高数(理工类-第四版)上册复习练习题答案

1

2x 1 ，x 0

1判定函数 f(x) 1 在x 0处是否连续x

2 1 1，　　x 0

1

1

解：f(0 0) lim

2x 1

1

x 0 0

1f(0 0) lim

2x 1

1

x 0 0

1

2x 12x 1

所以x 0是f(x)的一个跳跃间断点

1

xx

1 x 0 (1 xe)，

2f(x) ax b　　，1 x 2确定a，b之值，使f(x)在x 0及x 2处都连续．

4x　，2 xc

因f(x)在x 0处连续 　f( 0) f(0) f( 0)

即e b b， b e

而f(x)在x 2处连续 　　f(2 0) f(2) f(2 0)　　f(2 0) f(2) 2a b 2a e　　f(2 0)

3

3 e2

令2a e 3，a

ln(1 x3)，x 0，

3已知f(x) 2求f (x)． 1

xsin　，x 0

x

f(0 0) f(0 0) f(0) 0，f(x)在x 0处连续

3

f (0) lim

f(x) f(0)

xf(x) f(0)

x

x 0 0

lim

ln(1 x)

xxsin

2

3

x 0 0

lim

xx

x 0 0

0

1x 0

f (0) lim

f (0) 0

x 0 0

lim

x 0 0

x

3x2

，x 0 x3 1

f (x)

2xsin1 cos1，x 0 xx

5.要使点(1,3)为曲线y ax3 bx2的拐点，则a,b的值为（ ）

(A)a

32,b

92

(B)a

92

,b

32

(C)a 3,b 6

(D)a 2,b 1

5曲线y (x 1)3的拐点是（ ）

(A)( 1,8) (C)(0, 1)

(B)(1,0) (D)(2,1)

2

x arctantdy6 设 确定了y y(x),则 22

dx y ln(1 t)

2

(A)．　2　　　　　　(B)2

1 t(C)．2(1 t)　　　　(D).

2

C

　　　　　　答　( 　)

f(a h) f(a 2hx)

h

12t

2

7设f(x)在x a处可导且f (a) b，求极限lim

。

x 0

f(a 2h) f(a) f(a h) f(a)

原式 lim 2 h 0 h2h

f (a) 2f (a) 3b

8

f(x x) f(x)

x

f(x) f( x) 2f( x) f(x)

x

x 0

lim lim

x 0

f( x) lim 2x x 0

x

又 f(0) f(0) f(0)　．得f(0) 0 lim

f( x) x

lim

f( x) f(0)

x

f (0) 1

x 0 x 0

f (x) 1 2x

lim

f(cosx) f(1)

x

1

2

x 0

lim

x 0

f 1 (cosx 1) f(1)cosx 1

2

cosx 1x

f (1) 2 f (1) 4

2

10设函数x x(y)由方程yx x y 4确定,求dx

dx

x (1)dy

y 1

y 1

　 3dy

11求由方程ysinx cos(x y) 0

确定的隐函数y的微分dy.

得　dy

ycosx sin(x y)sinx sin(x y)

dx

解法2　dy yx dx

ycosx sin(x y)sinx sin(x y)

dx

dy x t 2t

12设　y limt ，x e 1，求 2

x x tdx

y limt(1

x

x

2

2tx t

)

x

te

2t

dydx

2

e(1 2t)2ed(

2t

2t

121

t

dy

dydx

2

dx dx

)d(

dt

t)

/

dxdt

t2e

2t

13设　y lncos(tan3x) chx cot(x 1)，求y (x)．

2

y

cos

2

3sin(2tan3x)sec (tan3x)

1

2

3x

2

　 shx cot(x 1) chx csc(x 1)

14设　y cos

a

secx

2

，求y ．

2secxtanx a

2secx

2

lna

15设　y dy

13

求dy

2(x (1

1dx 3

16设　　y f(tanx) tanf(x)其中f(x)二阶可导,求y ． y f (tanx) sec2x sec2f(x) f (x)

y f (tanx) secx 2secxtanx f (tanx)　　 2sec

2

4

2

f(x) tanf(x) f (x) x sec

2

2

f(x) f (x)

17设　y 2f(x) f2(x)其中f(x)二阶可导,求 ．

y 2

f(x)

ln2 f (x) 2f(x) f (x)

2

y 2

f(x)

(ln2) f (x) 2

2

2

f(x)

ln2 f (x) 2 f (x)

2

2f(x)f (x)

18设方程xlny e

xy

2x

2x

tgy 0确定y y(x),求

dydx

的值,(0 y x 0

)

lny y 2e secy y 0

12

2

4

当x 0时,y

4

，y (0) (2 ln)

19

已知y是由方程xcosy e

y

1的确定的隐函数,求y

及该方程所表示曲线点(0,0)处的切线方程.

cosy xsiny y ey 0 ， y

y

cosyxsiny e

y

y (0) 1，(0,0)点切线方程为y x

20 设　y(x) ln(sinx 2

sinx)求dy．

令　u sinx，y ln(u 则　y

dydudu

1 u)

2

定义域　(0, )　　y

lnxx

2

(2 lnx)

21 .解得驻点 x1 1 , x2 e2

故函数单调减区间是　　　单调增区间是

0,1 , e2,

1,e

2

23 确定函数f(x) xe

x

2

的上凸、下凸区间和拐点.

解 f的定义域为( , ),

x22 x

f (x) e(1 2x), f (x) 2x(2x 3)e. 令f (x) 0,

2

2

解得

x1

32

32

32

, x2 0 , x3

32

.

在区间( , ) , ( , 0 ) , ( 0 ,

32

) , (

32

3 , )内f 的符号依次为

32

3

332 , ( 0 , 0 ) , , e .

，. 拐点为: , , ,

3 , e

2

2

22

1

25 试证当x 1时　lnx n(xn 1)　(n 0)

1

令　f(x) n(xn 1) lnx,f(x)在 1, 上连续

1

1

f (x) xn

1

1x

1x

(xn 1)

当x 1，n 0，f (x) 0故f(x)在

1， 上单调增

1

则当x 1时有　　f(x) f(1) 0　　即　lnx n(xn 1) 26 证明：xex ex

1 当x 0时,等号成立

当x 0时令f(x) xex

ex

1

则　f (x) xe

x

27

设f(x)在 0， 上满足f(0) 0,f (x) 0，证明

f(x)x

在(0， )内单调增

证明 令F(x)

f(x)x

F (x)

xf (x) f(x)

x

2

令g(x) xf (x) f(x)，在0， 上连续 当x 0时

g (x) xf (x) f (x) f (x) xf (x) 0g(x)在0， 上单调增即g(x) g(0) 0

当x 0时　　F (x) 0从而F(x)在(0， )内单调增加

27

设f(x)在[0，a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0) 0,f (x)单调增试证在 0,a 上　af(x) xf(a)令　F(x) F (x)

f(x)

(0 x a)

x

xf (x) f(x)

x

2

而f(x) f(x) f(0) xf ( )　0 x 故F (x)

f (x) f ( )

x

0

即F(x)在[0,a]上单调增 当0 x a时F(x) F(a)　　　　　　 af(x) xf(a)

f(x)x

f(a) a

2x1 x

2

28证明恒等式2arctanx arctan 在1 x 时成立.

证:令F(x) 2arctanx arctan则当1 x 时,F(x)可导

21 x21 x

22

2x1 x

2

且F (x) 1 (

21 x

2

12x1 x

2

)

2

2(1 x) 4x

(1 x)

2

2

22

　 0

即当x 1时,F(x) C,即F(x) F(3)

故当1 x 时,2arctanx arctan

2x1 x

2

恒成立

29

应用拉格朗日中值定理

证明:对任意实数

x,有2xarctanx ln(1 x)且等号仅当

2

x 0时成立.

证明:令F(x) 2xarctanx ln(1 x),则F(x)可导,且F(0) 0 2

F (x) 2arctanx

2x2x1 x

2

1 x

2

arctanx 当x 0,在[0,x]上用拉格朗日中值定理得F(x) F(0) 2arctan x 0　(0

x)

得F(x) 0

当x 0,在[x,0]上用拉格朗日中值定理得: F(x) f(0) 2arctan x 0　(x 0) 仍有F(x) 0 综上述对一切

x有2xarctanx ln(1 x2

)且仅当x 0时等号成立31 当0 x 1时，证明：e

x

sinx 1

x

2

2

2

令f(x) e

x

sinx (1

x

2

)在[0，1]上连续,　f(0) 0 　f (x) e x

cosx x

　f (x) e

x

sinx 1 sinx (1 e x

)

当0 x 1时　f (x) 0,f (x)在 0,1 上单调减 　　　故f (x) f (0) 0

同理　　f(x) f(0) 0　　即　　e

x

sinx 1

x

2

2

3

32 证明:当0 x

2

时，cosx 1

x

2

2

x

6

.

x

令f(x)

6

x

2

3

x

2

2

1 cosx在0,上连续

2

f (x)

x sinx

2

f (x) x 1 cosx

f (x) 1 sinx

33

由y 0,x 8,y x围成的曲线边三角形

2

2

OAB,在曲边OB上求一点,使得过此点

最大

所作的y x的切线与OA,AB所围成的的三角形面积

设曲线上任一点为(x，x2),则过该点的切线为：

Y x

2

2x(X x)

2

切线与x轴的交点(

x2

，0)与x 8的交点(8，2x(8 x) x)

于是所围的三角形的面积为：　　　　S

12(8

x2

)2x(8 x) x

2

x4

(16 x)　(0 x 8)

2

S

32

x 16　　　S

x

163

0

256 16

在点 处作切线，所围面积最

9 3

大

34

原式

2

1

1

40

xd(

1cosx

4

02

)

40

x

2

2cosx

2

11cosx

2

dx

4

12

12

tanx

4

4

35

原式 2 xe

02

x

dx ( 2xe x 2e x)

20

2

6e

2

36求

xln(1 x) 1

1 x

2

2

2

dx.

xln(1 x) 1

1 x

14

2

12

ln(1 x)d(ln(1 x)

22

1 x

dx

2

ln(1 x)

2

x

2

arctanx c.

37 求

dx1 e

.，解 设 e

x

t.　　则e t 1　　edx 2tdt

x2x

原式

t(t

2t

2

1)

2

dtt 1

2

ln

t 1t 1

2

c

ln

t 1(t 1)

2

c x 2ln1

1 e

x

c.

38已知f(x)的一个原函数是(1 sinx) lnx,则 xf (x)dx __________.

xf (x)dx xf(x)

f(x)dx　 xf(x) (1 sinx) lnx c

　　 xcosxlnx (1 sinx) (1 sinx) lnx c 应填:xcosxlnx (1 sinx)(1 lnx) c.

39求

xdxxdxsin

2

，解x

.

sin2

x

xd(cotx) xcotx cotxdx

xcotx lnsinx c.

40求

1 lnx

x2

dx.

解

1 lnxx

2

1

x

lnxd(1) 1 1

2

lnx 1

xxx

x

112

x

x

lnx

1x

c

1x

lnx c.

2

41求

x 4

x

dx.，解 令x 2sect dx 2sect tant dt

原式

2tant 2sect tant

2sect

dt

2 tan2t dt 2 (sec2t 1) dt 2tant 2t C

x2

4 2arcc2x

C

1

42

由定积分几何意义，试画出与积分　 0

2x

2x x

2

dx对应的区域的图形。

并计算出它的面积．

原式 三角形面积－圆面积的四分之一　 1

14

图未画

1

(x 1

1

43

(A) 2 12　　(B) 1

2

4 (C) 2 2　　(D) 4 14

　　　　　　　　答（　C　）

设a 0，则

axdx a

1 cosx

44 　(A)1　　　 (B)　0

　(C)　2a　 (D)3a　　　　　　　　　　答（　B　）

4

45设曲线x y,x 2 y2

及y 0,围成一平面图形

.(1)求这个平面图形的面积(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

;

45.解:　Vy 2 xydx 2 xsinxdx

2

2 xdcosx 2 (xcosx

cosxdx)

xsinxdx

x 2 sin

2 解:　Vy 2

xydx 2

2 xdcosx 2 (xcosx

cosxdx)

x 2 sin

x

2

48求方程y e

由已给方程得

y y ex

yx 0 1

y(t)dt的解。

x

(1)(2)

（1）的通解为 y xe Ce

xx

故原方程的解为 y (x 1)e

x

由初始条件（2）确定 C 1

y ycosx sin2x

48求微分方程初值问题 的解。

y 1

x

2

y e

cosxdx

sin2xe

cosxdx

dx C

解： e

sinx

2 sinx e

sinx

dsinx C

2sinx 2 Ce

sinx

由初始条件求得C e，所以y 2sinx 2 e1 sinx 求微分方程y (arctany x) 1 y2的通解。 原方程化为

dy1 y

2

dxdy

11 y

2

x

arctany1 y

dy

2

x e

C

arctany1 y

2

e

1 y

2

dy

Ce

arctany

arctany 1

50求微分方程y a2y cosx的通解，其中a为正实数。

特征方程的根为r ai，相应齐次方程的通解为

yC C1cosax C2sinax

1a

2

若a 1，方程有特解为yp

11a

2

cosx，故通解为 cosx

y C1cosax C2sinax

1

若a 1，设特解为yp x(Acosx Bsinx)，代入方程得

yp

x2

sinx，故方程的通解为

x2sinx

x

y C1cosx C2sinx

51求微分方程y 6y 9y 25esinx的通解。

特征方程r2 6r 9 0的根为r1,2 3，相应齐次方程的通解为

yC (C1 C2x)e

x

3x

设特解为yp e(Acosx Bsinx)，代入方程得

A 4,

B 3

3x

x

故方程的通解为

y (C1 C2x)e

e(4cosx 3sinx)

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