1?22?得(1-2a)x+4ax-3=0， 解：（1）联立方程í22???x-2y=1又知直线与曲线相交于P ,Q两点,可得6ì?1-2a2?0，即a<且a??í222???D=16a+12(1-2a)>0设P、Q两点的坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)则x1+x2=所以PQ=2， 24a3,xx=， 122a2-12a2-14(1+a2)(3-2a2)2， =21+a22(2a-1)222化简得(1-2a)-(1-2a)-2=0,解得a=?1即为所求。 假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，

则kOP.kOQ=-1,也就是x1x2+yy1=20,xx1+2(ax-1)(1ax-1)2=0,3(1+a2)4a2 整理得(1+a)x1x2-a(x1+x2)+1=0,故有++1=0 222a-11-2a解得a2=-2,a纹,即不存在实数a.2二、是否存在这样的点

x2y23例2.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，

ab3当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（I）求a，b的值；

（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解：（Ⅰ）设F?c,0?, 当l的斜率为1时，其方程为x?y?c?0,O到l的距离为

2 2

0?0?c2?c2 ，故

c2?2， c?1 ， 2 由 e?c3 ，得 a?3，b?a2?c2=2 ?a3（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立。

2由 （Ⅰ）知椭圆C的方程为2x2+3y=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2).

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(ⅰ) 当l不垂直x轴时，设l的方程为y?k(x?1)

假设C上存在点P，且有OP?OA?OB成立，则P点的坐标为（x1?x2,y1?y2），

2(x1?x2)2?3(y1?y2)2?6，整理得 2x12?3y12?2x22?3y22?4x1x2?6y1y2?6

又A、B在C上，即2x1?3y1?6,2x2?3y2?6

故 2x1x2?3y1y2?3?0 ①

22将 y?k(x?1)代入2x?3y?6,并化简得

2222(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0 ②

6k23k2?6?4k22, x1x2=, y1y2?k(x1?1)(x2?2)? ， 于是 x1?x2?2?3k22?3k22?3k2代入①解得，k2?2，此时x1?x2?于是y1?y2?k(x1?x2?2)=?3 2k3k， 即P(,?) 222因此， 当k??2时，P(,322)， l的方程为2x?y?2?0； 2 当k?32)， l的方程为2x?y?2?0。 2时，P(,?22（ⅱ）当l垂直于x轴时，由OA?OB?(2,0)知，C上不存在点P使OP?OA?OB成立。 综上，C上存在点P(,?322)使OP?OA?OB成立，此时l的方程为2x?y?2?0. 2例3.（2009福建卷）（本小题满分14分）

x2y2已知直线x?2y?2?0经过椭圆C:2?2?1(a?b?0) 的

ab左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:x? （I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得?TSB的面积为在，确定点T的个数，若不存在，说明理由

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10 分别交于M,N两点。

31？若存5

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