自考线性代数(经管类)模拟试卷一及参考答案

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自考线性代数经管类难不难推荐度：
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《线性代数》模拟试卷（一）

一、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）

121.行列式

0?121?10第二行第三列元素的代数余子式A23? （）

021?1?1021A. ?6 B. 6 C. 0 D. 1

2.设矩阵A???1??2??，B?(?2,1)，则AB??? A. 0 B. ???21???2??42?? C. ??1???4?2?? D. ???21???42??

??3.设A，B，C均为n阶方阵，AB?BA，AC?CA，则ABC? A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA

4.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列正确的是 A.A?B可逆 B.AB可逆 C.A?B可逆 D.kA可逆，其中k为任意常数

5.在下列命题中，正确的是 A.(AB)T?ATBT B.若A?B, 则A?B

C.设A,B为三角矩阵，则A?B也是三角矩阵 D.A2?E2?(A?E)(A?E)

6.n维列向量?1,?2,?,?n是Rn的标准正交基的充分必要条件是 A. 两两正交 B. 均为单位向量

C. 线性无关 D. (?1,?2,?,?Tn)(?1,?2,?,?n)?E

?kx1?2x2?x3?07.设??2x1?kx2 ?0 ，则有非零解的充分必要条件是 ??x1?x2?x3?0《线性代数》模拟试卷（一）第 1 页共 9 页

）

（（（（（（A. k?3 B. k??2 C.k?3或k??2 D.k?3且k??2 8.向量组?1?(1,0,?1),?2?(0,?1,1),?3?(?1,1,0)的秩是（）

A.3 B.2 C.1 D.0

2009.设?1，?2，?3是矩阵A??230的三个特征值，则?1?2?3?（）

?345A.30 B.15 C.10 D.6

10.设A,B均为同阶的正交矩阵、正定矩阵，则（）

A.A?B仍为正交、正定矩阵 B.A,B的特征值均为±1 C.A,B均为可逆矩阵 D.AB为对称矩阵

二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

1231.行列式012的值是________。

0012.若?1,?2线性无关，且?1,?2,?3均可由?1,?2线性表示，则?1,?2,?3线性______。

?A3.若A,B为n阶矩阵，且A?2,B?1，设M???O?OB??，则|-2M|=_____。 ??4.若(A?B)2?A2?2AB?B2，则A和B的关系为________。

5.设?1,?2,?,?s都是非齐次线性方程组AX?b的解，若

k1?1?k2?2???ks?s也是AX?b的解，则常数k1,k2,?,ks满足关系式

______。

6.设A为n阶方阵，且r(A)?n?1，?1,?2是AX?b的两个不同的解，则

AX?O的全部解为___________。

T2TT7.设??(3,1)?R，则它在基?1?(1,2),?2?(2,1)下的坐标为_________。

《线性代数》模拟试卷（一）第 2 页共 9 页

8.设矩阵A的三个特征值为1, 2, 4，则A2?3A?4E? 。

229.二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?2x2?4x2x3的秩为_______。

10.二次型f?XTAX经可逆线性变换X?CY化成f?YTBY，则A和B的关系________。

三、计算题（共6小题，每小题9分，共54分）

1?a11.计算行列式D4?111111?a4(ai?0,i?1,2,3,4)。

1111?a2111?a311?x1?x2?2x3?3x4?3?x?2x?3x?4x?3?12342.给定线性方程组? 。讨论a,b为何值时，方

2x?3x?x?x?a234?1??3x1?x2?2x3?bx4?3程组（1）无解（2）有唯一解（3）有无穷多解。并在有无穷多解时求出其全部解（用基础解系表示）。

3.计算下列所给出的向量组的秩，并求出它的极大无关组，且把所有向量用其极大无关组线性表示。

?1?(1,0,1,0),?2?(?2,1,3,?7),?3?(3,?1,0,3),?4?(4,?3,1,?3)。

?101???4.设A??020?，且AX?E?A2?X，求X。

?101????122???100?????5.设矩阵A??21b?，B??0?10?相似，

?2b1??005?????(1)求b；(2)求一正交矩阵P，使P?1AP?PTAP?B。

26.化二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x1x3?2x2并写出所对?4x2x3为标准形，

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应的非奇异线性变换。四．证明题（本题6分）

设A为s?n阶矩阵，证明：存在一个非零的n?m矩阵B，使得AB?O的充分必要条件是r(A)?n。

《线性代数》模拟试卷（一）第 4 页共 9 页

《线性代数》模拟试卷（一）参考答案

一．单项选择题

A；B；D；B；C；D；C；B；A；C；二．填空题

1．1 ； 2．相关； 3．22n+1

；4．AB=BA ； 5．?ki?1 ；

si?16．k(?151??2) ；7．(?33)T ； 8．0 ； 9．3 ； 10.

三．计算题

1?a11111．解：

行变换D?a1a200 n??a10a30?a100an41?aai1??列变换i?2a1?11?0a0 2?????00?a44?(1?aai41?11??)a2?a4?(i?2a?)a1a2?a4 1i?1ai2．解：写出增广矩阵化简

??11233??11233?A??12343?????01110?? ?23?11a?? ??3?1?2b3????01?5?5a?6?????0?210b?9?6????11233??11233???01110??1110???? ?00?6?6a?6???0?0116?a???0012b?7?6??0????00b?192a6?0?18??所以（1）当b?19,a?9时，方程组无解；

（2）当b?19,a为任意实数时，方程组有唯一解；（3）当b=19, a=9时，方程组有无穷多解。当有无穷多解时，增广矩阵

《线性代数》模拟试卷（一）第 5 页共 9 页

合同（或CTAC=B）。 … ….3’…….3’ .. .….3’ … .….2’

… .….3’

?1??0A??0??0?1100211033??1??10??0?11/2??0???00???01100001012??1??0?1/2??0?11/2??0???00???00100001015/2??0?1/2? ?11/2?00?????5/2?x4???所以非齐次方程组的一般解为X???1/2?，x4是自由未知量。

?1/2?x4??x?4??1?5令x4=0，得一特解?0???2?21?0? 2?T????x4???导出组的一般解为X??0?，x4是自由未知量。

??x4??x??4?令x4=1，得一基础解系?1???10?11?。 ... .….3’

T所以非齐次方程组的全部解为：X??0?k?1， k为任意实数。 .. .….1’ 3．解：将向量按列排成矩阵，利用初等行变换化简为标准阶梯形

4??1?234??1?234??1?23??????01?1?301?1?301?1?3?????? TTTTA?(?1,?2,?3,?4)????????130105?3?300212????????0?73?3??0?73?3??00?4?24???????4??10?1?23???01?1?3???01?????001600????00?00????000?8??03? .. .….6’ ?16?00????1,?2,?3是向量组?1,?2,?3,?4的一个极大无关组，

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??1?1??1?0??2?0??3???0???1???0???2123且? .. .….3’ ??3?0??1?0??2?1??3???4??8??1?3??2?6??34．解：由AX?E?A?X，得(A?E)X?A2?E .. .….2’

2001?001????A?E??010?，A?E?010??1?0，所以A-E可逆。

?100?100??

?X?(A?E)?1(A2?E) ， .. .….3’

?001?????010? ?100???而(A?E)?1

?101??101??100??302?????????2A?E??020??020???010???050? .. .….2’

?101??101??001??203??????????001??302??203????????X??010??050???050? .. .….2’

?100??203??302???????5．解：(1) A,B相似，所以A,B有相同的特征值，所以?1?E?A?0，解得b=2

... .….3’ (2) A的特征值为-1对应的两个线性无关的特征向量为

?1??1,0,?1?,?2?(0,1,?1)T，

T单位正交化?1,?2为?1?(12,0,?12)T,?2?(?T16,26,?16)。