小学奥数-几何五大模型（等高模型）

三角形等高模型与鸟头模型

模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来

3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶

6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：

AAFAGBDCC DEC BD⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

B

⑴⑵⑶⑷⑸⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？

⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ A

BDC

【解析】 因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A

点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD的面积?12?高?2?6?高 三角形ABC的面积?（12?4）?高?2?8?高 三角形ADC的面积?4?高?2?2?高

4倍； 3三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的

【例 3】 如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面

积是 平方厘米。

AEDBFC

【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4?3?2?6(平方厘米)。

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积

是 平方厘米。

【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也

等于平行四边形面积的一半，为50?2?25平方厘米。

【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则

它内部阴影部分的面积是 。

ABFDEC1【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为?20?12?120。

2

【例 4】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。

AEBHDGAEBHDG

【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。

连接BH、CH。 ∵AE?EB， ∴S△AEH?S△BEH．

同理，S△BFH?S△CFH，SCGH=SDGH，

11∴S阴影?S长方形ABCD??56?28(平方厘米)．

22FCFC

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部

分的面积是 。

ADGEBFCEBFA65431G2CHD

【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正

方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形

的面积和第5个第6个三角形相等。

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

【例 5】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

AHDEG

【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

HDAFBCEG

B111S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36 22211 即S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18；

2211111 而S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5。

22228 所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5 可得：S?EHB? 解法二：特殊点法。找H的特殊点，把H点与D点重合，

那么图形就可变成右图：

AD(H)FC

EG

这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111 S阴影?SABCD?S?AED?S?BEF?S?CFD?36???36????36???36?13.5。

2222222

【例 6】 长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

FCBAHDEGBFC

A(H)DAHDEGEGC F B【解析】 （法1）特殊点法。由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），

那么阴影部分的面积就是?AEF与?ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD111133面积的和，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的??，为36??13.5。

848884（法2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图。

111可得：S?EHB?S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36，

22211即S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18；

2211111而S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5。

22228所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5。

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

分别与P点连接,求阴影部分面积。

ADA(P)DADBFCPPCCBB

【解析】 （法1）特殊点法。由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴

11影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部

4611分的面积为62?(?)?15平方厘米。

46（法2）连接PA、PC。

BC由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积

1之和等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面

4111积的，所以阴影部分的面积为62?(?)?15平方厘米。

646

【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD?12厘米，DE?3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC

面积的几倍？

AEBDC

【解析】 因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED

是三角形EBC的高，

于是：三角形ABC的面积?BC?12?2?BC?6

三角形EBC的面积?BC?3?2?BC?1.5 所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．

【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一

共有哪几个三角形？

FADEC

【解析】 AEC、AFC、ABF．

【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共

有哪几个三角形？

ABE

【解析】 3个，AEC、BED、DEC．

【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

AODBDC

【解析】 ABD与ACD，ABC与DBC，ABO与DCO．

【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE?3AB，BD?2BC，三角形BDE

的面积是多少？

BBEAEACDCDBCEBC ?2SACB【解析】 连接CE，∵AE?3AB，∴BE?2AB，S又∵BD?2BC，∴SBDE

?2SBCE?4SABC?4．

【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，?ABC的面积是 平方厘米．

BDBDAEFC

AEFC

11【解析】 连接CD．根据题意可知，?DEF的面积为?DAC面积的，?DAC的面积为?ABC面积的，所

23111以?DEF的面积为?ABC面积的??．而?DEF的面积为5平方厘米，所以?ABC的面积为

23615??30(平方厘米)． 6

【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF

长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

AEFBDC

SSABDABC【解析】 ABD，ABC等高，所以面积的比为底的比，有

所以S?BD1?, BC2SAFE11AE1=?SABC??180?90(平方厘米)．同理有SABE??SABD??90?30(平方厘米)，22AD3FE3??SABE??30?22.5 (平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米． BE4ABD

【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB?24厘米，BC?8厘米，求

三角形ZCY的面积．

DZAYCB111【解析】 ∵Y是BD的中点，Z是DY的中点，∴ZY???DB，SZCY?SDCB，

224111又∵ABCD是长方形，∴SZCY?SDCB??SABCD?24 (平方厘米)．

442

【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．

AFBE

CD

【解析】 三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24?2?12，

三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12?2?6．

三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积?6?2?3．

【巩固】如图，在三角形ABC中，BC?8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形

EBF的面积是多少平方厘米？

AEBFC

【解析】 ∵F是AC的中点

∴S∴SABC?2SABFABF

BEF同理SBEF?2SABC

?S?4?8?6?2?4?6(平方厘米)．

【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36

个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．

GGCCDDEAFBEFAB

【解析】 如右图分割后可得，SEFG?S矩形DEFC?2?S矩形ABCD?4?36?4?9（平方单位）．

【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN?BN.

那么，阴影部分的面积是多少？

ANBCMDANBCMD【解析】 连接BM，因为M是中点所以△ABM的面积为

1又因为2AN?BN，所以△BDC的面积为41111115??，又因为△BDC面积为，所以阴影部分的面积为：1???. 4312212212

【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方

形组合而成．求阴影部分的面积．

BA12cm236cm212cm2M36cm2N48cm224cm248cm2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则AB?121241?，CD??，

12?36424?48311111所以MN???，阴影部分面积为(12?24?36?48)???5(cm2)．

3412212

24cm2CD

【例 13】 如图，三角形ABC中，DC?2BD，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABCCE?3AE，

的面积是多少？

AEBDC

【解析】 ∵CE?3AE，∴AC?4AE，SADC?4SABCADE；

ADC又∵DC?2BD，∴BC?1.5DC，S?1.5S?6SADE?120(平方厘米)．

【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、

三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是 ．

BDAE【解析】 根据题意可知，S?ADC

?S?ADE?S?DCE?89?28?117，

C所以BD:AD?S?BDC:S?ADC?26:117?2:9， 那么S?DBE:S?ADE?BD:AD?2:9，

2227故S?DBE?89??(90?1)??20??19．

9999

【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形

BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．

AADDhBCE

【解析】 如右图，作AB的平行线DE．三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就

BC是三角形BDC与三角形ABD的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：

2?10?5?4(分米)，梯形面积是：15?4?2?30(平方分米)．

【例 16】 图中AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．

AOBCD

?15cm2，且OB?3OD，所以有SABD【解析】 在ABD中，因为S从而SAOBAOD?SAOB?3?5cm2．

因为ABD和ACD等底等高，所以有SOCD?SOCDACD．

?15cm2，在BCD中，SBOC?3S?45cm2，所以梯形面积：15?5?15?45?80． （cm2）

【例 17】 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

DABCDAA′C B

【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可

以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A′处，A′BD与 ABD面积相等，从而A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点． 具体做法：⑴ 连接BD；

⑵ 过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′． ⑶ 连接A′D，则A′CD与四边形ABCD等积．

【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形

面积的15%，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？

黄红绿红

【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿

色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%?15%?35%．

已知黄色三角形面积是21cm2，所以长方形面积等于21?35%?60（cm2）．

【例 19】 O是长方形ABCD内一点，已知?OBC的面积是5cm2，?OAB的面积是2cm2，求?OBD的面积是多少？

DAOPB11【解析】 由于ABCD是长方形，所以S?AOD?S?BOC?SABCD，而S?ABD?SABCD，所以S?AOD?S?BOC?S?ABD，

22则S?BOC?S?OAB?S?OBD，所以S?OBD?S?BOC?S?OAB?5?2?3cm2．

【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若?PBD的面积为8平方

分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？

AEPFGDEAPFGDC

【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边

BHCBHC

形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差． 如右上图，连接CP、AP．

1由于S?BCP?S?ADP?S?ABP?S?BDP?S?ADP?SABCD，所以S?BCP?S?ABP?S?BDP．

211而S?BCP?SBCFE，S?ABP?SABHG，所以SBCFE?SABHG?2?S?BCP?S?ABP??2S?BDP?16(平方分米)．

22

【例 21】 如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形?BPC的面积是15，求阴影?BPD的面积．

AAPDPDOBC

BC

【解析】 连接AC交BD于O点，并连接PO．如下图所示，

可得PO//DC，所以?DPO与?CPO面积相等(同底等高)，所以有：

S?BPO?S?CPO?S?BPO?S?PDO?S?BPD，

11 因为S?BOC?SABCD??20?5，所以S?BPD?15?5?10．

44

【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12，正三角形?BPC的面积是5，求阴影?BPD的面积．

AAPDPDO

【解析】 连接AC交BD于O点，并连接PO．如右上图所示，

可得PO//DC，所以?DPO与?CPO面积相等(同底等高)，所以有:

S?BPO?S?CPO?S?BPO?S?PDO?S?BPD，

1 因为S?BOC?SABCD?3，所以S?BPD?5?3?2．

4

【例 22】 在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰?AOB的面积为16，等腰?DOC的面积占长方形面积

的18%，那么阴影?AOC的面积是多少？

BC

BCDOC

【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去?DOC的面积(长方形面积的18%)，再减去?AOD的面积，即

可求出?AOC的面积．

AB11根据模型可知S?COD?S?AOB?SABCD，所以SABCD?16?（?18%）?50，

22又?AOD与?BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以?AOD的面积等于长方

形面积的

1， 41所以S?AOC?S?ACD?S?AOD?S?COD?SABCD?25%SABCD?18%SABCD?25?12.5?9?3.5．

2

【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，E、F

分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知?ADG 的面积为15cm2，而?BCG的

7面积恰好是梯形ABCD面积的，则梯形ABCD的面积是 cm2．

20ADFADFEGEGCB

【解析】 如果可以求出?ABG与?CDG的面积之和与梯形ABCD面积的比，那么就可以知道?ADG的面积占

B梯形ABCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCD的面积．

如图，连接CE、DE．则S?AEG?S?DEG，S?BEG?S?CEG，于是S?ABG?S?CDG?S?CDE．

要求?CDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形ABCD绕F点旋转180?，变成一个平行四边形．如下图所示：

C1从中容易看出?CDE的面积为梯形ABCD的面积的一半．(也可以根据S?BEC?S?ABC，

21111S?AED?S?AFD?S?ADC，S?BEC?S?AED?S?ABC?S?ADC?SABCD得来)

2222173那么，根据题意可知?ADG的面积占梯形ABCD面积的1??，所以梯形ABCD的面积是?22020315??100cm2．

20小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G与E重合，则?CDE的面积占梯形面积的一半，那么?ADG与?BCG合起来占一半．

【例 24】 如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

FABGDECFABGDEC

【解析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等

高的平行四边形面积的一半．

证明：连接BE．(我们通过△ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．)

1∵在平行四边形ABCD中，S△ABE??AB?AB边上的高，

21∴S△ABE?SABCD．

21同理，S△ABE?SAEGF，∴平行四边形ABCD与AEGF面积相等．

2

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

EAFDGCBFDGCAEB 【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平

行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)．

1∵在正方形ABCD中，S△ABG??AB?AB边上的高，

21∴S△ABG?SABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

21同理，S△ABG?SEFGB．

2∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽?8?8?10?6.4(厘米)．

【例 25】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的面积为 ．

HHAEDAEGDGBFCB

FC

【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33．

【例 26】 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的

面积．

DCDCFAEBF

AEB

【解析】 连结AF、CE．

∴SADE?SACE；SCDF?SACF；

ACF又∵AC与EF平行，∴S∴ SADEACE?S．

?SCDF?4(平方厘米)．

【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE?1，求△BEF

的面积．

CEDABCEFBADF

【解析】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之间的三角形面积

相等)和等量代换的思想．连接AC． ∵AB∥CD，∴S△ADE?S△ACE 同理AD∥BC，∴S△ACF?S△ABF

又S△ACF?S△ACE?S△AEF，S△ABF?S△BEF?S△AEF，∴ S△ACE?S△BEF，即S△BEF?S△ADE?1．

【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．

【解析】 4?4?2?8．

【例 28】 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10

厘米，求阴影部分的面积．

DCGQFOHEKAQDCGFOHEKPP

【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角

线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．

如右图所示，连接FK、GE、BD，则BD//GE//FK，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得S?DGE?S?BGE，S?KGE?S?FGE，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积，即为102?100平方厘米．

【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．

ABBABGEDF4CABGF4EDC

【解析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接

AD(见右上图)，可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正

方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4?4?2?8．

【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图

中阴影部分的面积为 ．

DCDCFHGEFHEGBA

【解析】 如图，连接AF，比较?ABF与?ADF，由于AB?AD，FG?FE，即?ABF与?ADF的底与高分

AB别相等，所以?ABF与?ADF的面积相等，那么阴影部分面积与?ABH的面积相等，为6平方厘米．

【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？

DDAAGHE BC【解析】 方法一：三角形BEF的面积?BE?EF?2，

BFGHCFE

梯形EFDC的面积?（EF?CD）?CE?2?BE?EF?2?三角形BEF的面积，

而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积?三角形BCH的面积， 进而可得，阴影面积?三角形BDF的面积?三角形BCD的面积?10?10?2?50(平方厘米)．

方法二：连接CF，那么CF平行BD ，

所以，阴影面积?三角形BDF的面积?三角形BCD的面积?50(平方厘米)．

【巩固】(人大附中考题)已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积．

AFGJDAFGIJDIBECH

BECH

【解析】 如果注意到DF为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到DF与

CI是平行的．所以可以连接CI、CF，如上图．

由于DF与CI平行，所以?DFI的面积与?DFC的面积相等．而?DFC的面积为10?4?以?DFI的面积也为20．

【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积．

1?20，所2FEFEADHADHG

BG BCC【解析】 连接AC、GF，由于AC与GF平行，可知四边形ACGF构成一个梯形．

由于?HCG面积为6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的

1，根据梯形蝴蝶2定理或相似三角形性质，可知?FHG的面积为12平方厘米，?AHF的面积为6平方厘米，?AHC的面积为3平方厘米．

那么正方形CGEF的面积为?6?12??2?36平方厘米，所以其边长为6厘米．

又?AFC的面积为6?3?9平方厘米，所以AD?9?2?6?3(厘米)，即正方形ABCD的边长为3厘

1米．那么，五边形ABGEF的面积为：36?9?32??49.5(平方厘米)．

2

【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的

点，DF?FC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．

A乙DF甲BE丙C

【解析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF?FC．所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE1与CD平行，四边形ADCE是平行四边形，阴影部分的面积?平行四边形ADCE的面积的，所以

2阴影部分的面积?乙的面积?2．设甲、乙、丙的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积

为5份，从而阴影部分的面积?32?5?2?12.8(平方厘米)．

【例 31】 如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么

三角形ABC的面积是多少？

AFCAFCAFCDBE

DBED

BE

【解析】 方法一：连接对角线AE．

∵ADEF是长方形

1 ∴S?ADE?S?AEF?SADEF

2DBS?ADB3FCS?ACF1∴??， ?? DES?ADE8EFS?AEF2BEDE?DB5CEFE?CF1∴??，?? DEDE8EFEF21515∴S?BEC????16?

282213∴S?ABC?SADEF?S?ADB?S?ACF?S?CBE?．

2方法二：连接BF，由图知S△ABF?16?2?8，所以S△BEF?16?8?3?5，又由S△ACF?4，恰好是

△AEF面积的一半，所以C是EF的中点，因此S△BS△ABC?16?3?4?2.5?6.5

CE?S△BCF?5?2?2.，5所以

【例 32】 如图，在平行四边形ABCD中，BE?EC，CF?2FD．求阴影面积与空白面积的比．

AHFGBECD11【解析】 方法一：因为BE?EC，CF?2FD，所以S△ABE?S四边形ABCD，S△ADF?S四边形ABCD．

46因为AD?2BE，所以AG?2GE，

1121所以S△BGE?S△ABE?S四边形ABCD，S△ABG?S△ABE?S四边形ABCD．

3123611同理可得，S△ADH?S四边形ABCD，S△DHF?S四边形ABCD．

8241111112因为S△BCD?S四边形ABCD，所以空白部分的面积?(????)S四边形ABCD?S四边形ABCD，

2212246831所以阴影部分的面积是S四边形ABCD．

312:?1:2，所以阴影面积与空白面积的比是1:2． 33

【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且AE?3EC，O为DC与BE的交点．若?CEO的面积为a平方厘米，?BDO的面积为b平方厘米．且b?a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是 平方厘米．

ADbBOaEC1111【解析】 S?ABC?S?BCD?b?S?BCO，S?ABC?S?BCE?a?S?BCO，所以S?ABC?S?ABC?b?a?2.5(平方厘

2424米)．所以S?ABC?2.5?4?10(平方厘米)．

【例 34】 如图，在梯形ABCD中，AD:BE?4:3，BE:EC?2:3，且?BOE的面积比?AOD的面积小10

平方厘米．梯形ABCD的面积是 平方厘米．

AD

OBEC【解析】 根据题意可知AD:BE:EC?8:6:9，则

S?ABD83?，S?ABE?S?ABD， S?ABE641而S?ABD?S?ABE?S?AOD?S?BOE?10平方厘米，所以 S?ABD?10，则S?ABD?40平方厘米．

4S9?61515又?BCD??，所以S?BCD??40?75平方厘米． S?ABD888

所以S梯形ABCD?S?ABD?S?BCD?40?75?115(平方厘米)．

【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛)如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE

2与BD相交于O点．已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC?BC．求

5梯形ABCD的面积．

AODAOD

【解析】 连接AC．根据差不变原理可知三角形ABE的面积比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD与三

角形ACD面积相等，因此也与三角形ACE面积相等，从而三角形ABE的面积比三角形ACE的大4

平方米．

222 但EC?BC，所以三角形ACE的面积是三角形ABE的?，从而三角形ABE的面积是

55?23?2??2?4??1???12(平方米)，梯形ABCD的面积为：12??1??2??28(平方米)． ?3??3?

【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中

阴影部分的面积是多少？

BECBECA4935DEB13

【解析】 三角形ABC的面积?三角形CDE的面积?(13?35?49)?长方形面积?阴影部分面积；又因为三角

1形ABC的面积?三角形CDE的面积?长方形面积，所以可得：

2阴影部分面积?13?35?49?97．

【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边

上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？

C

【解析】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．

CE8AD55B

有?ABC为直角，而?CED??ABC，所以?CED也为直角.而CE?CB?5.ADE与CED同高，

SAE13-58所以面积比为底的比，及ADE===，设ADE的面积为“8”，则CED的面积为

SCED5EC5“5”．CED是由CDB折叠而成，所以有CED、CDB面积相等，ABC是由ADE、CED、CDB15组成，所以SABC=“8”+“5”+“5”=“18”对应为?5?12?30，所以“1”份对应为，那么

23511△ADE的面积为8?=13平方厘米．即阴影部分的面积为13平方厘米．

333

【例 37】 如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是

多少平方厘米？

AFBGDEC

【解析】 如下图，连接FC，DBF、BFG的面积相等，设为x平方厘米;FGC、DFC的面积相等，设为

1y平方厘米，那么DEF的面积为y平方厘米．

3ADxFyECBxGy

SB?2?1SCDx?2y，

?x?y?0.5①111．所以有．比较②、①式，②式左边比①=x+y=l???BDE3x?y?1②333?式左边多2x，②式右边比①式右边大0.5，有2x?0.5，即x?0.25,y?0.25．而阴影部分面积为

255y?y??0.25?平方厘米．

3312

【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大

伯常走这两条小路，他知道DF?DC,且AD?2DE．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．

CEDFBCEDFAABCEDGABF

【解析】 方法一：连接BD．

设△CED的面积为1， △BED的面积x，则根据题上说给出的条件，由DF?DC得S△BDC?S△BDF， 即△BDF的面积为x?1、S△ADC?S△ADF;

又有AD?2DE，S△ADC?S△ADF?2S△CDE?2、S△ABD?2S△BDE?2x，而S△ABD?x?1?2?2x； 得x?3，所以S△ACF:S△CFB?(2?2):(1?3?4)?1:2．

?x?1?y方法二：连接BD，设S△CED?1(份)，则S△ACD?S△ADF?2,设S△BED?xS△BFD?y则有?，

2x?y?2??x?3解得?，所以S△ACF:S△CFB?(2?2):(4?3?1)?1:2

y?4?方法三：过F点作FG∥BC交AE于G点，由相似得CD:DF?ED:DG?1:1,又因为AD?2DE，所以AG:GE?AF:FB?1:2，所以两块田地ACF和CFB的面积比?AF:FB?1:2

【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，BC?45，AC?21，?ABC被分

成9个面积相等的小三角形，那么DI?FK? ．

BDEGAHJKCIF

【解析】 由题意可知，BD:BC?S?BAD:S?ABC?2:9，所以BD?DI:DC??DIF2BC?10，CD?BC?BD?35；又9S:?SDF?C2:5，所以DI?2DC?14，同样分析可得FK?10，所以5DI?FK?14?10?24．

【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，

并且?OAB、?ABC、?BCD、?CDE、?DEF的面积都等于1，则?DCF的面积等于 ．

NFDBOACEM

S四边形ABCD?10?10?3?2?3?2?53．

2

【例 47】 如图，三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3．求长方形ABCD的面积．

ABFAHGMBF

【解析】 如图，过F作FH∥AB，过E作EG∥AD，FH、EG交于M，连接AM．

则S矩形ABCD?S矩形AGMH?S矩形GBFM?S矩形MFCE?S矩形HMED

?AG?AH?2S?AMF?2S?EMF?2S?AME ?DE?BF?2S?AEF

DECDEC?11?3?2?17?67

另解：设三角形ADE、CEF、ABF的面积之和为s，则正方形ABCD的面积为s?17．

从图中可以看出，三角形ADE、CEF、ABF的面积之和的2倍，等于正方形ABCD的面积与长方形AGMH的面积之和，即2s??s?17??11?3，得s?50，所以正方形ABCD的面积为50?17?67．

【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD中，AB?67，

BC?30．E、F分别是AB、BC边上的两点，BE?BF?49．那么，三角形DEF面积的最小值是 ．

DCFDNMOECFAEB

AB

【解析】 由于长方形ABCD的面积是一定的，要使三角形DEF面积最小，就必须使?ADE、?BEF、?CDF的面积之和最大．

由于?ADE、?BEF、?CDF都是直角三角形，可以分别过E、F作AD、CD的平行线，可构成三个矩形ADME、CDNF和BEOF，如图所示．

容易知道这三个矩形的面积之和等于?ADE、?BEF、?CDF的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形ABCD的面积加上长方形MDNO的面积．所以为使?ADE、?BEF、?CDF的面积之和最大，只需使长方形MDNO的面积最大．

长方形MDNO的面积等于其长与宽的积，而其长DM?AE，宽DN?CF，由题知

AE?CF??AB?BC???BE?BF??67?30?49?48，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，

所以当AE与CF的差为0，即AE与CF相等时它们的积最大，此时长方形MDNO的面积也最大，所以此时三角形DEF面积最小．

当AE与CF相等时，AE?CF?48?2?24，此时三角形DEF的面积为：

167?30??67?30?24?24??2?717．(也可根据67?30???67?24?30?24?43?6??717得到三角

2形DEF的面积)

【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意

一点，BL?DM?4、BK?DN?5，那么阴影部分的面积是 ． APNLBA(P)LBAPNLBKNKKDCDCMM

【解析】 （法1）特殊点法．由于P是内部任意一点，不妨设P点与A点重合(如上中图)，那么阴影部分就是

DMC?AMN和?ALK．而?AMN的面积为(12?5)?4?2?14，?ALK的面积为(12?4)?5?2?20，所以

阴影部分的面积为14?20?34．

（法2）寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、DP可得右上图所示：

11 则有:S?PDC?S?PAB?SABCD??122?72

22 同理可得：S?PAD?S?PBC?72;

1 而S?PDM:S?PDC?DM:DC?4:12?1:3,即S?PDM?S?PDC；

3155 同理：S?PBL?S?PAB,S?PND?S?PDA,S?PBK?S?PBC;

3121215 所以：(S?PDM?S?PBL)?(S?PND?S?PBK)?(S?PDC?S?PAB)?(S?PDA?S?PBC)

312 而(S?PDM?S?PBL)?(S?PND?S?PBK)?(S?PNM?S?PLK)?(S?DNM?S?BLK)；

阴影面积1 S?DNM?S?BLK??4?5?10；

2 所以阴影部分的面积是：

15S?PNM?S?PLK?(S?PDC?S?PAB)?(S?PDA?S?PBC)?(S?DNM?S?BLK)

31215 即为：?72??72?10?2?24?30?20?34．

312

【例 50】 如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四

边形PQRS的面积之比．

DHAPESRBFGQESRCBFAPGQHD

【解析】 (法1)设S?AED?S1，S?BGC?S2，S?ABF?S3，S?DHC?S4．

1111连接BD知S1?S?ABD，S1?S?ABD，S1?S?ABD，S2?S?BCD；

222211所以S1?S2??S?ABD?S?BCD??SABCD；

221同理S3?S4?SABCD．于是S1?S2?S3?S4?SABCD；

2C

注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形PQRS；因此四块阴影的面积和就等于四边形PQRS的面积．

(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．

【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O，S1、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积．试比较S1?S3与S2?S4的大小．

DGCS4S3BDFGCS4S3BFS1HOS2AES1HOS2AE

【解析】 如右图，连接AO、BO、CO、DO，则可判断出，每条边与O点所构成的三角形都被分为面积相

等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于S1?S3、S2?S4这两个不同的组合，所以可知S1?S3?S2?S4．

【例 51】 如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC?3:2:1，BG:GH:AH?3:2:1，AD:BC?1:2，已知

四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积? ．

EDFCDEFCA

【解析】 运用三角形面积与底和高的关系解题．

HGBAHGB

连接AC、AE、GC、GE，因为DE:EF:FC?3:2:1，BG:GH:AH?3:2:1，所以，

1在?ABC中，S?BCG?S?ABC，

21在?ACD中，S?AED?S?ACD，

21在?AEG中，S?AEH?S?HEG，

21在?CEG中，S?CFG?S?EFG．

21111因为S?BCG?S?AED?S?ABC?S?ACD??S?ABC?S?ACD??SABCD?2S?BCG，

2222所以SAGCE?SABCD??S?BCG?S?AED??4?2?2．

11又因为SAGCE?S?AEH?S?HEG?S?CFG?S?EFG?S?HEG?S?HEG?S?EFG?S?EFG

2233??S?HEG?S?EFG??SEFGH， 2234所以SEFGH?2??．

23

【拓展】如图，对于任意四边形ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH，求四边形

EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？

AJMENFBKHDOGPC

【解析】 分层次来考虑：

22⑴如下左图，SBMD?SABD?，SBPD?SCBD?，

3322所以SMBPD?(SABD?SCBD)??SABCD?．

33又因为SDOM?SPOM，SMNP?SBNP，

1所以SMNPO?SMBPD；

2121SMNPO???SABCD??SABCD．

233BNMAAKFEJJHDOGPCDMENFBKHOGPC

12⑵如右上图，已知MJ?BD，OK?BD；所以MJ:BD?1:2；

33所以ME:EO?1:2，即E是三等分点；

同理，可知F、G、H都是三等分点；

1111所以再次应用⑴的结论，可知，SEFGH??SMNPO???SABCD?SABCD．

3339

【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分

别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LP?MQ?NR，当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XY?XL．

这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程．

APLXBQYMZNRC

【解析】 连接LN、NM、ML，显然，△LMN是正三角形将△LMN放大至如图⑵．

APLXBQMZYNRCLXYZRN

图⑴ 图⑵

M

连MZ，由对称性知，YM?YZ?YX?ZN．因此，S△XYZ?S△MYZ?S△MNZ． 同理，S△MNY?S△LMX?S△NLZ?2S△XYZ．

1111所以，S△XYZ?S△MNL??S△ABC?S△ABC．

6?17428

【例 53】 如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的

2，其中F是BC边上任意一点，三角形AME、三3角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12．求三角形NDE的面积．

ABABMEFNDCDEMFNCh

【解析】 如图，设上底为2a，下底为3a，三角形ABE与三角形ABF的高相差为h．

1由于S?ABF?S?ABE?S?BMF?S?AME?20?14?6，所以?2ah?6．即ah?6．

211又S?CDE?S?CDF?S?DEN?S?CFN??3ah??3?6?9，所以S?DEN?12?9?21．

22

【例 54】 如图，已知ABCD是梯形，AD∥BC，AD:BC?1:2，S?AOF:S?DOE?1:3，S?BEF?24cm2，求

?AOF的面积．

AFOEBCBDFhAOEDC

【解析】 本题是09年EMC六年级试题，初看之下，ABCD是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四

边形ADEF内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为

E、F这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，S?AOF:S?DOE?1:3，S?BEF?24cm2，这两个条

件中的前一个可以根据差不变原理转化成?ADE与?ADF的面积差，?BEF则是?BCF与?BCE的面积差，两者都涉及到E、F以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过E、F分别作梯形底边的平行线．

如右图，分别过E、F作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为h．再过B作AD的垂线．

由于S?AOF:S?DOE?1:3，所以S?DOE?3S?AOF，故S?DOE?S?AOF?2S?AOF．根据差不变原理，这个差等于?ADE与?ADF的面积之差．而?ADE与?ADF有一条公共的底边AD，两个三角形AD边上的高

11相差为h，所以它们的面积差为AD?h，故2S?AOF?AD?h．

22再看?BEF，它的面积等于是?BCF与?BCE的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边BC，

11BC边上的高也相差h，所以这两个三角形的面积之差为BC?h，故S?BEF?BC?h．

2211由于AD:BC?1:2，所以BC?2AD，则S?BEF?BC?h?AD?h?2?4S?AOF，

22所以S?AOF?S?BEF?4?6cm2．

【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、如CD的中点．

果?ASM、?MTB与?DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 ．

DASMTCNDASMTCNBB

【解析】 连接MN、AC、BD．

由于M是AB的中点，所以?AMN与?BMN的面积相等，而?MTB比?ASM的面积大1，所以?MSN比?MTN的面积大1；又由于N是CD的中点，所以?DMN的面积与?CMN的面积相等，那么?CTN的面积比?DSN的面积大1，所以?CTN的面积为9．

假设?MTN的面积为a，则?MSN的面积为a?1．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知?ASD的

4863面积为，?BTC的面积为．

aa?1要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1，3或7．

由于?ADM的面积为?ABD面积的一半，?BCN的面积为?BCD面积的一半，所以?ADM与?BCN的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以?ADM与?BCN的面积之和等于四边形BMDN的面积，即： 48634863?6??9?7?a?a?1?8，得??2a?1． a?1aa?1a将a?1、3、7分别代入检验，只有a?7时等式成立，所以?MTN的面积为7，?MSN、?ASD、?BTC的面积分别为8、6、9．

四边形ABCD的面积为?6?7?8?9??2?60．

小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．

如右图，分别过E、F作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为h．再过B作AD的垂线．

由于S?AOF:S?DOE?1:3，所以S?DOE?3S?AOF，故S?DOE?S?AOF?2S?AOF．根据差不变原理，这个差等于?ADE与?ADF的面积之差．而?ADE与?ADF有一条公共的底边AD，两个三角形AD边上的高

11相差为h，所以它们的面积差为AD?h，故2S?AOF?AD?h．

22再看?BEF，它的面积等于是?BCF与?BCE的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边BC，

11BC边上的高也相差h，所以这两个三角形的面积之差为BC?h，故S?BEF?BC?h．

2211由于AD:BC?1:2，所以BC?2AD，则S?BEF?BC?h?AD?h?2?4S?AOF，

22所以S?AOF?S?BEF?4?6cm2．

【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、如CD的中点．

果?ASM、?MTB与?DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 ．

DASMTCNDASMTCNBB

【解析】 连接MN、AC、BD．

由于M是AB的中点，所以?AMN与?BMN的面积相等，而?MTB比?ASM的面积大1，所以?MSN比?MTN的面积大1；又由于N是CD的中点，所以?DMN的面积与?CMN的面积相等，那么?CTN的面积比?DSN的面积大1，所以?CTN的面积为9．

假设?MTN的面积为a，则?MSN的面积为a?1．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知?ASD的

4863面积为，?BTC的面积为．

aa?1要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1，3或7．

由于?ADM的面积为?ABD面积的一半，?BCN的面积为?BCD面积的一半，所以?ADM与?BCN的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以?ADM与?BCN的面积之和等于四边形BMDN的面积，即： 48634863?6??9?7?a?a?1?8，得??2a?1． a?1aa?1a将a?1、3、7分别代入检验，只有a?7时等式成立，所以?MTN的面积为7，?MSN、?ASD、?BTC的面积分别为8、6、9．

四边形ABCD的面积为?6?7?8?9??2?60．

小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/63wr.html