数值习题

1.1 数值计算方法概述 选择题

1. 易 (1分)1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。

A、3； B、4； C、5； D、6

2. 易 (1分)x??0.026900作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

A、7； B、3； C、不能确定 D、5.

3. 易 (1分)1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。

A、3； B、4； C、5； D、6。 4. 中下 (1分)下列说法错误的是（ ）。

A、如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数 B、凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数

C、数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响 D、病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关

5. 中下 (1分)下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（ ）。

A、方法收敛性； B、方法的稳定性； C、方法的计算量； D、方法的误差估计

46. 难 (1分)取3?1.732计算x?(3?1)，下列方法中哪种最好？（ ）

?2A、28?163 B、(4?23) C、1616 D、

(4?23)2(3?1)47. 中 (1分)近似数x*?0.231关于真值x?0.229有（ ）位有效数字。

A、1 B、2 C、3 D、4

8. 易 (1分)-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。

A、5 B、6 C、7 D、8

9. 中下 (1分)设?的近似数?*有3位有效数字，则其相对误差限为（ ）。

A、

1111?10?2 B、?10?3 C、?10?4 D、?10?5 222210. 中上 (1分)在近似计算中，要注意以下原则：

（1）计算速度快 （2）避免大数“吃掉”小数， （3）防止溢出 （4）减少计算次数 列主元消元法解方程组Ax?b是（ ）.

A、(1)和(2) B、(2)和(3) C、(3)和(4) D、(4)和(1)

211. 难 （1分）已知63?7.94有三位有效数字，则方程x?16x?1?0的具有三位有

效数字的较小根为（ ）。

A、0.0627 B、 0.06 C、15.94 D、0.063

12. 易（1分） x = 1.234, 有3位有效数字，则相对误差限 ? r ?（ ）．

A、0.5×10 -1； B、 0.5×10 -2； C、0.5×10 -3； D、0.1×10 -2． 13. 易 （1分）近似值a?4.7860，则a的误差限??（ ）。

21111A．?10?1 B. ?10?2 C．?10?3 D. ?10?4.

222214. 中下（1分） 数值x*的近似值x=0.1215×102，若满足x?x??( )，则称x有4位

－

有效数字. A、

1111－－－－

×103 B、 ×104 C、 ×105 D、×106 2222615. 中上 （1分） 计算f?(2?1),取2?1.4，利用下列算式计算，( )得到的结

果最好。

11A、 B、(3?22)3 C、 D、99?702

36(3?22)(2?1)16. 易（1分） 已知自然数e＝2.718281828459045…，取e≈2.71828，那么e具有的有效

数字是( )

A、 5位 B、6位 C、 7位 D.、8位 17. 易（1分）已知In?5In?1?1(n?1,2,?,20)，且I0,I20都已知，现建立递推公式 n(1)In?1?11?）In?1???In?(n?20,19,?,1) ?5In?1(n?1,2,?,20)； （25?nn?则在数值计算中（ ）

A、 都稳定 B、公式（1）稳定 C、公式（2）稳定 D、都不稳定 填空题

1. 中 (1分)设方程组Ax?b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程右商项

的扰动相对误差

?bb，就一定能保证解的相对误差?（ ）

?xx??。

2. 易 (2分)线性方程组的解法有（ ）、（ ）。

[答案]

直接法；迭代法

x4?16x2?8x?13. 中 (2分)为了减少运算次数，应将表达式.改写为543216x?17x?18x?14x?13x?1（ ）。

4. 易 (1分)为了使计算y?12?349??的乘除法次数尽量少，应将该表x?1(x?1)2(x?1)3达式改写为 ；

5. 中上 (1分)规格化浮点数系F?(2,4,?1,2)中一共有（ ）个数。 6. 中 (1分)(5?2)?(9?45)?631，其中5?2.24，代入后得0.00019，

(5?2)60.000064，0.000172，则近似程度最好的近似值是（ ）。

7. 中 (5分)写出下列各题的合理计算途径，使计算结果更精确（不必计算结果）。

①ax?bx?cx?dx?ex?f?（ ）； ②当x； 1时，1?cosx?（ ）

5432③

?j?21001?（ ）； 2j?1?10?5x?y?1④用四位浮点数计算时，?等价于方程组（ ）；

?x?y?2⑤n?0,1,,8，求yn??10xndx的近似值，用公式（ ）。 2x?58. 中 (1分)设一规范化浮点数系，尾数的位数为t，阶数p满足条件?m?p?M，则此

数系中数的个数是（ ）。 9. 易 (1分)3.142, 3.141,

22分别作为?的近似值有（ ）, （ ）, 7（ ）位有效数字。

10. 易 (1分)按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为

（ ）和（ ）。 11. 易 (1分)设xA?0.231是真值xT?0.229的近似值，则xA有（ ）位有效数字。 12. 易 (1分)设x?2.40315是真值x?2.40194的近似值，则x有（ ）位有效数字。

13. 易 (1分)若a?2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字. 14. 易 (1分)设a?211.00112为x的近似值，且x?a?0.5?10，则a至少有

（ ）位有效数字；

15. 易 (1分)求方程0.5x?101x?1?0的根，要求结果至少具有6位有效数字。已知

2**?210203?101.0099，则两个根为x1=（ ），x2= （ ） .

16x5?17x4?18x3?14x2?13x?116. 中下 (1分)为了减少运算次数，应将表达式.

x4?16x2?8x?1改写为（ ）；

17. 易 (1分)取x?3.142作为x?3.141592654┅的近似值，则x有 位有效数字.

218. 中下 (1分)已知168?12.961有五位有效数字，则方程x?26x?1?0的具有五位

有效数字的较小根为 。

19. 中 (1分)为了提高数值计算精度, 当正数x充分大时, 应将ln(x?x2?1)改写为

_______.

20. 易（1分）已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿

＿位。

*21. 易（1分）设x?2.3149541?，取5位有效数字，则所得的近似值x?_____.

622. 中下（1分） 计算f?(2?1),取2?1.4，利用算式

1(2?1)63，(3?22) ，

1(3?22)

简答题

3，99?702计算，得到的结果最好的算式为 。

1. 中 (10分)求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计

?xx

?240?319??x1??3? ???x???4?，即Ax?b

?179240???2??? ??319.5??x1??3??240???，即(A??A)(x??x)?b ???240??x2??4???179.5

2. 易 (10分)求下列矩阵的一个奇异值分解

?11?A???

?00??1?100????1100?，求出A的Jardan标准型。 3. 中上 (10分)已知A???1?11?1????11?11????4. 中上 (10分)下列公式如何才比较准确？

（1）

?N?1N1dx,N?1 21?x11?x?,x?1 xxx?1（2）x?5. 中 (1分)利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：

(1)

11?x?,x1?2x1?x1， (2)

?x1dtx21?t1

(3)ex?1,x1， (4) ln(x2?1?x)x1

6. 易 (8分)3.142，3.141，

22分别作为?的近似值，各有几位有效数字？ 77. 易 (10分)下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字。

?4（1）x*1?7.8673；（2）x*2?0.07800；（3）x*3?2.0?10

8. 易 (10分)计算t?10??，精确到五位有效数字。 9. 易 (10分)确定圆周率?的近似值

（1）3.14； （2）

355 113的绝对误差限，并求各个值的有效数字。

610. 中 (10分)计算f?(2?1)，取2?1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最

好？ （1）113(3?22) （2） （3） （4）99?702 (2?1)6(3?22)311. 中下 (10分)计算下列一元二次方程的根（用四位有效数字计算）。

（1）x?60x?1?0 （2）x?56x?1?0

12. 中上 (10分)试改变下列表达式，使计算结果比较精确。

（1）lnx1?lnx2,x1?x2

2211?x?,x1 1?x1?x1?cosx（3）,x?0,x1

x（2）（4）x?1?x,x1

（5）arctan(x?1)?arctanx,x1

13. 中上 (10分)序列yn满足递推关系

yn?10yn?1?1， (n?1,2,)

若yo?2?1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 14. 中 (10分)求二次方程x?16x?1?0的较小正根，要求有3位有效数字。

2

615. 中上 (10分)计算f?(2?1)，取2?1.4，直接计算和用1来计算，哪3(3?22)一个最好？

16. 中上 (10分)列yn满足递推关系yn?10yn?1?1,n?1,2,到y10时误差有多大？这个计算数值稳定吗？ 中 (10分)下列公式如何计算才比较准确：

，若y0?2?1.41，计算

e2x?1（1）当x的绝对值充分小时，计算；

2（2）当N的绝对值充分大时，计算

?N?1N1dx， 1?x211?x?。 xx（3）当x的绝对值充分大时，计算x?

是非题

1. 易 (1分)3.14和3.142作为?的近似值有效数字位数相同。 ( )

*2. 易 (1分)x??12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限

1??10?4。 ( ) 23. 易 (1分)对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。 ( ) 4. 中 (1分)一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 ( ) 5. 中下 (1分)-23.1250有六位有效数字，误差限?

1.2 误差分析 1. 易 (1分)用s?*1?10?4。 ( ) 21gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，st2*是在时间t内的实际距离，则sts是（ ）误差。

A、舍入 B、观测 C、模型 D、截断

2. 易 (1分)已知近似数x*的相对误差限为0.3%，则x*至少有（ ）位有效数字。

A、1 B、2 C、3 D、5 3. 易 (1分)用s?*1st是gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，

2*在时间t内的实际距离，则sts是（ ）误差。 A、舍入 B、观测 C、模型 D、截断 4. 易 (1分)用1?x近似表示ex所产生的误差是( )误差。

A、模型 B、观测 C、截断 D、舍入

5. 易 (1分)舍入误差是( )产生的误差。

A、只取有限位数 B、模型准确值与用数值方法求得的准确值 C、观察与测量 D、数学模型准确值与实际值 6. 易 (1分)用1+

x近似表示31?x所产生的误差是( )误差。 3 A、舍入 B、观测 C、模型 D、截断

7. 易 (1分)求解常微分方程的二阶R?K方法的局部截断误差为( ).

A、O(h2) B、O(h3) C、O(h4) D、O(h3) 8. 中下 （1分）以下误差限公式不正确的是（ ）

A．??x1?x2????x1????x2? B. C．??x1x2??x2??x1?x2????x1????x2?

??x1??x1??x2? D. ??x2??2x??x?

9. 中下 （1分）已知近似值x1，x2，则x1?x2的绝对误差e?x1?x2??? A. x2e?x1??x1e?x2? B. e?x1??e?x2? C. x1e?x1??x2e?x2? D. e?x1?e?x2? 10. 中下（1分）以下误差公式不正确的是（ ）

A．e?x1?x2??e(x1)?e(x2) B．e?x1?x2??e(x1)?e(x2) C．e?x1x2??x2e(x1)?x1e(x2) D．e(?

x1)?e(x1)?e(x2) x211. 易 （1分）若误差限为0.5?10?5，那么近似数0.003400有（ ）位有效数字。

A、 2 B、 3 C、 4 D、 6

填空题

1. 中下 (2分)为减少乘除法运算次数，应将算式y?18?357??改写成x?1(x?1)2(x?1)3（ ）；为减少舍入误差的影响，应将算式10?99改写成（ ）。 2. 易 (1分)已知近似值xA?2.4560是由真值xT经舍入得到， 则相对误差限为（ ）。3. 易 (3分)分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效位数分别有（ ）

位和（ ）位；又取3?1.73（三位有效数字），则3?1.73?（ ） 。

4. 中下 (2分)数值计算中，最基本的五个误差概念（术语）是（ ）；计算方法实际计算（手算或计算机计算）时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差称为（ ）。

5. 中下 (4分)已知近似值a?246.00有5位有效数字，则a的绝对误差界为（ ），

a的相对误差界为（ ）。 6. 易 (3分)x???0.003457是x舍入得到的近似值，它有（ ）位有效数字，误差

限为（ ），相对误差限为（ ）；

7. 难 (1分)x*的相对误差约是x*的相对误差的（ ）倍。

11?18. 中上 (1分)用数[1?e]作为计算积分I??e?xdx的近似值，产生的主要误差是

02（ ）。

9. 中 (1分)计算球体积时要使相对误差限为10%，问测量半径时允许的相对误差限是

（ ）。

10. 易 (1分)设?的近似数?*有4位有效数字，则其相对误差限为（ ）。 11. 易 (2分)已知x?14.01625…的近似数x*?14.01，则绝对误差约为（ ），相

对误差约为（ ）。 12. 中 (2分)为了使计算y?10?346?? 的乘除法次数尽量地少，应将x?1(x?1)2(x?1)3该表达式改写为（ ），为了减少舍入误差，应将表达式2001?1999改写为（ ）。

13. 中下 (1分)数x?＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是 。 14. 难 (1分)3x*的相对误差约是x*的相对误差的_____ 倍

15. 易 (1分) 数值计算方法中需要考虑的误差为 。

16. 中下 (1分)sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是

简答题

1. 中 (10分)当N充分大时，怎样求

?N?1Ndt？ 21?t2. 易 (12分)试讨论在计算机数系中用浮点数求和时，绝对值较小者相加比较好。

3. 中 (8分)正方形的边长大约为100厘米，应怎样测量才能使其面积误差不超过1平方厘

米？

11?，并比较结果（取五位浮点数）。 9949955. 中下 (10分)已知测量某长方形场 地的长a?110米，宽b?80米。若

4. 中下 (6分)试用两种方法计算：

（米）,b?b*?0.1(米) a?a*?0.1试坟其面积的绝对误差限和相对误差限。

6. 中 (8分)求方程x2?56x?1?0的两个根，使它们至少具有4位有效数字，其中取

783?27.982。

7. 中 (10分)三角函数值取四位有效数字，怎样计算才能保证1?cos2?的精度？ 8. 中 (10分)3.142,3.141,22分别作为?的近似值时各具有几位有效数字？ 7，精确到10?3的近似值是多少？

9. 易 (6分)已知ln2?0.6931471810. 中上 (10分)设有方程组AX?b，其中

?1??2?10?1?????,b??1?

A??221???3???2??022??????3???已知它有解

?1??2???1X????。

?3??0???????如果右端有小扰动11. 中 (8分)设S??b?1??10?6，试估计由此引起的解的相对误差。 212gt，假定g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差，证明当t增加2时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

12. 中上 (10分)设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为

多少？ 13. 中(10分)用最小二乘法求一个形如y?a?bx2的经验公式，使它与下列数据拟合，并计

算均方误差。

xi yi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 87.8 14. 易 (10分)求下列近似值的误差限， 其中x*1、x*2、x*3均是由四舍五入得到的近似数。

（1）x*1?x*2?x*3 （2）x*1x*2x*3

15. 中下 (10分)设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差。

16. 中下 (10分)正方形的边长大约为100cm， 应该怎样测量，才使其面积误差不超过1cm2。17. 中 (10分)设f(x)?ln(x?x2?1)，或写成f(x)??ln(x?x2?1)，开方时取6位

有效数字，用两种表述式分别计算f(30)并估计误差。 18. 易 (10分)设Y0?28，按递推公式

Yn?Yn?1?1783,(n?1,2,) 100计算到Y100，若取783?27.982（五位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？ 19. 中下 (10分)设x的相对误差限为?，求x100的相对误差限。

20. 中上 (10分)如果利用四位函数表计算1?cos20， 试用不同方法计算并比较结果的误差。21. 中 (10分)测得某房间长约为l*?4.32m，宽约为d*?3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房间面积S?ld的误差限和相对误差限分别是多少？ 22. 中下 (10分)下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数

*x2字；（2）分别估计A1?xxx及A2?*的相对误差限。

x4***123****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430

23. 易 (6分)叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？

24. 易 (8分)已知近似值a1?1.21，a2?3.65，a3?9.81均为有效数字，试估计算术运算

a3?

是非题

a1?a2的相对误差界。 a3x21. 易 (1分)用1?近似表示cosx产生舍入误差。 ( )

22. 易 (1分)x???12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限

1??10?4。 ( ) 2x23. 易 (1分)用1?近似表示cosx产生舍入误差。 ( )

24. 易 (1分)用1?x?12x近似表示ex产生舍入误差。 ( ) 25. 易 (1分)舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( )

证明题

1. 中 (8分)真空中自由落体运动距离s和时间t有关系是：s?12gt，其中g是重力加2速度。现设g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差。证明：当t增加时，距离的绝

对误差增加，而相对误差却减少。

2.1 插值问题与插值多项式 选择题

21. 易 (1分)过点(?1,1),(0,3),(2,4)的二次插值多项式p2(x)中x的系数为( ).

A、–0.5 B、 0.5 C、 2 D、-2 2. 易 (1分)函数

x?x1表示线性插值( )点的基函数.

x0?x1A、x0； B、y0 ； C、x1 D、y1

3. 易 (1分)设p(x)满足插值条件p(xi)?yi（xi互异，i?0，1，…，n）的插值多项

式，则p(x)的次数是（ ）。

A、大于n B、小于n C、等于n D、不超过n

4. 易 (1分)对于次数不超过n的多项式f(x)，它的n次插值多项式p(x)为( ).

A、任意n次多项式 B、任意不超过n次的多项式 C、f(x)本身 D、无法确定 5. 中下 (1分)给定互异的节点x0,x1,,xn,p(x)是以它们为插值节点的插值多项式，则

p(x)是一个( ).

A、n?1次多项式 B、n次多项式

C、次数小于n的多项式 D、次数不超过n的多项式 6. 中下(1分) ( )是利用函数的值求自变量的值。

A、三次样条插值 B、反插值

C、分段插值 D、爱尔米特插值

017. 中(1分)设f(x)?9x?3x?10，则f[2,2,8401,28]和f[3,3,,39]的值分别为

（ ）。

A、1，1 B、9?8! C、9，0 D、9，1

8. 中 (1分)设f(?1)?1,f(0)?3,f(2)?4,则抛物插值多项式中x2的系数为( )；

A、–0.5 B、0.5 C、2 D、-2

9. 中(1分)x0,x1,?,xn是给定的互异节点，p(x)是以它们为插值节点的插值多项式，则

p(x)是一个( ).

A、n?1次多项式 B、n次多项式

C、次数小于n的多项式 D、次数不超过n的多项式

10. 易 (1分) 过点(x0,y0), (x1,y1)，…，(x5,y5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。

A. 6 B .5 C .4 D .3．

填空题：

1. 易 (1分)由下列数表 x 0 0.5 －1.75 1 －1 1.5 0.25 2 2 2.5 4.25 f(x) －2 所确定的插值多项式的最高次数是（ ）。

2. 中下(1分)f(1)??1, f(2)?2, f(3)?3，则过这三点的二次插值多项式中x的系

数为（ ），拉格朗日插值多项式为（ ）. 3. 中下(4分)已知f(0)?1,f(3)?22.4,f(?4)，5.则过这三点的二次插值基函数

11(x)=( )，f[0,3,4] =( ),插值多项式P2(x)=( ), 用三点式求得f?(4)= ( ).

4. 中(1分) 通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式。 是非题

1. 易 (1分)在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 ( ) 2. 易 (1分)若f(x)与g(x)都是n次多项式，且在n?1个互异点{xi}i?0上f(xi)?g(xi)，

则f(x)?g(x)。 ( )

简答题

1. 易 (1分)已知单调连续函数y?f(x)的如下数据

nxi f(xi) －0.11 －1.23 0.00 －0.10 1.50 1.17 1.80 1.58 用插值法计算x约为多少时f(x)?1（小数点后至少保留4位）

xxf(x)?e?4?x?42.易 (1分)在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似

值，

要使截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？

?x3.中 (10分)取节点x0?0,x1?0.5,x2?1，求函数y?e在区间[0,1]上的二次插值多项式

?6P2(x)，并估计误差。

4. 中(10分)已知单调连续函数y?f(x)的如下数据：

xi f(xi) -0.11 0.00 1.50 1.80 -1.23 -0.10 1.17 1.58 求若用插值法计算，x约为多少时f(x)?1（小数点后保留5位）。 5.中上 已知数值表 x 0.5 0.6 0.7 f?x? 0.47943 0.56464 0.64422 试用二次插值计算式）

2.2 拉格朗日插值 选择题

1. 易(1分)若hi(x)n次的多项式且hi(xj)??nf?0.57681?的近似值，计算过程保留五位小数。（要写出二次插值多项

?0,i?j，节点xi互异，i?0,1,?1,i?j,n，则

。 ?h(x)的值是（ ）

ii?0A、0 B、n C、1 D、n?1

2. 易(1分)设L(x)和N(x)分别是f(x)满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多

项式，它们的插值余项分别为r(x)和e(x)，则（ ）。 A、L(x)?N(x),r(x)?e(x) B、L(x)?N(x),r(x)?e(x) C、L(x)?N(x),r(x)?e(x) D、L(x)?N(x),r(x)?e(x) 3. 易 (1分)设li(x)(i?0,1,项中正确的是（ ）。 A、

n,n)是n?1个互异节点?xi?i?0的Lagrange基函数，则下列选

nnn?xl(x)?x B、?xl(x)?x2ii2iii?0i?02ii2jn2 C、

?xl(x)?x2iii?02i D、

?xl(x)?xi?0

4. 中下 (1分)设lk(x)是以?xk?k?k?0为节点Lagrange插值基函数，则

（ ）。

A、x B、k C、i D、l

9?kl(x)?kk?095. 中下 (1分)通过点?x0,y0?,?x1,y1?的拉格朗日插值基函数l0?x?,l1?x?满足（ ）

A．l0?x0?＝0，l1?x1??0 B． l0?x0?＝0，l1?x1??1 C．l0?x0?＝1，l1?x1??0 D． l0?x0?＝1，l1?x1??1

是非题 1. 易 (1分)

(x?x1)(x?x2)表示节点x0处的二次插值基函数。 ( )

(x0?x1)(x0?x2),xn必须按顺序排列。 ( )

2. 中 (1分)在拉格朗日插值中，插值节点x0,x1,3. 易 (1分)

(x?x0)(x?x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )

(x1?x0)(x1?x2)4k?04. 中 (1分)设lk(x)是以{xk?k}（ ）。

填空题

为节点的Lagrange插值基函数，则

?kl(k)?

kk?041. 易 (4分)设xi(i?0,1,2,3,4)为互异节点，1i(x)为对应的四次插值基函数，则

，?(x?xl(0)＝（ ）

4iii?0i?0444i?2)li(x)＝（ ）.

2. 易 (2分)l0(x),l1(x),n,ln(x)是以整数点0，1，2，n为节点的Lagrange插值基函数，

n则

，?jl(j)?（ ）。 ?kl(x)?（ ）

kkk?0j?03. 中下 (1分)设x0,x1,n,xn为两两互异的节点，lj(x)为n次的拉格朗日基本插值多项

式，则

。 ?xl(3)=（ ）

4jjj?04. 中 (1分)n?1个节点的拉格朗日插值基函数li(x)的和

。 ?l(x)?（ ）

ii?0n

5. 中上 (1分)设lj(x)(j?0,1,2...n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则lj(xi)=（ ）(i,j?0,1,2...n)；

。 ?l(x)?（ ）

jj?0n6. 易 (1分)l0(x),l1(x),?,ln(x)是以0,1,...,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则

?il(x)?( ).

ii?0n7. 难 (1分)满足f?xa??xa，f?xb??xb，f?xc??xc的拉格朗日插值余项为 。

简答题

1. 易 (8分)令x0?0,x1?1，写出y(x)?e的一次插值多项式L1(x)，并估计插值误差。 2. 易 (10分)设函数f(x)?用它计算x??x1，试写出它在插值节点组?1,0,1上的插值多项式，并21?x1处之值。 33. 中下 (10分)给定(x,f(x))的一系列离散点(1,0),(2,?5),(3,?6),(4,3)，试求Lagrange

插值多项式。

4. 中 (10分)当x?1,?1,2时，f(x)?0，?3,4，求f(x)的二次插值多项式。 5. 中 (8分)利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：

（1）

xi -1 0 1/2 1

（2）

fi -3 -1/2 0 1 xi fi 4-1 -3/2 0 0 1/2 0 1 1/2 6. 难(10分)设f(x)?x?2x?1，利用拉格朗日插值余项求以-1，0，1，2为插值节点的

三次插值多项式。

7. 中 (10分)已知f(?1)?2,f(1)?3,f(2)??4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1.5)的近似值，取五位小数。

8. 易 (10分)已知

xi f(xi) 1 2 3 6 4 5 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）.

9. 易 (10分)用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin0.34。插值节点和相应的函数值如下表。

xi yi?f(xi) 0.0 0.30 0.40 0.0 0.2955 0.3894 10. 中 (10分)用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin0.34的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 11. 中上(10分)已知

xi f(xi) -1 2 4 5 -2 4 5 7 (1) 用拉格朗日插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)； (2) 求x， 使f(x)=0。

12.难 (10分)用余弦函数cosx在x0?0,x1??4,x2??2三个节点处的值写出二次

Lagrange插值多项式函数, 并近似计算cos?6及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。

证明题

1. 易 (10分)证明：由下列插值条件：

x 0 －1 f(x) 1 23－ 41 0 3 25 42 3 5 221 4所确定的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式。该例说明了什么问题？

2. 中 (10分)设l0(x),l1(x),?,ln(x)是以x0,x1,?,xn为节点的n次多项式插值问题的基

函数.

（1）证明

?xi?0nkiil(x)?xk,k?0,1,2,?,n.

（2）证明

l0(x)?1?x?x0(x?x0)(x?x1)??x0?x1(x0?x1)(x0?x2)(n)a?x?b?(x?x0)(x?x1)(x?xn?1)(x0?x1)(x0?x2)(x0?xn)3. 设f(x)?C[a,b],Mn?max|f(x)|，若取

xk?a?bb?a2k?1?cos?,k?1(1)n， 222nMn(b?a)n作节点，证明Lagrange插值余项有估计式maxR(x)?。 2n?1a?x?bn!2

2.3 牛顿插值 选择题

1. 易 (1分)已知f(x)?8x?3x?4x?2x?5，则差商f[7,7,9个8532。 ,7]为（ ）

A、7 B、8 C、0 D、1

2. 易 (1分)设p(x),N(x)是f(x)满足同一插值条件的n次拉格朗日，牛顿插值多项式，

它们的插值余项分别为r(x),R(x)，则（ ）。

A、p(x)?N(x),r(x)?R(x) B、p(x)?N(x),r(x)?R(x) C、p(x)?N(x),r(x)?R(x) D、p(x)?N(x),r(x)?R(x) 3. 中下(1分)f(x)??3x?50x?7x，差商f[1,2,2,9962,2100]?（ ）

A、0 B、-3 C、50 D、-7

2994. 中下(1分)设f(x)??3x?5x?7，均差f??1,2,2,?,2??=( ) .

99 A、3 B、 -3 C、 5 D、0 5. 中 (1分) 设均差表如下 序号 0 1 xi 1 3 f(xi) 0 2 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 4 7 15 12 13 -1 4 -7/2 -5/4 那么均差f (1，3，4)＝( )

A. 4 B. －5/4 C. (15－0)/(4－1)＝5 D. (13－1)/(4－3)=12

填空题

1. 易 (4分)f(x)?2x?5,则f[1,2,3,4,5]?（ ），f[1,2,3,4,5]?（ ） 2. 易 (3分)设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46，则f[0,1]?（ ），f21,0[],（ ），f(x)的二次牛顿插值多项式为（ ）。 3. 易 (1分)已知函数表

3?xi f(xi) 0.2 0.3 0.4 0.04 0.09 0.16 则一次差商f[0.2,0.4]?（ ）。

014. 中下 (2分)已知f(x)?5x?3x?x?7，则差商f[2,2,52,25]=（ ），

1f5[5,,05,]6?（ ）。

5. 中 (1分)已知f(?1)?2,f(0)?1,f(2)?3则f[?1,0]=（ ），

，f[?1,0,2]?（ ），牛顿二次插值多项式N2(x)?f[0,2]=（ ）（ ）。 6. 中下(4分)已知f(0)?1,f(1)?3,f(2)?5,则均差f[0,1,2]?（ ），对应于

x0?0插值基函数l0?x??（ ）。

227. 中 (2分)已知某函数的二阶向前差分?f1为0.15,则其二阶向后差分?f3为

（ ）。

8. 中上 (2分)利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t，其计算公式

为t =（ ）。 9. 中(1分)设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则l1(x)=（ ），f(x)的二次牛顿插

值多项式为（ ）。

10. 易(3分)已知f(0)?0,f(1)?6,f(2)?12,则f[0,1]?（ ）,f[0,1,2]?（ ），逼近f(x)的Newton插值多项式为:（ ）。

11. 易(1分)已知函数f?x?的函数值f?0?,f?2?,f?3?,f?5?,f?6?，以及均差如下

f?0??0,f?0,??24f?,0?,2?,3?f5,3f,5?0,?2,?1,?0? ,2,3,5,60 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 12. 中 (1分)二阶均差f (x0, x 1, x2) = _________________________________． 13. 易 (1分)设f(x)?x3?x?1，则差商f?0, 1, 2, 3?=__________. 14. 中 (1分)设一阶差商f(x1,x2)?f(x2)?f(x1)1?4???3，

x2?x12?1f(x2,x3)?f(x3)?f(x2)6?15??

x3?x24?22 则二阶差商f(x1,x2,x3)?

215. 中下 (1分)设 f(x)?3x?5,xk?kh,k?0,1,2,? ，则f[xn,xn?1,xn?2]?_____

和f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]?_____ 16. 难 (1

分)

f(x)的向前差分形式的

Newton

插值多项式

Nn(x0?th)= 。

n17. 难 (1分) 若yn?2,则?yn? ,?yn? 。

是非题

1. 易 (1分)牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值

的结果。 ( ) 2. 易 (1分)利用等距节点的牛顿插值公式计算x0附近的f(x)，用后插公式。 ( ) 3. 易 (1分)向前差分与向后差分不存在等量关系。 ( ) 4. 易 (1分)在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( )

5. 中 (1分)牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( )

简答题

1. 易 (11分)若f(x)??n?1(x)?(x?x0)(x?x1)(x?xn),xi(i?0,1,,n)互异，求

f[x0,x1,,xp]的值，这里p?n?1.

74012. 易 (10分)若f(x)?x?x?3x?1，求[2,2,,27]和f[20,21,,28]

3. 中下 (10分)设f(x)?x?5x?1，求差商f[2,2],f[2,2,2],f[2,2,730101201,27]和

f[20,21,,27,28]。

4. 中 (10分)给定f(x)?cosx的函数表

xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f(xi) 1.00000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534 用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差 5. 中上(10分)已知f(x)?shx的函数表

xi f(xi) 0 0 0.20 0.20134 0.30 0.30452 0.50 0.52110 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 6. 中 (10分)若f(x)?2x?3x?x?1，求f[3,3,n447. 难 (10分)若yn?2，求?yn及?yn。

6428. 难(10分)已知f(x)?x?x?x?1,xk?2?kh,h?2(k?0,1,2,65301,36],f[30,31,,37]。

)

（1）求f[2,4,6,8,10,12,14]及f[2,6,10,14,18,22,26,30]；

67（2）求?f0及?f7。

9. 中 (10分)若f(x)??n?1(x)?(x?x0)(x?x1)求f[x0,x1,(x?xn)，xi(i?0,1,,n)，互异，

,xp]之值，其中p?n?1。

10. 易(10分)已知函数y?f(x)的相关数据

i xi yi?f(xi) 0 1 2 3 0 1 2 3 1 3 9 27 由牛顿插值公式求三次插值多项式P3(x)，并计算3?P()的值近似值。（注：要求

12给出差商表）

11. 中下 (10分)已知一元方程x?3x?1.2?0。

1）求方程的一个含正根的区间；

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。 证明题

1. 易 (8分)求证

3??j?0n?12yj??yn??y0

2. 中 (10分)设 f(x)?1/(a?x)，证明

f[x0,x1,?,xn]?而且

1.

(a?x0)(a?x1)?(a?xn)

x?x011???a?xa?x0(a?x0)(a?x1)(x?x0)(x?xn)?(a?x0)(a?xn)(a?x)xi ?(x?x0)(x?xn?1)(a?x0)(a?xn)

3.中 (10分)

4 5 已知的f(x)函数表

f(xi) (1)求f(x)的二次插值多项式； (2)用反插值求x，使f(x)?0。

2.4 分段插值 选择题

1. 易 (1分) 下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满足的条件为( )

A、P(xk)?yk(k?0,1,?,n) B、 P(x)在[a,b]上连续 C、 P(x)在各子区间上是线性函 D、P(x)在各节点处可导

填空题

1. 易 (1分)要使分段线性插值函数和sinx的误差小于

（ ）。

1?10?6，选择的步长h最大为22. 易 (1分)已知f(x)?x4，取节点xk?k(k?0,1,2,值，其计算公式f(2.1)?P。 1(2.1)=（ ）3. 中 函数f(x)的线性插值余项表达式为 。

简答题

1. 易 (10分)给出f(x)?)，用线性插值求f(2.1)的近似

1定义在区间[?1,1]上，取n?10，按等距节点求分段线21?25x性插值函数Ih(x)，计算各小区间中点处Ih(x)的值及相对误差。

2. 易(10分)在?4?x?4上给出f(x)?ex的等距节点函数表，若用二次插值法求ex的近

似值，要使误差不超过10?6，函数表的步长h应取多少? 3. 中下 (10分)给定f(x)?lnx的数值表

x 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.356675 Lnx 用线性插值与二次插值计算ln?0.54的近似值并估计误差限中 (10分)若要给出???f(x)?cosx,x??0,?的一张按等距步长h分布的函数表，并按线性插值计算任何

?2??1x?[0,]的cosx值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过?10?4。

224．难 (10分)给出f(x)?sinx的等距节点函数表，如用分段线性插值计算sinx的近似值，使其截断误差为

1?10?4，则函数表的步长应取多大？ 25．中上(10分)求f(x)?x2在[a,b]上的分段线性插值函数Lh(x)，并估计误差。 6．易(8分)设f(x)?x2，求f(x)在区间[0,1]上的分段线性插值函数fh(x)，并估计误差，取等距节点，且h?1/10.

7．易 (1分)求f(x)?x2在[a,b]上的分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。

2.5 Hermite插值 填空题

1. 易 (1分)满足条件p(0)?1,p(1)?p?(1),p(2)?2的插值多项式p(x)?（ ） 2. 易 (1分)（ ）插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而且取已知导数值。

简答题

1. 易 (10分)求满足下列条件的埃尔米特插值多项式：

xi:1 yi:223 ?14

次的多项式

yi?:12. 易(10

分)求不超过

P(x)，使其满足

P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1。

?1)?153. 中下 (10分)求不超过3次的多项式H(x)，使其满足H(?1)?9,H?(，

H(1)?1,H?(1)??1。

4. 中 (10分)给出f(x)?sinx的等距节点函数表，如用分段线性插值计算sinx的近似

值，使其截断误差为

1?10?4，则函数表的步长应取多大？ 25. 难 (10分)求f(x)?sinx在[a,b]上的分段Hermite插值多项式，并估计误差。 6. 中上 (10分)设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次

?,P3(2)?1 。并写出误差估计数不高于3的多项式P3(x)，使 其满足P3(0)?0，P3(1)?3式。

证明题

1. 易 (10分)要给出f(x)?ex在区间[-2,2]上的等距节点函数表，用分段三次Hermite插值

求ex的近似值，要使误差不超过10?8，问函数表的步长h应为多少？

2. 中 (10分)已知函数y?f(x)的数据f(1)?y0,f(2)?y1,f?(1)?m0，用基函数法求

?(1)?m0. f(x)的二次插值多项式H2(x)使H2(1)?y0,H2(2)?y1,H2

3.7 最小二乘法 选择题

1. 易(1分)设方程组Ax?b,A?Rm?n为不相容方程组，则下列说法错误的是（ ）。

A、该方程组一定存在最小二乘解

B、该方程组的最小二乘解是方程组AAx?Ab的解

C、若rank(A)?n?m，则其唯一的最小二乘解为x?(AA)Ab D、若rank(A)?n?m，则其唯一的极小最小二乘解为x?Ab

2. 易 (1分)在区间[0,1]上满足y(0)?1.5,y(1)?2.5的0次拟合多项式曲线是（ ）。

A、y?2 B、y?1.5 C、y?2.5 D、y?4 3. 中下(1分)设A?C（ ）。

A、XAX?A B、AXA?X C、AXA?A D、(AX)?XA 4. 中(1分)设Householder变换矩阵H?I?2vv,v?R，下列说法错误的是（ ）。

A、H是一个对称矩阵

B、H是一个正交矩阵

C、用H左乘以一个非零向量，可以将该向量变为单位向量 D、Hx是x关于v的垂直超平面的镜面反射 5. 易(1分)设A?C??TnHT?1TTT?m?n的Moore-Penrose广义逆矩阵为X，则下列方程中正确的是

m?n，对于其广义逆矩阵A，下列性质不成立的是（ ）。

T??T??(A)?A B、(A)?(A) D、rank(A)?rank(A) (AB)??B?A? C、A、

6. 易(1分)x是超定方程组Ax?b的最小二乘解的充分必要条件是( ).

A、x是AAx?Ab的解 B、x是AAx?Ab的解 C、x是Ax?b的解 D、三者都不对

*7. 易(1分)记?i?yi?yi，i?1,2,...,n,最小二乘法原理要求下列哪个为最小 ( )

**TT*TT*TTA、max?i B、

1?i?n??i?1ni C、

??i?1n2i D、

??i?1ni

8. 中下(1分)设方程组Ax?b,A?R（ ）。

m?n(m?n)为不相容方程组，则下列说法正确的是

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