相关变化率及微分的应用
更新时间:2023-08-14 14:11:01 阅读量: 人文社科 文档下载
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相关变化率及微分的应用一、相关变化率 二、微分的应用
一、相关变化率x x ( t ) , y y( t ) 为两可导函数dx d y , x , y 之间有联系 之间也有联系 dt dt
称为 相关变化率 相关变化率解法三步骤(1) 找出相关变量的关系式 F ( x , y ) 0 对t 求导 (2) 相关变化率dx dt 和 dy dt
之间的关系式
(3) 代入指定时刻的变量值及已知变化率, 求出未知的相关变化率
例
一气球从离开观察员
500 m 处离地面铅直
上升 , v 140 米 / 分 . 当 h 500 m 时 , 观察员 视线的仰角增加率是多 少 ?500 米
解
设气球上升
t 秒后 , 其高度为 h ( t ),
观察员视线 的仰角为 ( t ), 则 h (1) tan F ( , h) 0 500
1
(2) 两边对 t 求导得 sec 2
d dt
dh
500 米
(3)
500 dt dh 140米 / 分, 当 h 500 m 时 , tan 1 , sec 2 2dt
d dt
1
1
140 0 . 14 ( 弧度 / 分 )
2 500
仰角增加率
练习
河水以 8 米 / 秒的体流量流入水库中0
3
, 水库
形状是长为
4000 米 , 顶角为 120 的水槽 , 问水 ?
深 20 米时 , 水面每小时上升几米
解 (1)
设开始注入
t 秒后 , 水深为 h ( t ),
水库内水容量为
V ( t ), 则60
0
V ( t ) 4000 S ( t ) 4000 3h ( t )2
(2) 两边对 t 求导得(3) dV dt3
dV dt
8000 3h h 20 m ,
dh dt
3600 8米 / 小时,
dh dt
3600 8 20 8000 3
0 . 104 ( 米 / 小时 )
二、微分在近似计算中的应用1. 函数的近似计算 (1) 计算函数增量的近似值 y dy f ( x ) x . 0例 r0 10 cm 的金属圆片加热后 0 . 05 cm , 问面积增大了多少设 A r , r0 10 cm ,2
用来近似计算
y.
, 半径伸长了 ?
解
r 0 . 05 cm .
A dA A ( r0 ) r 2 r0 r 2 10 0 . 05 ( cm ).2
( 2 ) 计算 f ( x ) 在 x 0 点附近的近似值
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x .
例
计算 cos 60 3 0 的近似值 .o
解 设f ( x ) cos x , 而 f ( x ) sin x ( x 为弧度 ) 令x0 0
, x
3
cos 60 3 0 cos(
360
360
)1 2 3 2 360
cos
3
sin
3
0 . 4924 .
3 360
求 f ( x ) 在点 x0 0 附近的近似值
f ( x ) f (0) f (0) x
(| x | 很小时)
常用近似公式n
( x 很小时 )
1 x 1
1 n
x;
sin x x ( x 为弧度 ); ex
tan x x ( x 为弧度 ); ln( 1 x ) x .
1 x;
例
计算下列各数的近似值
.
(1 )
3
998 . 5 ;
(2) e
0 . 03
.
2、误差估计 定义:如果某个量的真值为x , 其近似值为 x0 .
若 x x 0 | x | x , 则称 x 为 x 的
绝对
误差限
( 简称绝对误差
);
x x0 ).
叫做
x 的相对误差限
( 简称相对误差
例
设 y f ( x ) 由于 x 的误差而引起 当 | x | x时 , 求 y 及 y | f ( x0 ) | .
y 的误差 ,
例
求边长为
a 2 . 41 0 . 005 m 的正方形的 对误差 .S 2a .
面积 , 并估计绝对误差与相解正方形面积为 S a , 则2
a 0 2 . 41 m ,
a 0 . 005 m , S0 a 0 5 . 808 m2 2
所求面积的近似值
绝对误差相 对误差所求面积
S S (a 0 ) a 2 a 0 0 . 005 0 . 0241 m 2 S S0 0 . 0241 5 . 8082
0 . 0041 0 . 41 %
S S 0 S ( 5 . 808 0 . 0241 ) m .
作业习题2-7 (122页) 1. 5(1). 6(2)(4). 9.
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