2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（浙江卷，正式版

2016年高考浙江卷数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合P?x?R1?x?3,Q?x?Rx?4, 则P?(eRQ)? A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．(??,?2]?[1,??) 【答案】B

【解析】根据补集的运算得

2. 已知互相垂直的平面?，?交于直线l.若直线m，n满足m∥?,n⊥?， 则 A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】C

．故选B．

???2?

3. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域

?x?2?0? 中的点在直线x+y?2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= ?x?y?0?x?3y?4?0?A．22 B．4 C．32 D．6 【答案】C

【解析】如图?PQR为线性区域，区域内的点在直线x?y?2?0上的投影构成了线段R?Q?，即AB，而

?x?3y?4?0?x?2R?Q??PQ，由?得Q(?1,1)，由?得R(2,?2)，

?x?y?0?x?y?0AB?QR?(?1?2)2?(1?2)2?32．故选C．

1

4. 命题“?x?R，?n?N*，使得n?x2”的定义形式是

A．?x?R，?n?N*，使得n?x2 B．?x?R，?n?N*，使得n?x2 C．?x?R，?n?N*，使得n?x2 D．?x?R，?n?N*，使得n?x2 【答案】D

【解析】?的否定是?，?的否定是?，n?x的否定是n?x．故选D． 5. 设函数f(x)?sin2x?bsinx?c，则f(x)的最小正周期 A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 【答案】B

22

6. 如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且AnAn?1?An?1An?2,An?An?2,n?N， （P?Q表示点PQ与不重合）. BnBn?1?Bn?1Bn?2,Bn?Bn?2,n?N*，若dn?AnBn，Sn为△AnBnBn?1的面积，则

*

2A．{Sn}是等差数列 B．{Sn}是等差数列 2C．{dn}是等差数列 D．{dn}是等差数列

【答案】A

【解析】Sn表示点An到对面直线的距离（设为hn）乘以BnBn?1长度一半，即Sn?1hnBnBn?1，由题目2中条件可知BnBn?1的长度为定值，那么我们需要知道hn的关系式，过A1作垂直得到初始距离h1，那么

A1,An和两个垂足构成了等腰梯形，那么hn?h1?AnAn?1?tan?，其中?为两条线的夹角，即为定值，那

么Sn?11(h1?A1An?tan?)BnBn?1，Sn?1?(h1?A1An?1?tan?)BnBn?1，作差后：221Sn?1?Sn?(AnAn?1?tan?)BnBn?1，都为定值，所以Sn?1?Sn为定值．故选A．

2 2

x22x22

7. 已知椭圆C1：2+y=1(m>1)与双曲线C2：2–y=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，

mn则

A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m

m2?1n2?111??(1?)(1?)，代入【解析】由题意知m?1?n?1，即m?n?2，(e1e2)?2222mnmn22222m2?n2?2，得m?n,(e1e2)2?1．故选A．

8. 已知实数a，b，c

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100 【答案】D

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9. 若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______． 【答案】9

【解析】xM?1?10?xM?9

10. 已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________． 【答案】2 1

【解析】2cos2x?sin2x?2sin(2x?)?1，所以A?2,b?1.

?411. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm，体积是 cm.

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【答案】72 32

【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2?(2?2?4)?32，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(2?2?2?2?4?4)?2(2?2)?72

3

12. 已知a>b>1.若logab+logba=【答案】4 2

5，ab=ba，则a= ，b= . 21t5?t?2?a?b2， 2【解析】设logba?t,则t?1，因为t??2因此ab?ba?b2b?bb?2b?b2?b?2,a?4.

13.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= . 【答案】1 121

14. 如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .

【答案】

1 2【解析】?ABC中，因为AB?BC?2,?ABC?120?， 所以?BAD?BCA?30.

222由余弦定理可得AC?AB?BC?2AB?BCcosB

??22?22?2?2?2cos120??12，

所以AC?23. 设AD?x，则0?t?23，DC?23?x.

222在?ABD中，由余弦定理可得BD?AD?AB?2AD?ABcosA

?x2?22?2x?2cos30??x2?23x?4.

故BD?x2?23x?4. 在?PBD中，PD?AD?x，PB?BA?2.

PD2?PB2?BD2x2?22?(x2?23x?4)3由余弦定理可得cos?BPD?， ??2PD?PB2?x?22所以?BPD?30.

? 4

PCED

过P作直线BD的垂线，垂足为O.设PO?d

AB11BD?d?PD?PBsin?BPD， 22121即x?23x?4?d?x?2sin30?， 22则S?PBD?解得d?xx?23x?42. 111CD?BCsin?BCD?(23?x)?2sin30??(23?x). 222设PO与平面ABC所成角为?，则点P到平面ABC的距离h?dsin?.

而?BCD的面积S?故四面体PBCD的体积V?11111x S?BcD?h?S?BcDdsin??S?BcD?d??(23?x)?233332x?23x?4?1x(23?x).

26x?23x?4x2?23x?4?(x?3)2?1，因为0?x?23，所以1?t?2.

设t?则|x?3|?t2?1.

（2）当3?x?23时，有|x?3|?x?3?t2?1，

5

故x?3?t2?1. 1(3?t2?1)[23?(3?t2?1)]此时，V?

6t14?t214???(?t). 6t6t由（1）可知，函数V(t)在(1,2]单调递减，故V(t)?V(1)?综上，四面体PBCD的体积的最大值为

141(?1)?. 6121. 2b的最6 ,则a·

15. 已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜?大值是 ． 【答案】

1 2??????????2?2????11【解析】|(a?b)?e|?|a?e|?|b?e|?6?|a?b|?6?|a|?|b|?2a?b?6?a?b?，即最大值为

22三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B. （I）证明：A=2B；

a2

（II）若△ABC的面积S=，求角A的大小.

4

【试题分析】（I）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin??sin?????，再判断???的取值范围，进而可证??2?；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sinC?cos?，再利用三角形的内角和可得角?的大小．

a21a2（II）由S?得absinC?，故有

424

6

1sin?sinC?sin2??sin?cos?，

2因sin??0，得sinC?cos?．

又?，C??0,??，所以C?当??C?当C????2??．

?2时，??时，??或???2； ．

?2?4综上，???2?4．

17. (本题满分15分)如图,在三棱台ABC?DEF中,平面BCFE?平面

ABC,?ACB=90?,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(I)求证：EF⊥平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【试题分析】（I）先证?F??C，再证?F?C?，进而可证?F?平面?CFD；（II）方法一：先找二面角???D?F的平面角，再在Rt??QF中计算，即可得二面角???D?F的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面?C?和平面???的法向量，进而可得二面角???D?F的平面角的余弦值．

（II）方法一：

过点F作FQ???，连结?Q．

7

因为?F?平面?C?，所以?F???，则???平面?QF，所以?Q???． 所以，??QF是二面角???D?F的平面角．

在Rt??C?中，?C?3，C??2，得FQ?31313． 在Rt??QF中，FQ?31313，?F?3，得cos??QF?34． 所以，二面角???D?F的平面角的余弦值为34． 8

18. （本小题15分）已知a?3，函数F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}， ?p，p?q，其中min{p，q}=?

q,p>q.?（I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范围； （II）（i）求F（x）的最小值m（a）； （ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

【试题分析】（I）分别对x?1和x?1两种情况讨论F?x?，进而可得使得等式F?x??x2?2ax?4a?2成立的x的取值范围；（II）（i）先求函数f?x??2x?1，g?x??x2?2ax?4a?2的最小值，再根据F?x?的定义可得F?x?的最小值m?a?；（ii）分别对0?x?2和2?x?6两种情况讨论F?x?的最大值，进而可得F?x?在区间?0,6?上的最大值??a?．

（II）（i）设函数f?x??2x?1，g?x??x?2ax?4a?2，则

2f?x?min?f?1??0，g?x?min?g?a???a2?4a?2，

所以，由F?x?的定义知m?a??minf?1?,g?a?，即

????0,3?a?2?2m?a???．

2???a?4a?2,a?2?2（ii）当0?x?2时，

F?x??f?x??max?f?0?,f?2???2?F?2?，

9

当2?x?6时，

F?x??g?x??max?g?2?,g?6???max?2,34?8a??max?F?2?,F?6??．

所以，

?34?8a,3?a?4． ??a????2,a?4x2219. （本题满分15分）如图，设椭圆2?y?1（a＞1）.

a（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

?y?kx?1?【试题解析】（I）设直线y?kx?1被椭圆截得的线段为??，由?x2得 2?2?y?1?a?1?ak?x222?2a2kx?0，

故

2a2k． x1?0，x2??221?ak因此

???1?kx1?x2?22a2k1?a2k2?1?k． 2（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点?，Q，满足

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