医用物理习题集(第九章 静电场)

第九章 静电场

一．目的要求： 掌握描述电场性质的两个物理量——场强和电势以及它们之间的关系。掌握静电场的叠加原理、高斯定理与环路定理，理解它们所揭示的静电场性质。掌握电介质的性质及对电场的影响。

二．要点：

?qq?11．库仑定律：F?k122r?4??r??F电场强度定义：E?

q00q1q2?r 2r?点电荷q周围的场强：E?14??0q?r，是一个大小方向都与试探电荷无关的量，2r它仅决定于电场中给定点的性质。

场强迭加原理：点电荷系在给定点的总场强为各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和：

???? E?E1?E2???En?n?i?1?Ei

对于连续分布的电荷，求总场强时要用矢量积分：E????dE

2．人们用电场线来形象地描述场强的空间分布。电场线起于正电荷（或来自无穷远），止于负电荷（或延伸到无穷远），任何电场线不会相交；电场线不形成闭合曲线。由于E?d?Eds?，

d?ds?E是垂直于场强方向的单位面积的电场线条数，叫电场线密度。

当取比例系数为1时，E?d?ds?E。

?3．(1) 通过面元ds的电通量为该处场强E与ds在垂直于场强方向的投影面积的

乘积。即：d?E?Ecos?ds?E?ds。

?式中，?是所考虑的面元ds的正法线方向与E所成的角。对于闭合面，电场线穿

?出闭合面，dΦE为正，穿入时dΦE为负。

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(2) 对于非无限小的曲面s，其电通量为

?E??d?SE???SEcos?ds????S??E?ds

当s为闭合曲面时，?E???Ecos?ds????S??E?ds

在均匀电场中，?E?Escos??E?s

4．高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量，等于该面所包围的电荷量的代数和除以?0，与闭合面外的电荷无关。用公式表示为：

?E???Ecos?dsS?1n?0?qi?1i

高斯定理深刻地反映了静电场的物理性质，它借助电通量与场源电荷之间的数量关系，揭示了静电场“有源”这一基本性质，它被列为电磁学理论的四个基本定律之一。 5．利用高斯定理可以比较方便地求出电荷分布有一定对称性和均匀性的带电体的场强。解决这一问题的关键是分析对称性，选择适当的高斯面。教材中的各例得出的一些结论对我们认识一些具体问题是十分有益的。

（1）均匀带电球壳内场强为0，球壳外任意一点的场强与将球壳的电量看成是集中于球心的点电荷情况相同。

（2）无限大均匀带电平面两侧的场强是均匀的，与场点到平面的距离无关。

E??2?0

式中，σ是电荷面密度；带正电时，E垂直于平面向外；带负电时，E指向带电平面。

两个无限大的带等量异号电荷的平行平面之间的场强E?侧E?0。

（3）无限长均匀带电直导线周围的电场 E???0，平行平面的两个外

?2??0x ，

式中，?是导线上的电荷线密度，x是场点与导线的距离。 6．静电场环的流路定理，静电场力作功。

（1） 在点电荷q的电场中移动电荷q0由a点到b点时，电场力的功：

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Aab??badA?qq04??0ra(1?1rb)

（2）任何带电体系的静电场可看作若干点电荷电场的迭加，合电场E对q0的功 Aab?q0?Ecos?dl

ab若a?b，即沿闭合路径移动电荷一周，Aab?0。 故 ???Ecos?dl??E?dl?0

LL矢量沿一条闭合路径的线积分叫该矢量的环流或环路。因此，该式表明，静电场强沿任何闭合路径的线积分恒等于0，这个结论叫静电场的环路定理。

静电场力作功仅与试探电荷的电量及路径的起点、终点位置有关，而与电荷移动的路径无关，显然，环路定理与这种说法是等价的。环路定理反映了静电场是一种“有势”场。

7．电势能定义：电荷q0在电场中某点a的电势能Wa为：

Wa?q0?Ecos?dl

a? 电势的定义：电场中某点a的电势 Ua?Waq0???aEcos?dl，它在数值上等

于单位正试探电荷在该点所具有的电势能。电势是标量。

8．静电场中任意两点a、b间的电势差（即 电压）：

Uab?Ua?Ub??baEcos?dl

在电势差为Uab的两点间移动电荷所作的功：Aab?qoUab?q0(Ua?Ub) 9．真空中一个孤立点电荷q周围的电场中某点a的电势：

Ua???raEcos?dl?q4??0ra

点电荷系周围的电场中某点a的电势等于各点电荷单独存在时在该点的电势的代数和：

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Ua?14??0n?i?1qiri 。当电荷连续分布时：Ua?14??0?dqr

10．电势相等的点构成的曲面称为等势面，在等势面上移动电荷时电场力作功为0。 电场中某点的场强在任一方向上的分量El等于电势在此方向上变化率的负值，即 El?Ecos???dUdl （负号表示场强方向指向电势降低的方向。）

在电场中的给定点，沿等势面法线n的方向上电势变化率的绝对值最大，此方向上??0，所以：

E??dUdn?gradU （

dUdn 称该点的电势梯度）

已知电势分布，求场强可用此关系。上式给出场强与电势之间的微分关系。 11．电偶极子电场中某点a的电势：Ua?14??0?Pr2a?cos?

式中 P?ql，称为偶极子的电矩，方向为负电荷指向正电荷的方向。ra是偶极子中心到所考虑的场点的矢径。?是ra与P的夹角。注意：零等势面、正半区、负半区等概念。

12．电介质在外电场作用下电介质表面产生束缚电荷的现象称电介质的极化。无极分子发生位移极化，有极分子发生转向极化，也存在位移极化，但较弱。

电介质的电极化率?e是表示电介质极化性能的参数，?e?P?0E。它表示在总场强

E为1单位时，电介质中单位体积内分子电矩矢量和是多少。显然，真空的?e?0。

13．处于电场中的电介质，极化的结果使电介质中的电场发生了改变。总场强 E?Eo1??e?E0?r

式中，?r?1??e 称为该电介质的相对介电常数；???r?0 叫做电介质的介电常数。

平行板电容器的电容 C?两极板间的电势差）。

平行板电容器两极板间为真空中时的电容

QU， （式中Q是任一极板上电量的绝对值，U是

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C0?QU0?QE0d?Q????d??0Q??dQ??0QQS?d??0Sd

?0QEd充满电介质后 C?QU?E0??r??dQE0d??rC0

?r14．任何带电系统形成的过程中都伴随着能量的转换过程。带电系统本身具有一定的能量。

带电电容器储存的能量 W?能量密度 we?三．习题解答：

9—1．如图所示的闭合曲面S内有一点电荷q，P为S面上的任一点 ，在S面外有一电荷q?与q的符号相同。若将q?从A点沿直线移到B点，则在移动过程中： A．S面上的电通量不变；

B．S面上的电通量改变，P点的场强不变；

C．S面上的电通量改变，P点的场强改变；

D．S面上的电通量不变，P点的场强不变； 解：由高斯定理可知，通过闭合面的电通量与面外电荷

S面上的电通量均不变，无关，故不管q?从A如何运动到B，

1212?QC2?212QU?12CU2

?E

电通量只与面内电荷q有关。闭合面上P点的场强，是面内、

面外全部场源电荷产生的总场强，面外的电荷q?虽然对高斯面上的电通量没有贡献，但对P点的场强E是有贡献的，即移动q?时，P点的电场强度E是改变的，不变的是S面上的电通量。故答案为（A）。

9—2．在一橡皮球表面上均匀地分布着正电荷，在其被吹大的过程中，有始终处在球内的一点和始终处在球外的一点，它们的场强和电势将作如下的变化：

A． E内为零，E外减小；U内不变，U外增大； B． E内为零，E外不变；U内减小，U外不变； C． E内为零，E外增大；U内增大，U外减小；

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D． E内，E外，U内，U外均增大；

解：本题要弄清橡皮球被吹大过程中，球内球外场强和电势的变化情况。分析如下：

（1）由于橡皮球表面有电荷而面内无电荷。以橡皮球的球心为球心，过球内一点（如A点）作一半径为ra的高斯球面，故由高斯定理：

?E???sE内?ds??q?0内

因：?q内?0，故而：E内?0。

（2）由于在吹大过程中，一点（例如B点）始终在球外。以橡皮球的球心为球心，过B点作一半径为rb的高斯球面，根据对称性，该高斯球面上各点的场强E外大小都相等，故有 ?E???sE外?ds??q?0i ，∴E外?q4??r20b （q为橡皮球上的总电量），

故E外始终不变。

（3）橡皮球内的电势U内 。按电势的定义，橡皮球内任意一点A的电势为：

U内????raEcos?dl?q?RraE内dlcos??q4??0R??RE外dlcos??0???RE外?dr

4??1R?0?Rr2?1dr?

可见U内?，当橡皮球被吹大过程中，R增加，故U内减小

（4）按电势的定义，橡皮球外任意一点B的电势为

U外??rbEcos?dl?q4??0??1rrbdr?2q4??0?1rb

因rb不变，故U外不变。

综上述，本题正确答案应是（B）。 9—3．设在XY平面内的原点O处有一电偶极子，其电偶极矩P的方向指向Y轴正方向，大小不变，问在X轴上距原点较远任意一点的电势与它离开原点的距离呈什么关系？

A．正比 B．反比

— 40 —

C．平方反比 D．无关系 解：如图9-3，电偶极子场中任一点电势Ua?kPcos?r2，X轴上的点，?=±900，

故cos??0,故沿X轴为偶极子电场中电势分布的零电势线。由此可知，在距原点O较远处的X轴上任一点的电势与它离开原点的距离无关系。故本题答案是（D）

9—4．如果已知给定点处的E，你能否算出该点的U？如果不能，还必须进一步知道什么才能计算？

?答：如果已知电场中某点a的场强E，并不能据此算出该点的点势Ua，还必需知

?道场强E的空间分布情况（场强的空间分布函数）和所选零电势点的位置，然后根据Ua??ba其中积分上限“b”表示零电势点与坐标原点的距离。 E?dl才能算出a点的电势。

9—5．在真空中有板面积S，间距为d的两平行带电板（d远小于板的线度）分别带电量?q与?q．有人说两板之间的作用力F?kqd22；又有人说因为F?qE，

E???0?q?0S，所以F?q2?0S．试问这两种说法对吗？为什么？F应为多少？

答： 不对。 （1）用F?k线度，故不成立。

（2）第二种说法F?qE中， E?qqd22，是将两平行带电板看成点电荷，但题目已知d远小于板的几何

?0S2，而Ｅ是两板上电荷周围的场强的合场强，

看成+q或-q的场强显然不对，故F?q?0S不成立。

正确分析是：A板上的电荷q在Ｂ板处（-q）的电场强度为：E??2?0q2?q2?0S，

故B板上的电荷受A板上电荷的作用力的大小为：FA?B?qE?q22?0S ，同理，

A板上的电荷受B板上电荷的作用力的大小为：FB?A?反作用力。

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2?0S ，这是一对作用力与

本题的正确结果也可以由带电电容器的能量公式出发，通过功能关系推得，参见教材P147[例9—3]。

9—6．带电电容器储存的电能由什么决定？电场的能量密度与电场强度之间的关系是怎样的？怎样通过能量密度求电场的能量？

答：由W?12CU2AB?12QUAB可知，带电电容器储存的电能由电容器的电容C和

两极板之间的电势差UAB决定，或者说由电容器所带的电量Q和两极板之间的电势差

UAB决定。

根据能量密度的定义，we?WV?12?E ，对均匀电场，电场能量的计算可用能

122量密度乘以电场所占据的空间体积得到，即：W?we?V?对we求空间积分，即 W??EV。对于非均匀电场，

2?wedV?v?2v1?EdV

29—7．试求无限长均匀带电直线外一点（距直线Ｒ远）的场强，设电荷的线密度为λ。

解：第一种解法：如图9-7a，设带电直线外一点P距直线z为R，由于带电棒无限长，故P向带电直线所作垂线的垂足O点两边是对称的。在棒的

?z(?z)轴上分别取一小段dz，其所带电量dq??dz，它在P点的电场强度

dE?14??0?dqr2??dz4??0r2，则?dz上的电荷在P点的合场强为：

2?dzdE//?2dEcos??4??0r2cos???dz2??0(R?z)22cos? ——（1）

由图可知： z?R?tg? ， ∴ dz?Rsec2?d? ——（2） 又∵ R?z?R?Rtg??R(1?tg?)?Rsec? ——（3） 将（2）、（3）两式带入（1）式得： dE//???222222222?Rsec?d?2??0Rsec?sin??02??222cos???2??0Rcos?d?

∴E//?

?20dE//??2?2??0R0cos?d???2??0R?2??0R

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故：E??2??0R

当?>0时，E垂直于带电直线指向外。 当?<0时，E指向带电直线。

第二种解法：

根据高斯定理，以带电直线为中心轴，过直线外一点P作一圆柱形高斯面如图9-7b。由于带电直线为无限长，根据对称性，该圆柱形高斯面侧面上各点的场强相等且垂直于带电直线向外。通过闭合曲面的电通量为： ?E???Ecos?ds???Ecos?ds???Ecos?ds???Ecos?ds

ss恻s上s下因为上、下两面E与面S的法线夹角为角为0°，所以cos??1，故 ?E??2，所以 cos?=0 ；侧面E与面的法线夹

?E??ds?2?RLE

s侧??Ecos?dss侧又因为圆柱形闭合面内只包围长度为l的一段棒，其电荷为?l，由高斯定理可得：

?E?2?RLE??L?0 ， ∴ E??2??0R 。

（??0时，E的方向垂直于棒指向外；??0时，E的方向垂直并指向棒。）

9—8．一长度为 L均匀带电直线,电荷的线密度为λ，求直线延长线上与直线近端相距R处P点的电势与场强。

解：建立坐标系如图9—8所示，在直线上任取距坐标原点O为r的线元dr，则电荷元dq??dr 。

∵dq在P点的场强为： dE?k?dr(L?r?R)2

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∴E??dE??k0L?dr(L?R?r)2?k??Ldr(L?R?r)20?k?(1R?1L?R)

?为正时，场强方向沿带电直线经P点指向外，?为负时则方向相反。

又因为在dq的电场中P点的电势为： dU?k∴U??drL?R?r

?dU??L0k?drL?R?r?k?lnL?RR

9—9．一空气平行板电容器C?1.0??F，充电到电量q?1.0?10?5C后，将电源切断，求：

（1）两极板间的电势差和此时的电场能；

（2）若将两极板的距离增加１倍，计算距离改变前后电场能的变化，并解释其原因。

解：（1）两极板间的电势差为：U?电容器中储存的电场能为：W?122qC?12?1.0?101.0?10?5?12?1.0?10(V) ，

7CU?1.0?10Sd?12?1.0?10?7?2?50(J)

（2）空气平行板电容器原来的电容为C??为：C???S2d?12 ，当d增加1倍后，电容器的电容

C 。因为两极板上的电量q不变，所以这时的电场能量为：

W??1q22C??q2C??1.0?10??100J

?51.0?10?12距离改变前后电场能的变化为：?W?W??W?50J，即电场能增加了50J。电场能增加的原因是因为增加两极极板距离时，外力要反抗电场力做功，同时两板间的电势差也要增大。

9—10．试计算均匀带电圆盘轴线上任一点P处的场强。设P点距盘心Ｏ为x，盘之半径为R，电荷的面密度为??。并讨论当R<>x时P点的场强将如何？

解：将圆盘分成许多同轴圆环，取离原点为r，宽为dr的带电圆环如图9—10，则电荷元

dq???ds???2?rdr

由教材P150[例题9-1]可知，均匀带电园环在其垂直于园环面的轴上P点的场强为：

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dE?4??0xdq?r2?x2?32＝

??2?r?xdr4??0?r22?x2?3

2∴ E??dE??R??2?r?xdr4??00?r2?x?3?2?1?2?0????11?R2?? 2x??当R<

??1???????22?0x??11?R2x2≈1?1R2x22，故：

E??2?011?R22?R?1?(1?22x?22??R??Rq)????2224??0x4??0x?4?0x上

式表明，带电圆盘可视为位于盘心的点电荷q ，E可视为该点电荷在P点的场强。

当R>>x 时，

?2?011?R2≈０， x2则：E? ，可看成无限大带电圆板在周围产生的场强。

9—11．有一均匀带电的球壳，其内、外半径分别是a和b，电荷的体密度为ρ。试求从中心到球壳外各区域的场强。

解：设讨论的点与球心的距离为r。以带电的球壳的中心为球心，以r为半径作球形高斯面。

当r

s24由高斯定理?E??q?0?3??r?a33?? ——（2）

?03a??r?2? 由（1）、（2）两式得： E??3?0?r????同理，当r>b时，作r>b为半径的高斯球面，则 E??3?0r2(b?a)

33 — 45 —

9—12． 在真空中有一无限长均匀带电圆柱体，半径为R，电荷的体密度为??。另有一与轴线平行的无限大均匀带电平面，电荷面密度为+σ。今有Ａ、Ｂ两点分别距圆柱体轴线为a与b（aR），且在过此轴线的带电平面的垂直面内。试求：Ａ、Ｂ两点的电势差UA?UB（忽略带电圆柱体与带电平面的相互影响）。

解：如图9—12，A点在圆柱内其场强设为E内，由对称性分析，无限长均匀带电圆柱体之场强方向垂直于圆柱体轴线，在距轴等距处的场强E相同。如图，取一共轴高斯圆柱面S1，其半径为r (r

0??s1E内?ds???s上E内cos90ds???s下E内cos90ds?0??s側E内cos0ds

0 ?E内??ds?E内?2?rh?s側1?0?rh?

2∴ E内??2?0r （r

仿上面的方法再作高斯圆柱面S2，其半径为r (r>R)，(图中未画出)，同上分析方法得：

1??s2E外?ds?E外??s側ds?E外?2?rh??0?Rh?

2∴ E外??2?0rR （r>R时成立）

2因带正电的无限大均匀带电平板外的场强E??2?0，在A、B点处，其场强方向与

带电圆柱在A、B点处的场强反向。所以，A、B两点的合场强EA和EB分别为：EA??r?????2?2?00????R2?? ， EB?????2?r2?00???? ??欲求A、B两点的电势差，可先分别求出其电势，为此设带电圆柱体内轴线处电势为零，则：

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UA???0aEA?dr??0a??r????2?2?00?R???2?dr? a?a?2?04?0?oUB?obEB?dr?2?bEB?dr??REB?dr??Rb??R2????2?r2?00???dr?????r????R?2?2?00?0??dr????R2?0lnRba???2?0?R?b??2?R4?022∴

??R2?0UA－ＵB=

?2?0?4?0a－

?R2?0lnRb??2?0(R?b)??4?0R2??R2?0

化简后：ＵA－ＵB=

1??b?222??R?a??Rln??b?a ??2?0?2R???9—13．一个电偶极子的l?0.02m，q?1.0?10?6C，把他放在1.0?105N?C?1的均匀电场中，其轴线与电场成300，求外电场作用于该偶极子的库仑力与力矩。

解：如图9—13，电偶极子在外电场中受电场力作用，F正?qE， F负??qE，是大小相等方向相反的平行力，即 F正??F负，∴ F合?0

力矩 Ｍ＝Ｆlsin300＝E?q?l?sin300 ＝1.0?10?1.0?10

9—14．试证明在距离电偶极子中心等距离对称之三点上，其电势的代数和为零。 证：如图9—14 ，已知A、B、C三点对电偶极子中O等距离对称，根据电偶极子电场的电势U?kpr25?6?0.02?12?1?10?3N?m

cos?

设A、B、C三点与O点的距离为r，电矩p与OA的夹角为?， 则A、B、C三点的电势分别为：

UA?kUB?kUc?k

pr2cos? cos120cos240prpr2???? ???k?2???pr2cos120?????— 47 —

利用三角函数关系 cos?(??)=cos?cos??sin?sin? 将UB、UC中的余弦展开，并由cos120o?cos(90o?30)?-sin30??oo12 即可得证。具体证明如下：

UA?UB?UC?kpr2pr2cos??kpr2?cos?120?????cos120?????????kcos??kpr2??cos1202?cos??sin120sin??cos120cos??sin120sin???????kpr2cos??kpr?2cos120cos??kpr2?pr2cos??kpr2pr2?2cos90?30pr2????cos?

?kpr2cos??k?2sin30?cos??kcos??kcos??09—15．一空气平行板电容器在充电后注入石蜡，试比较下列两种情况下该电容器内各量的变化，并填入表中。

电量Q 场强E 电势差?U 电容C 场能密度we

石腊注入前电容 器已不与电源相接

不变 减小 减小 增大 减小

石腊注入时 电容器仍与电源相接

增大 不变 不变 增大 增大

d29—16．平行板电容器的极板面积为S，间距为d，将电容器接在电源上，插入厚的均匀电介质板，其相对介电常数为ε

r

。试问

解：设未插入电介质时的场强为E0，

E0?Ud （U为电容器两板间的电势差）

插入电介质板后，由电位移概念，应用有电介质时的高斯定理可知，电容器内电介质内外的电位移是相等的（设为D），由电位移与场强的关系D??E可得： D??r?0E内??0E外 ， ∴ E内?1E外 ，于是得：

E内E外?r?1?r （1）

又因为电介质板插入电容器后，电容器两极板间的

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电势差不变 ∴ E内?d2?E外?d2?U?E0?d （2）

由（1）式与（2）式可得：

E内E0?21??r ，

E外E0?2?r1??r

1答：电容器中电介质内、外场强之比是

E内E021??rE外E02?r1??r?r。它们和插入电介质之前的场强之比分别

是

? 和

? 。

解法2：

插入电介质之前电容器的电容C0?q?C0U??0Sd，电容器极板上的电量

?0SUd ，电容器内的场强E0?Ud 。

插入电介质后，可视为两个电容串联，设有电介质的电容为C1，无电介质的电容为C2 。则：

C1??r?0Sd2?2?r?0Sd ， C2?C1C2?0Sd2?2?0Sd ；

。

它们串联的总电容为：C??C1?C2?2?r?0Sd??r?1?由于电压仍为U ，故电容器极板上的电量变为：

q??C?U?2?r?d??r0SU?1? ，

则两个电容器上的电压分别为：

U1?q?C1q?C2?2?r?0SUd??r?1?2?r?0SUd??r?1??2?r?0Sd??r?1?2?0Sd??U?r?1

U2????rU?r?1所以两个电容器内的场强分别为：

E1?U1d2?2U1d?2Ud(?r?1)?E内

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6433.html