江苏省专转本高等数学模拟测试题

一．选择题(每小题4分,共24分) 1.当 x?0时, 1?cos2x与ln(1?ax2)是等价无穷小，则常数a的值为( )

A. 1 B. 2 C.3 D. 4

解：本题考查无穷小阶的比较，就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比值的极限是1，即有

1(2x)21?cos2x2 2lim?lim??1x?0ln(1?ax2)x?0ax2a则a?2，选B。

x2?x 2.曲线y?的垂直渐近线是( )

x(x?1)(x?2)A.

x?0 B. x?1 C. x?2 D. 没有垂直渐近线

0lim解：所谓垂直渐近线就是若x?xf(x)??（也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷大），则称x?x0为垂直渐近

?0，x?1，x?2，但是在求极限时

线。一般拿来讨论极限的x0为函数中无定义的点，本题有三个无定义的点，即x函数经过化简后变成3. 设?(x)?y?11??，所以选C。 ，因此只有limx?2x?2x?2?sinx0tln(1?t)dt，则??(x)?( )

A. sinxcosxln(1?sinx) B. sinxln(1?sinx) C. ?sinxcosxln(1?sinx) D. ?sinxln(1?sinx) 解：本题考查变上限积分函数求导公式，选A。 4. 下列级数中条件收敛的是( )

(?1)nA.?2n?1n?(?1)n B.?n?1n?1??n?1(?1)n C.?(?1) D.?n2n?1n?1n?12?n

解：本题考查绝对收敛与条件收敛的概念，首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛，只是收敛的“强度”不同罢了。选项A与D都是满足绝对收敛的，选项C一般项的极限不是零，显然发散，只有选项B满足条件收敛。 5. 将二重积分

???Dx2?y2dxdy，D?{(x,y)|x?y?2?x2,0?x?1}化成极坐标下的二次积分，则得( )

?402A.

?40d??rdr B. ?d??rdr C. ??22002?24d??rdr D. ??2d??r2dr

0402?22解： 本题考查二重积分的极坐标变换，首先关键是画出积分区域来，作图如下： 本题积分区域形如右图阴影部分，显然答案选D。 6.函数

y?xe?x单调递减且其图形为凸的区间是( )

A．(??,2) B. (1,??) C. (?2,1) D. (1,2) 解： 单调减就是一阶导数小于零，凸就是二阶导数小于零，于是

y??(1?x)e?x,y???(x?2)e?x

?(1?x)e?x?0?x?1?1?x?2，选D。 ??x?(x?2)e?0?x?2二．填空题（每小题4分,共24分）

2x?12x)?

x??2x?1解：本题考查“1?”型的幂指函数求极限，利用“重要极限的推广公式”

7.lim(?2?4xlim?2xlim2x?12x2x?1?22x?22xlim()?lim()?lim(1?)?ex??2x?1?ex??2x?1?e?2 x??2x?1x??x??2x?12x?18.已知

f?(x)?2，则limx?0f(2?x)?f(2?2x)?_______________

x解：本题考查导数的定义，极限中的x只是一个字母，一个无穷小而已，如同原始定义中的?x一样，从极限分子中可以看出自变量改变了(2?x)?(2?2x)?3x，于是

limx?0f(2?x)?f(2?2x)f(2?x)?f(2?2x)?3lim?3f?(2)?6

x?0x3x2sinx?sinxdx?___________. 9.定积分?4?2?cosx4?解：本题考查定积分化简计算，即利用函数奇偶性

????2sinx?sinxsinx22244444dx?dx?tanxdx?2tanxdx?2(secx?1)dx???22??4cosx??4cosx??4?0?0???2(tan2x?x)10.设a40?2??2

?(1,2,0),b?(?1,2,1)则(a?b)?(a?b)?_________.

解：本题考查向量坐标的加法、减法以及叉乘运算 由已知可得(a?b)?(0,4,1),(a?b)?(2,0,?1)，则

ijk(a?b)?(a?b)?041?(?4,2,?8)

20?111.设函数z?z(x,y)由方程xez?yz?1所确定，则

?z?_______. ?y解：本题考查多元隐函数求偏导，可以选择的方法有很多，比如“公式法”、“全微分法”、“两边求法”，这里我们采用两边求的方法，即对原方程两边同时关于x求偏导得

?z?z?zeze?xe?y?0，解得??z?x?x?xxe?yzz。当然本题用公式法做也很简单。

12.幂级数

?(?1)n(x?2)n的收敛域为__________. n?1解：本题考查利用系数模比值法求幂级数的收敛域

(?1)n?1n?2?limn?1?1，所以

因为??limR?1

n??(?1)nx??n?2n?1于是?1?当xx?2?1，所以1?x?3；

?1时，??3时，?(?1)n(?1)n1n（发散-P-级数）； (x?2)??(?1)n??n?1n?1n?1(?1)n(?1)nn(?1)nn（收敛-莱布尼茨判别法）； (x?2)??(1)??n?1n?1n?1当x综上，收敛域为(1,3] 三．计算题（每题8分，共64分）

sinx313.求极限lim

x?0x?arcsinxx33x23x21?x23x2lim?lim?lim?lim??62解：原式=x?0x?arcsinx x?0x?0x?0111?x?11??x221?x2注：在本题的求解过程中使用了直接代入，即

12lim1?x2?1；并且利用(1?x)??1?x(x?0)，则x?01?x?1?(1?(?x))?114. 设函数

2211(?x2)??x2 22y?y(x)由方程ex?y?xy?1所确定，求y?(0),y??(0)

解：本题考查隐函数求导，而且是求具体点的导数值

当x?0时，代入原方程得y?0

x?y 方程两边同时关于x求导得 e 代入x(1?y?)?(y?xy?)?0 （?）

?0，y?0得 y?(0)??1

x?y 再对（?）式两边同时关于x求导得 [e 整理得 e 代入xx?y(1?y?)2?ex?yy??]?[y??(y??xy??)]?0

(1?y?)2?(ex?y?x)y???2y??0

?0，y?0及y?(0)??1得 y??(0)??2

15.求不定积分解：令?ex?1dx

2x?1?t，则x?t?1,dx?2tdt，代入得

?ex?1dx?2?tetdt?2?td(et)?2(tet??etdt)

x?1?2(t?1)et?C?2(x?1?1)e16.求定积分

?C

?40x?1dx

3x?4解：令t2?42,dx?tdt；当x?0时t?2，当x?4时t?4； 3x?4?t，则x?33代入得

?40t2?4?14x?122422t33dx??tdt??(t?1)dt?(?t)2t392933x?442?100 2717. 设z?f(2x?3y,ye)，其中

x?2z f有二阶连续偏导数，求

?x?y解：

?z?f1??2?f2??yex?2f1??yexf2? ?x

?2z????3?f12???ex)?ex[1?f2??y(f21???3?f22???ex)]?(2f1??yexf2?)?2(f11?x?y?y???2exf12???3yexf21????ye2xf2???exf2??6f112???(2?3y)exf12???ye2xf22??　（f12???f2???exf2??6f11）1?x?1?2t?18. 设直线通过点(-1,2,0)，垂直于直线?y?2?3t又与平面x?2y?3z?1平行，求其方程

?z??1?t??x?1?2t?解：设直线?y?2?3t的方向向量为s0，平面x?2y?3z?1的法向量为n0，则

?z??1?t? s0?(2,?3,?1),n0?(1,?2,3)，设所求直线的方向向量为s，则

ijks?n0?s0?1?23?(11,7,1)

2?3?1于是所求直线方程为

x?1y?2z?? 11712xdxdy,D?{(x,y)|y?x?2?y,0?y?1} 19. 计算二重积分??D解：由已知条件可知积分区域D是由曲线

y?x2,x2?y2?2所围成，在

第一象限中的交点坐标为（1,1），形如右图阴影部分，所以

??xdxdy??dy?D012?y2yx2xdx??()0212?y2y11dy??(2?y2?y)dy

201y3y211117?(2y??)0??(2??)? 23223212注：本题有些同学可能会错误的认为阴影部分应该是，这是不正确的

这是因为D?{(x,y)|y?x?2?y2,0?y?1}

若D?{(x,y)|20.求微分方程

x2?y?2?x2,0?x?1}，则就是第二个图中的阴影部分了。

y???3y??2y?ex的通解

2解：原方程对应齐次线性微分方程的特征方程为r所以对应齐次线性微分方程的通解为Y又??3r?2?0，解得r1?1,r2?2

?C1ex?C2e2x；

?1为其中的一个特征根，所以原方程的一个特解为y*?Axex，

则

y*??A(1?x)ex，y*???A(2?x)ex，代入原方程得

A(2?x)ex?3A(1?x)ex?2Axex?ex，化简得A??1

所以

y*??xex，所以通解为y?C1ex?C2e2x?xex

四．证明题（每小题9分，共18分）

x221.证明：当0?x?1时，e?sinx?1?2?x

证明：令

x2f(x)?e?sinx?1?2?x，

则

f?(x)??e?x?cosx?xf??(x)?e?x?sinx?1，f???(x)??e?x?cosx?0(0?x?1)，

f??(x)单调递减，又f??(0)?0，所以f??(x)?0，所以f?(x)单调递减，又f?(0)?0，所以f?(x)?0，所以

2xf(x)?0，即当0?x?1时，e?sinx?1?2?x所以

f(x)单调递减，又f(0)?0，所以

注：本题是利用三阶导数相关信息一次次反推到原来的函数，即连续使用了三次利用导数证明不等式的方法，具体的关系图如下：

?????f(x)???f(x)?0 ?? f?(0)?0?? f(0)?0??f???(x)?0?f??(x)???f??(x)?0?f?(x)　 f??(0)?0?22.设函数

?ex?1,x?0，证明f(x)在x?0处连续但不可导 f(x)???3x?2,x?0f(x)在x?0的函数值为f(0)?2

x?0xlimf(x)?lim(e?1)?2,limf(x)?lim(3x?2)?2，所以limf(x)?2 ????x?0x?0x?0x?0证明：显然 因为

所以limx?0 因为

f(x)?f(0)，即f(x)在x?0处连续

f(x)?f(0)ex?1?2ex?1xlim?lim?lim?lim?1x?0?x?0?x?0?x?0?xx?0xx

f(x)?f(0)3x?2?23xlim?lim?lim?3x?0?x?0?x?0?xx?0x所以

f??(0)?f??(0)，即左导数不等于右导数，所以f(x)在x?0处不可导

f(x)在x?0处连续但不可导

综上所述

五．综合题（每题10分，共20分） 23.设函数

y?x3?3ax2?3bx?c在x??1处取得极大值，且点(0,3)是其图形的拐点，求常数a,b,c的值

所以它的极值点x??1是驻点（一阶导数等于零的点），y?x3?3ax2?3bx?c显然满足一阶和二阶可导，

解：因为函数

它的拐点(0,3)是二阶导数等于零的点 因为

y??3x2?6ax?3b,y???6x?6a，且(0,3)在曲线上，所以综上可得

?f(0)?3?c?3 ?a?0??? ?f?(?1)?0??3?6a?3b?0，解得?b??1

?c?3?f??(0)?0?6a?0 ???24.求微分方程xdy?(x?2y)dx?0的一个解图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小

y?y(x)，使曲线y?y(x)于直线x?1,x?2及x轴所围成的平面

dydy2dy2?x?2y?0??1?y?0??y??1 dxdxxdxx22 即y??y??1，这是一个一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)??,Q(x)??1

xx解：将上述微分方程变形为x? 通解为y?e22?(?)dxx2(?)dx11?[??exdx?C]?x2(?(?2)dx?C)?x2(?C)?Cx2?x

xx Vx

???(Cx?x)dx???12221C2x5Cx4x3(Cx?2Cx?x)dx??(??)523243221

312157 ??(C?C?)523312157 即V??(C?C?)，显然此时的体积V523是一个关于参数C的一元二次函数，是一条抛物线，由中学数学

15b75b4ac?b22C??????可知抛物线的顶点是最小值点，顶点坐标公式为(?，即当时取得最,)312a1242a4a2?5小值

因此所求函数为

y??752x?x 124，但是常数C的正负性不知道，也y?Cx2?x，我们知道它一定过原点（0,0）

注：本题涉及到画图的问题，对于抛物线

就是不知道抛物线开口向上还是向下。由于本题只是求旋转体体积，所以只要画出大致图形即可。不过，光知道经过原点是不够的，会有很多种情况，从而围成的图形也不一样。我们做如下的讨论

b1???0，即此时抛物线开口向上且对称轴在y轴的左边； 2a2Cb1???0，即此时抛物线开口向下且对称轴在y轴的右边边 当C?0时，对称轴为x??2a2C 当C?0时，对称轴为x?? 因此就是下面这两种图形：

由旋转体体积公式可知，不管是哪种图形，其体积公式都是Vx

???(Cx2?x)2dx

12

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