2022-2022年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.10导数的概

2019-2020年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.10导数的概念

及运算课后作业理

一、选择题

1．曲线y ＝lg x 在x ＝1处的切线的斜率是( )

A.1ln 10 B ．ln 10 C ．ln e D.1ln e

答案 A 解析 因为y ′＝

1x ·ln 10，所以y ′|x ＝1＝1ln 10，即切线的斜率为 1ln 10

.故选A. 2．(xx·潼南县校级模拟)如图，是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )

A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数

B ．在(1,3)上f (x )是减函数

C ．在(4,5)上f (x )是增函数

D ．当x ＝4时，f (x )取极大值

答案 C

解析 由于f ′(x )≥0?函数f (x )单调递增；f ′(x )≤0?函数f (x )单调递减，观察f ′(x )的图象可知，

当x ∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A 错误；

当x ∈(1,3)时，函数先增后减，故B 错误；

当x ∈(4,5)时函数递增，故C 正确；

由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D 错误．故选C.

3．(xx·上城区模拟)函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的函数图象可能是( )

答案 B

解析 由图可得－1

∴结合选项可知选项B 符合．

4．(xx·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

答案 C

解析 依题意得f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.

5．(xx·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ? ????－12

≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )

A.5π6

B.3π4

C.π4

D.π6

答案 B 解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0

时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4

，故选B. 6．(xx·山西名校联考)若函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )

A ．f (x )＝3cos x

B ．f (x )＝x 3＋x 2

C ．f (x )＝1＋sin2x

D ．f (x )＝e x ＋x 答案 C

解析 A 选项中，f ′(x )＝－3sin x ，其图象不关于y 轴对称，排除A ；B 选项中，f ′(x )

＝3x 2＋2x ，其图象的对称轴为x ＝－13

，排除B ；C 选项中，f ′(x )＝2cos2x ，其图象关于y 轴对称；D 选项中，f ′(x )＝e x

＋1，其图象不关于y 轴对称．故选C.

7．(xx·河南郑州质检二)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )

A ．－1

B ．0

C ．2

D ．4

答案 B

解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13

.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，

所以g ′(3)＝1＋3×? ??

??－13＝0.故选B. 8．(xx·辽宁五校联考)已知f (x )＝x 3－2x 2

＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )

A ．4

B ．5 C.254 D.132

答案 C

解析 ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，切线方程为y

－2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54

，∴所求面积S ＝12×54×10＝254

.故选C. 9．(xx·青山区月考)函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

答案 C

解析 由导函数的图象和y ＝f (x )的图象过原点，设f (x )＝ax 2

＋bx ，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，

由图得a >0，b >0，则－b 2a <0，4ac －b 24a ＝－b 24a <0， 则函数f (x )＝ax 2＋bx 图象的顶点? ????－b 2a ，－b 2

4a 在第三象限，故选C. 10．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )

A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164

答案 C

解析 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上．

(1)当O (0,0)是切点时，则k ＝f ′(0)＝2，直线l 方程为y ＝2x .

又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，∴x 2－2x ＋a ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1.

(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋

2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①

又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②

联立①②解得x 0＝32

(x 0＝0舍)， 即k ＝－14，则直线l 方程为y ＝－14

x . 由????? y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，联立得x 2＋14

x ＋a ＝0， 由Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164，综上，a ＝1或a ＝164

，故选C. 二、填空题

11．(xx·临川区三模)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是________．

答案 －34

解析 求导得：f ′(x )＝cos x ＋sin x ，

∵f ′(x )＝2f (x )，

∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，即3cos x ＝sin x ，

∴tan x ＝3，则tan2x ＝2tan x 1－tan 2

x ＝61－9＝－3

4

. 12．设a ∈R ，函数f (x )＝e x

＋a

e x 的导函数是

f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )

的一条切线的斜率是3

2，则切点的横坐标为

________．

答案 ln 2

解析 函数f (x )＝e x

＋a

e x 的导函数是

f ′(x )＝e x

－a

e x .又

f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )

＝－f ′(－x )，即e x

－a

e x ＝－(e －x －a e x )，所以(e 2x

＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝e x －1e x .令e x －1e x ＝32，解得e x ＝2或e x

＝－12

(舍去)，所以x ＝ln 2.

13．(xx·金版创新)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )在R 上的导函数f ′(x )＞12，

则不等式f (x )＜

x ＋1

2

的解集为________．

答案 (－∞，1)

解析 据已知f ′(x )＞12，可得?

???

?

?f x －1

2x ′＝f ′(x )－12＞0，即函数F (x )＝f (x )－

12

x 在R 上为单调递增函数，又由f (1)＝1可得F (1)＝12，故f (x )＜

1＋x 2＝12＋1

2

x ，化简得f (x )－12x ＜1

2

，即F (x )＜F (1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)． 14．(xx·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x

－x (e 为自然对数的底数)的任意切线

l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．

答案 [－1,2]

解析 易知函数f (x )＝－e x

－x 的导数为f ′(x )＝－e x

－1，设l 1与曲线f (x )＝－e x

－x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，故由

题意知对任意实数x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则函数y ＝1

e x

＋1

的值域是y ＝a －2sin x 值域的子集，则(0,1)?[a －2，a ＋2]，则???

?

?

a －2≤0，a ＋2≥1，

∴－1≤a ≤2.

三、解答题

15．(xx·云南大理月考)设函数f (x )＝ax －b x

，曲线y ＝f (x )在点 (2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.

(1)求f (x )的解析式；

(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74

x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是?????

2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得????? a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝? ????1＋3x 20(x －x 0)， 即y －? ????x 0－3x 0＝? ??

??1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为? ??

??0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．

所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12????

??－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

16．(xx·福建四地联考)已知函数f (x )＝13x 3－32

x 2＋2x ＋5. (1)求函数f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程；

(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．

解 (1)∵f (x )＝13x 3－32

x 2＋2x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2，易求得f ′(3)＝2，f (3)＝132

. ∴f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程是y －132

＝ 2(x －3)，即4x －2y ＋1＝0. (2)令f (x )＝2x ＋m ，

即13x 3－32

x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ， 得13x 3－32x 2＋5＝m ，设g (x )＝13x 3－32

x 2＋5， ∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，

∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点，

易得g ′(x )＝x 2

－3x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝3，

当x <0或x >3时，g ′(x )>0，

当0

∴g (x )在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减，

又g (0)＝5，g (3)＝12

，即g (x )极大值＝5， g (x )极小值＝12

，

∴可画出如图所示的函数g (x ) 的大致图象， ∴实数m 的取值范围为? ??

??12，5.

2019-2020年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.12定积分与微

积分基本定理课后作业理

一、选择题

1．(xx·凉山州模拟)??1e ? ??

??x ＋1x d x ＝( ) A ．e 2 B.e 2＋12 C.e 2－12 D.e 2

＋32 答案 B

解析 ??1e ? ????x ＋1x d x ＝? ????12x 2＋ln x |e 1＝? ????12e 2＋1－? ????12＋0＝e 2＋12，故选B.

答案 C

3．(xx·抚州期中)曲线y ＝2x

与直线y ＝x －1及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )

A.34

B.52 C ．4－2ln 2 D ．2ln 2－12

答案 D

解析 画图得三个交点分别为(1,0)，(1,2)，(2,1)，

故曲线y ＝2x

与直线y ＝x －1及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为 S ＝??12? ????2x

－x ＋1＝? ????2ln x －12x 2＋x |2

1＝2ln 2－2＋2＋12－1＝2ln 2－12，故选D. 4．(xx·南昌一模)若??1a ? ????2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

答案 A

解析 由题意可知??1a ? ??

??2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.故选A.

5．(xx·郑州质检)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝

??0416－x 2d x ，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( ) A ．π2 B ．4π2 C ．8π2 D ．16π2

答案 D

解析 因为a 6＋a 8＝??0416－x 2d x ＝14×π×42＝4π，所以a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 6a 8＋a 28＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝16π2

，故选D.

6．(xx·河南模拟)已知

1sin φ＋1cos φ＝22，若φ∈? ????0，π2，则??－1tan φ(x 2－2x )d x ＝( )

A.13 B ．－13 C.23 D ．－23

答案 C

7．设a ＝??0π

sin x d x ，则? ????a x －1x 6的展开式中常数项是( ) A ．－160 B ．160 C ．－20 D ．20

答案 A

解析 依题意得，a ＝－cos x|π

＝－(cos π－cos0)＝2，? ????a x －1x 6＝? ????2x －1x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·? ?

?

??－1x r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x 3－r .令3－r ＝0，得r ＝3.因此? ????a x －1x 6的展开式中的常数项为C 36·23·(－1)3＝－160，故选A.

8．如图，设抛物线y ＝－x 2

＋1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是(

)

A.56

B.45

C.34

D.23

答案 C

解析 因为第一象限内抛物线与坐标轴所围区域的面积为??0

1(－x 2＋1)d x ＝(－13x 3＋x )|10＝23，△AOB 的面积为S ＝12×1×1＝12，所以P 点落在△AOB 内的概率为1223

＝34

.故选C. 9．(xx·枣庄模拟)一辆汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝2＋sin t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位：km)是( )

A ．3－cos1

B ．3＋cos1

C ．1＋cos1

D ．1－cos1 答案 A

解析 由v (t )＝2＋sin t >0，故这辆车行驶的路程s ＝??01v (t )d t ＝??0

1(2＋sin t )d t ＝(2t －cos t )1

0＝(2－cos1)－(－cos0)＝3－cos1，故选A.

10．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2

所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是(

)

A ．1

B.π4

C.22 3

D．22－2

答案 D

二、填空题

答案 2

12．(xx·南开区二模)由曲线y＝x2，y＝x围成的封闭图形的面积为________．

答案1 3

13．(xx·金版原创)若m >1，则f (m )＝??1m ? ??

??1－4x 2d x 的最小值为________． 答案 －1

解析 f (m )＝??1m ? ????1－4x 2d x ＝? ????x ＋4x |m 1＝m ＋4m

－5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．

14．(xx·山西大学附中模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．

答案 23－2π3

三、解答题

15．(xx·阳东县校级月考)如图，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .

(1)求切线l 的方程；

(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S .

解 (1)f ′(x )＝424x －8＝1x －2

， ∴切线l 的斜率k ＝f ′(6)＝12

， ∴切线l 的方程为y －4＝12

(x －6)，即x －2y ＋2＝0. (2)令f (x )＝0得x ＝2，

把y ＝0代入x －2y ＋2＝0得x ＝－2，

∴封闭图形的面积

16.(xx·信阳调研)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2

.试在此区间内确定t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．

解 面积S 1等于边长为t 与t 2

的矩形面积去掉曲线 y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－

??0t

x 2d x ＝23t 3.

S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,

1－t .

即S 2＝??t 1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分面积

S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13

(0≤t ≤1)． 令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ? ??

??t －12＝0时， 得t ＝0或t ＝12

. t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.

所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/63yq.html