清华 - 第三版 - 运筹学教程 - 课后答案~（ - 第一章 - 第五章部

清华第三版 运筹学 答案[键入文字] [键入文字] [键入文字]

运筹学教程

1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg

维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1所示。 表1 饲料 1 2 3 4 5 蛋白质（g） 3 2 1 6 18 矿物质（g） 1 0.5 0.2 2 0.5 维生素（mg） 0.5 1 0.2 2 0.8 价格（元/kg) 0.2 0.7 0.4 0.3 0.8 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。

解：设总费用为Z。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。xi表示满足动物生长的营养需要时，第i种饲料所需的数量。则有：

minZ?0.2x1?0.7x2?0.4x3?0.3x4?0.8x5?3x1?2x2?x3?6x4?8x5?700??x1?0.5x2?0.2x3?2x4?0.5x5?30s.t.??0.5x1?x2?0.2x3?2x4?0.8x5?100?x?0,i?1,2,3,4,5?i

2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班

开始时间向病房报道，试决定：

（1） 若护士上班后连续工作8h，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要； （2） 若除22:00上班的护士连续工作8h外（取消第6班），其他班次护士由医院

排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。

表2

班次 1 2 3 4 5 工作时间 6:00～10:00 10:00～14:00 14:00～18:00 18:00～22:00 22:00～2:00 所需护士人数（人） 60 70 60 50 20 6

2:00～6:00 30

解：（1）设x第i班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6

minZ?x1?x2?x3?x4?x5?x6?x1??x1?x2?s.t.?x3?x?4?x5??xi?x6?60?x2?70?x3?60?x4?50?x5?20?x6?30?0,i?1,2,3,4,5,6且为整数

解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设xi第i班开始上班的人数，i=1,2,3,4。

minZ?x1?x2?x3?x4?30?y11x1?y21x2?y31x3?y41x4?60，第一班约束??y11?1,y11?y12?y13?y14?2?yx?yx?yx?yx?70，第二班约束121222323424??y22?1，y21?y22?y23?y24?2?s.t.?y13x1?y23x2?y33x3?y43x4?60，第三班约束?y?1，y?y?y?y?231323334?33?y14x1?y24x2?y34x3?y44x4?50，第四班约束??y44?1，y41?y42?y43?y44?2?x?0，y是0—1变量，i,j?1,2,3,4ij?i

3. 要在长度为l的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n种，分别为aj（j=1,2，…n）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。

解：设xi表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n。

1

nmaxZ??ai?1ixi?n??aixi?1?i?1?x是整数?i

4. 一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的与最大允许载重量如表3.1所示。现有三

种货物待运，已知有相关数据列于表3.2。 表3.1

项目 最大允许载重量（t） 容积（ m2） 表3.2 商品 A B C 数量（件） 600 1000 800 每件体积（m3/件） 每件重量（t/件） 运价（元/件） 10 5 7 8 6 5 1000 700 600 前舱 2000 4000 中舱 3000 5400 后舱 1500 1500 又为了航海安全，前、中、后舱实际载重量大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应该载A,B,C各多少件运费收入才最大？试建立这个问题的线性规划模型。

解：设xij表示第i件商品在舱j的装载量，i,j=1,2,3

maxZ?1000(x11?x12?x13)?700(x21?x22?x23)?600(x31?x32?x33)

1) 商品的数量约束：

?x11?x12?x13?600??x21?x22?x23?1000 ?x?x?x?8003233?312) 商品的容积约束：

2

?10x11?5x21?7x31?4000??10x12?5x22?7x32?5400 ?10x?5x?7x?1500132333?3) 最大载重量约束：

?8x11?6x21?5x31?2000??8x12?6x22?5x32?3000 ?8x?6x?5x?15002333?134) 重量比例偏差的约束：

??8x11??8x?11??8x13???8x13???8x13???8x13??6x21?5x31??6x21?5x31??6x23?5x33??6x23?5x33??6x23?5x33??6x23?5x33?232312123434(1?0.15)(8x12?6x22?5x32)(1?0.15)(8x12?6x22?5x32)(1?0.15)(8x12?6x22?5x32)

(1?0.15)(8x12?6x22?5x32)(1?0.1)(8x11?6x21?5x31)(1?0.1)(8x11?6x21?5x31)5. 篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比赛。8名队员的身高及擅长位置见表

5. 表5 队员 身高（m） 擅长位置 1 1.92 中锋 2 1.9 中锋 3 1.88 前锋 4 1.86 前锋 5 1.85 前锋 6 1.83 后卫 7 1.8 后卫 8 1.78 后卫 出场阵容应满足以下条件： （1） 只能有一名中锋上场； （2） 至少一名后卫；

（3） 如1号和4号均上场，则6号不出场； （4） 2号和8号至少有一个不出场。

问应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高，试建立数学模型。 解：设xi?1表示第i个队员出场，i=1,2…8.

3

maxZ?18ix?5i?1?8??xi?5 ?i?1??x1?x2?1，x6?x7?x8?1?x?x?1，x?x?x?28146?2??xi是0—1变量6. 时代服装公司生产一款新的时装，据预测今后6个月的需求量如表4所示，每件时

装用工2h和10元原材料费，售价40元。该公司1月初有4名工人，每人每月可工作200h，月薪2000元。该公司可于任一个月初新雇工人，但每雇1人需一次性额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需补偿1000元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库存费每件每月5元，当供不应求时，短缺数不需补上。试帮组该公司决策，如何使用6个月的总利润最大。

表4 单位：件

月份 需求 1 500 2 600 3 300 4 400 5 500 6 800 解：设xi1为第i月现有工人人数，xi2为新雇工人人数，xi3为辞退工人人数，yi为每月的需求。i=1,2，…，6。则有：

6maxZ??(40?10)?i?1200266j(xi1?xi2)??(2000i?1xi1?3500xi2?1000xi3)?5??(ni?yi)f(ni?yi)j?1k?1?1，x?0其中f(x)???0，x?0?x11?4?2，?，5?xi1?xi3?xi1?xi2，i?1，s.t.??ni?200?(xi1?xi2)?2?x?0，i?1，2，,?，6；k?1，2?ik

7. 童心玩具厂下一年度的现金流（万元）如表6所示，表中负号表示该月现金流出大

于流入，为此该厂需借款。借款有两种方式：一是于上一年末借一年期贷款，一次得全部贷款额，从1月底起每月还息1%，于12月归还本金和最后一次利息；二是得到短期贷款，每月初获得，于月底归还，月息1.5%。当该厂有多余现金时，可短期

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存款，月初存入，月末取出，月息0.4%。问该厂应如何进行存贷款操作，既能弥补可能出现的负现金流，又可使年末现金总量为最大。 表6 月份 现金流 1 2 3 -8 4 -10 5 -4 6 5 7 -7 8 -2 9 15 10 12 11 -7 12 45 -12 -10 解：设长期存款为y，i=1,2,…，wi为第i个月的短期贷款额，zi为第i个月短期存款额，n。则有：

maxZ?1.004z12?1.01y?1.015w12?y?w1?z1?12?1.004z1?0.01y?1.015w1?z2?w2?10??1.004z2?0.01y?1.015w2?z3?w3?8??1.004z3?0.01y?1.015w3?z4?w4?10?1.004z?0.01y?1.015w?z?w?44455??1.004z5?0.01y?1.015w5?z6?w6??5s.t.??1.004z6?0.01y?1.015w6?z7?w7?7?1.004z?0.01y?1.015w?z?w?27788??1.004z8?0.01y?1.015w8?z9?w9??15?1.004z?0.01y?1.015w?z?w??12991010??1.004z10?0.01y?1.015w10?z11?w11?7??1.004z11?0.01y?1.015w11?z12?w12??45

8. 某地准备投资D元建民用住宅，可以建住宅的地点有n处：A1，A2，?An。An处每幢

住宅的造价为d，最多可造a幢。问应当在哪几处建住宅，分别建几幢，才能使建造的住宅总数最多，试建立问题的数学模型。 解：设xi表示在A处所建住宅的数量，i=1,2，…n。

nmaxZ??xi?1i?n

dx?D，x?a，i?1，2，?n??iiii?i?1?x是整数?i9. 有一批每根长度为l的圆钢，需截取n种不同长度的零件毛坯。长度为aj的毛坯必

须有mj段（j=1，2，…n），为了方便，每根圆钢只截取一种长度的毛坯。应当怎样

5

截取，才能使动用的圆钢数目最少，要求建立数学模型。

解：设xi表示各种毛坯使用圆钢的数量，yi表示各种毛坯在一根圆钢上可得到的数量。i=1,2，…n。

nminZ??xi?1i2，?，n?ajxi?l，i?1， ?yx?m，i?1，2，?，n?iij??xi，yi?0，且都是整数?i?1，2，?，n?10. 一个旅行者要在其背包里装一些最有用的旅行用品。背包容积为a，携带物品总重

量最多为b。现有物品m件，第i件物品体积为ai，重量为bi（i=1,2，m）。为了比较物品的有用程度，假设第i件物品的价值为ci（i=1,2，m）。若每件物品只能整件携带，每件物品都能放入包中，并且不考虑物品放入包后相互的间隙。问旅行者应当携带几件物品，才能使携带物品的总价值最大，要求建立数学模型。 解：设xi?1表示携带第i件物品，i=1,2，…，m。

mmaxZ??ci?1ixi?m??aixi?a?i?1m????bixi?b?i?1?x是0—1变量???m?i?1,2，

11. 宏银公司承诺为谋建设项目从2003年起的4年中每年初分别提供以下数额贷款：

2003年——100万元，2004年——150万元，2005年——120万元，2006——110万元。以上贷款资金均需2002年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额情况下，可将多余资金分别用于下列投资项目：

（1） 于2003年初购买A种债卷，期限3年，到期后本息合计为投资额的140%，

但限购60万元。

（2） 于2003年初购买B种债卷，期限2年，到期后本息合计为投资额的125%，

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且限购90万元。

（3） 于2004年初购买C种债卷，期限2年，到期后本息合计为投资额的130%，

但限购50万元。

（4） 于每年初将任意数额的资金存放于银行，年息4%，于每年底取出。 求宏银公司应如何运用好这笔筹集到的资金，使2002年底需要筹集到的资金数额为最少。

解：设x为2002年底该公司需要筹集到的资金额；y1，y2，y3分别为2003、2004、2005年初存放到银行的资金数；wA，wB，wC分别为购买A、B、C债卷的数额。则有：

minZ?x?x?y1?wA?wB?100?1.04y1?y2?wC?150??1.04y2?1.25wB?y3?120??1.04y3?1.40wA?1.30wC?110 s.t.??x?0，y1、y2、y3?0，?0?w?60，A??0?wB?90，?0?w?50C?

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