高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_理工类

第十二章 微分方程

内容概要

§12.1微分方程的基本概念 内容概要

课后习题全解

1． 指出下列微分方程的阶数：

知识点：微分方程阶的定义

★（1）

x(y )2 4yy 3xy 0；

解： 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。 注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。

例：（错解）方程的阶数为2。( (y ))

★（2）

2

xy 2y x2y 0；

解： 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴ 方程的阶数为2。

★（3）

xy 5y 2xy 0；

解： 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。

★（4）

(7x 6y)dx (x y)dy 0。

(n)

思路：先化成形如 F(x,y,y , ,y解：化简得

) 0的形式，可根据题意选x或y作为因变量。

dy6y 7x

， 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。

dxx y

2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

知识点：微分方程的解的定义 。

思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。

★（1）

xy 2y， y 5x2；

2

解：将y 10x， y 5x代入原方程得

左边 所以

x 10x 2 5x2 2y 右边，

y 5x2是所给微分方程的解。

★（2）

y 2y 0,y C1cos x C2sin x；

解： y C1sin x C2cos x，

将

y 2C1cos x 2C2sin x，y C1cos x C2sin x ，

代入原方程得 ： 左边 所以

★ （3）

y 2y 2C1cos x 2C2sin x 2(C1cos x C2sin x) 右边，

y C1cos x C2sin x是所给微分方程的解。

y

22y

y 2 0,y C1x C2x2； xx

2

解：将y C1x C2x，y C1 2C2x ，y 2C2 ，

代入原方程得：

2C1 4C2x2(C1x C2x2)22y

左边=y y 2 2C2 0 右边 2

xxxx

所以

★（4）

y C1x C2x2是所给微分方程的解。

y ( 1 2)y 1 2y 0 y C1e 1x C2e 2x ；

1x

解：将y C1e

C2e 2x，y C1 1e 1x C2 2e 2x，y C1 12e 1x C2 22e 2x，

代入原方程得： 左边

y ( 1 2)y 1 2y

2

2

C1 1e 1x C2 2e 2x ( 1 2)(C1 1e 1x C2 2e 2x) 1 2(C1e 1x C2e 2x)

0所以

右边 ，

y C1e 1x C2e 2x是所给微分方程的解。

★★ 3. 验证由方程

y lnxy所确定的函数为微分方程(xy x)y xy 2 yy 2y 0 的解；

11y

。 y ，即y

xyxy x

解： 将y lnxy的两边对x求导得： y

再次求导得：

y (xy x) y(y xy 1) xy y2 y1x2

y ( y yy y )。 22

xy xy(xy x)(xy x)

注意到由

y

11x

y ，可得 y xy 1， xyy

所以

y

11

[ (xy 1)y yy y ] ( xy 2 yy 2y )，

xy xxy x

x)y xy 2 yy 2y 0 ，

从而 (xy 即由

y lnxy所确定的函数是所给微分方程的解。

注：在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。

★ 4.

y Cx

1C

（C是任意常数）是方程xy

yy 1 0的通解，求满足初始条件yx 0 2的

特解。

解：将初始条件y

x 0

2，代入通解得 2

11，从而C ， C2

所以所求特解为

y

1

x 2。 2

★5.

y (C1 C2x)e x（C1,C2为任意常数）是方程y 2y y 0的通解，求满足初始条件

yx 0 4,y x 0 2的特解。

解：将yx 0 4，代入通解得 C1 4， 所以 y C2e

将

x

(4 C2x)e x，

y x 0 2，代入上式得 2 C2 4，所以 C2 2，

y (4 2x)e x。

所以所求特解为

★★6.设函数

2

y (1 x)3的通解，求u(x)。 1 x

y2

解： 由题意得 y (1 x)u (x) 2(1 x)u(x)，即 (1 x)u(x)，

1 x

y (1 x)2u(x)是方程y

代入所给微分方程得 (1 即 u (x)

x)2u (x) 2(1 x)u(x) 2(1 x)u(x)=(1 x)3，

1 x，

x2

积分得 ：u(x) (1 x)dx= x C (C为任意常数)即为所求。

2

★★7 曲线上点

P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分，试写出该曲线满足的微

分方程。

解：设曲线为y y(x)，则曲线上点P(x,y)处的法线斜率为

1， y

由题目条件知PQ中点的横坐标为0，所以Q点的坐标为( x,0)， 从而有

y 0

1， x xy即

yy 2x 0 为该曲线满足的微分方程。

f(x)使它满足 f(tx)dt f(x) xsinx。

01

★★★8.求连续函数

思路：利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条

件。

解：令u tx，则du xdt ，且有t 0,u 0，t 1,u x，

原方程化简为

x

1

f(u) du f(x) xsinx，

x

即

x

f(u)du xf(x) x2sinx，

f(x) f(x) xf (x) 2xsinx x2cosx，

两边关于x求导得化简得

f (x) 2sinx xcosx，

f(x) ( 2sinx xcosx)dx cosx xsinx C 即为所求函数。

两边积分得

§12.2 可分离变量的微分方程

2． 指出下列微分方程的通解：

知识点：可分离变量微分方程的解法。

★ （1）

xy ylny 0；

解： 分离变量得

1dy 1dx，

ylnyx

1dy 1dx，

两边积分得 xylny

求解得 lnln从而 lnlny

y lnx lnC lnCx

，

，即lny Cx，

故通解为

y eCx。

注：积分出现对数形式时，绝对值符号可以忽略，并不影响结果的正确性。例：lnlny lnx lnC

改写为ln(lny)

★（2）

lnx lnC，从而ln(lny) lnCx，即lny Cx，故通解为y eCx。

x(y2 1)dx y(x2 1)dy 0；

解：分离变量得

yx

dy dx，

y2 1x2 1

两边积分

yx

dy dx， 22 y 1x 1

即

11

lny2 lnx2 C1， 22

2

化简得 (y

1)(x2 1) e2C1，

2

故通解为(y

1)(x2 1) C，其中C为任意常数。

★（3）

xydx x2dy 0；

1x

dy dx，

2y x1x

dy y x2dx，

解：分离变量得

两边积分得

即 ln

y x2 C1，

故通解为而

y C2e

x2

，其中C2

eC1为任意非零常数。

y 0显然也为原方程的解，

y Ce

x2

所以通解为

，C为任意常数。

注：解题过程中任意常数出现e的幂的形式，通常需考察常数取零时是否为方程的解，拓展任意常数的范

围可否包括零。

★(4)

xdy dx eydx；

解： 分离变量得

11

dy dx，

xey 1

11

两边积分得 ydy dx，

xe 1

y

即 ln e lnx lnC

y

，

故通解为1 e Cx。

1e yd(1 e y) y

注：其中 ydy dy ln e C y y e 11 e1 e

★(5) tan

x

dy

1 y； dx

解 ：分离变量得

1

dy cotxdx， 1 y

1

1 ydy cotxdx，

两边积分得

即 ln y lnsinx lnC

，

故通解为1

★（6）dx

y Csinx。

xydy y2dx ydy；

解：分离变量得

y1

dy dx， 2

x 1y 1

两边积分得

y1dy x 1dx，

y2 1

即

1

lny2 lnx 1 C1， 2

y2 12C1

化 简得：， e2

(x 1)

故通解为

y2 1 C(x 1)2，其中C为任意常数。

注：本题与课本答案不一致！课本答案错误。

★（7）

x2ydx (1 y2 x2 x2y2)dy；

1 y2x2

dy 2dx， 解：分离变量得

yx 1

两边积分得

11( y)dy (1 y x2 1)dx，

y2

即 lny x arctanx C，

2

y2

故通解为lny x arctanx C 其中C为任意常数。

2x yx y

； sin

22

x yx yxy

解： 变形为 y sin sin 2cossin，

22221x

分离变量得 dy cosdx，

y22sin

21x

两边积分得 dy cosdx，

y22sin

2

★(8)

y sin

即lntan

yx C 2sin， 42

故sin

yxy

0时的通解为 lntan C 2sin；

422

当sin

y

0时, y 2K ，K为整数。 2

注: 1、三角函数和差化积公式：

sinx siny 2sin

x yx yx yx y

； sinx siny 2cos； cossin

2222x yx yx yx y

；cosx cosy 2sin。 cosx cosy 2coscossin

2222

2、在解题过程中,求通解可忽略特解情形。

2. 求下列齐次方程的通解：

知识点：齐次微分方程的解法。

★（1）

xy y x2 y2 0；

dyyy ()2dxxx

。

解：原方程变为

令u

yx

1

，则原方程化为 u x

du

u u2dx

，

即

u2

du

1

dx， x

两边积分得 arcsinu将u

lnx C，

yx

代入上式得原方程的通解为 arcsin

y

lnx C。 x

注： 本题与课本答案不一致，课本答案有误。

dyy yln； dxx

dyyy

解：原方程变为 ln。

dxxxydu ulnu，

令u ，则原方程化为 u x

dxx

1du 1dx， 即

u(lnu 1)x

★(2)

x

两边积分得 lnlnu将u

1 lnx lnC

，即u

eCx 1，

yx

代入上式得原方程的通解为

y xeCx 1 。

yy

ycos)dx xcosdy 0；

xxdyyy

解：原方程变为 sec 。

dxxx

du1y

令u ，则原方程化为 u x secu u，即cosudu dx，

xdxx

★(3)(x

两边积分得 sinu将u

lnx C，

yx

代入上式得原方程的通解 sin

yx

y

lnx C。 x

★(4)

y e

y ； x

解：令u

yx

， 则原方程化为 u

u

x

dudu eu u，即x eu， dxdx

分离变量得 edu

1

dx， x

两边积分得 e将u

u

lnx C1，即 u lnC lnx，

yx

代入上式得原方程的通解

u

y

lnC lnxx

， 即

y xlnC lnx

。

注：也可将 e

★(5)

lnx C1中的C1改写为 C，与后面出现的C保持一致

y(x2 xy y2)dx x(x2 xy y2)dy 0；

yy ()2

dyy 解：原方程变形为

yydxx

1 ()2

xx

1

。

y

令u

x

du1 u u2

，则原方程化为 u x u

dx1 u u2du2u 2u3

，即x

dx1 u u2

，

1121 u u22

分离变量得 ，即 （ ）du dx， du dx23

uu 1xxu u

两边积分得 lnu

arctanu 2lnx lnC

，即Cx

2

u e arctanu，

y

将u

x

代入上式得原方程的通解 Cxy e

y

arctanx

。

3.求下列各初值问题的解：

知识点：可分离变量，以及齐次型微分方程求解。

思路：求得通解的条件下代入初始条件，解出其中的任意常数，代入通解即得所求特解。

★(1)

xydx dy 0,yx 0 0； 1 y1 x

解： 分离变量得 y(1 y)dy x(1 x)dx，

两边积分得

(y y

2

)dy (x x)dx，即

2

y2y3x2x3

C， 2323

由

yx 0 0得C 0，

所以所求特解为

y2y3x2x3

2323

。

y

y x yx 1 2；

yxydu 1 u 即udu 1dx，

解： 令u ， 则原方程化为 u x

dxuxx

12

两边积分得u lnx C，

2y22

将u 代入上式得原方程的通解y 2x(lnx C)，

x

★(2)

由

yx 1 2得C 2 ，

y2 2x2(lnx 2)。

故所求特解为

注：课本所给答案不含绝对值符号，根据通解的定义也是允许的。

4.化下列方程为齐次方程，并求出通解：

知识点：对于形如

a1x b1y c1 dy

f ax by c 的方程解法。 dx22 2

★★★（1）

dy2y x 5

；

dx2x y 4

解：联立

2y x 5 0 x 1

，解之得 ，

2x y 4 0 y 2

x X 1dydY

，则dxdX y Y 2

2

，

做平移变换

Y

1

dY2Y X

代入原方程得。 YdX2X Y

2

X

令

Y

u，Y uX， X

du2u 1duu2 1

代入原方程得u X，即X，

dX2 udX2 u

分离变量得

2 u111311

，即 du dX(. .)du dX ， 2

X2u 12u 1Xu 1

两边积分得：

131

lnu lnu lnX lnC，化简得：u 1 C(u 1)3X2。 222Y将 u代入得：Y X C(Y X)3， X

将

X x 1，Y y 2回代得原方程通解(y x 3) C(y x 1)3。

★★★（2）

(x y 1)dx (4y x 1)dy 0 ；

x y 1 0 x 1dyx y 1

，联立 ，解之得 ，

dxx 4y 1 x 4y 1 0 y 0

，

解：原方程化简为

x X 1dydY

做平移变换 ，则

y YdxdX

YdYX Y代入原方程得

YdXX 4Y

1 4

X

1

。

Ydu1 udu4u2 1令， 即X， u，Y uX，代入原方程得u X XdX1 4udX4u 1

分离变量得

4u 114u11

，即 du dX( )du dX222

XX4u 14u 14u 1

，

两边积分得：

11C

ln(4u2 1) arctan2u lnX ，化简得 lnX2(4u2 1) arctan2u C。 222Y2Y将 u代入得 ln4Y2 X2 arctan C， XX

2y22

将X x 1，Y y，回代得原方程通解 ln4y (x 1) arctan C。

x 1

★★★5.利用变量代换的方法求

(x y)dx (3x 3y 4)dy 0的通解；

思路：先化成形如

a1x b1y c1 0a1b1 a1x b1y c1 dy

，由于，所以联立无解。 f dxa2b2 a2x b2y c2 a2x b2y c2 0

做变换u

a1x b1y即可求得通解。

解：原方程化简为

x y 0dyx y

，联立无解，无法应用平移变换。

dx3x 3y 4 3x 3y 4 0

dudy

1 ， dxdxduu4 2u

代入原方程得 ， 1

dx4 3u4 3u3u 432

分离变量得du dx， 即 ( )du dx，

2u 422u 43

两边积分得 u lnu 2 x C。

2

3C

将u x y代入得(x y) lnx y 2 x ，

22

令u

x y，则

化简得x 3y 2lnx y 2 C 即为所求通解。

★★ 6. 质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在

t 10s时，速度等于v 50cm/s， 外力为F 4g cm/s2， 问运动1分钟后的速度是多少？

解： 已知F k

故4 k

t， 并且当t 10s时， v 50cm/s，F 4gcm/s2 ，

v

10， 从而k 20， 因此F 20t。 50v

dvt

又由牛顿定律F ma，即1 20，

dtv

故vdv 20tdt， 即为速度与时间应满足的微分方程。

1两边积分得 v2 10t2 C，即v 20t2 2C。 2

122

由初始条件t 10s时， v 50cm/s，有 50 10 10 C，解得 C 250，

2

因此 v 当t

t2 500。

60s时， v 20 602 500 269.3cm/s即为所求。

★★ 7.求一曲线的方程，该曲线通过点

(0,1)且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

解：设曲线方程为y f(x)，切点为P(x,y)，则与原点连线斜率为

yx

，

由题意得曲线满足的微分方程为

dyx

， 即 ydy xdx， dxy

两边积分得

y2x2C

222

，

方程通解为x

2

y2 C 。

又曲线通过点(0,1)，代入通解得 0 1 C， 所以所求曲线方程为x

★★★8 设有连结点

2

y2 1。

A 对于O A上任一点P(x,y) 曲线弧O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧O

2

与直线段所围图形的面积为 求曲线弧O A的方程。 O Px

解： 设曲线弧O A的方程为y y(x)，由题意知满足下面方程

0

x

y(x)dx 1xy(x) x2，

2

方程为积分形式的方程，需化为微分方程。

y

y(x) 1y(x) 1xy (x) 2x， 即y 4为齐次方程。

22x

4ydu u 4， 即

令u 则有 u xdu dx，

dxxx

两边积分得 u 4lnx C 。

y

将u 代入上式得方程的通解 y 4xlnx Cx 。

x

两边求导得 由于

A(1,1)在曲线上，即y(1) 1，代入通解求得C 1，

y 4xlnx x。

从而所求曲线方程为

注：积分化为微分形式的方程，往往利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号。

★★9 某林区现有木材10万立方米，如果每一瞬时木材的变化率与当时木材数成正比，假使10年内这林区

能有20万立方米，是确定木材数

p与时间t的关系。

解：由题意得

dp

kp 且 pt 0 10,pt 10 20。 dt

方程为可分离变量类型，分离变量

1

dp kdt， p

两边积分得通解为 代入初始条件得 C

p Cekt。

10,k

ln2

， 10

所以所求函数关系为

p 10 2

。

★★10 在某池塘养鱼，该池塘内最多能养鱼1000尾，在时刻t，鱼数y是时间t的函数y y(t),其变化

率与鱼数

y及1000-y成正比。已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾，求放养t月后

池塘内鱼数

y(t)的公式。

dy

ky(1000 y) （k为比例系数）且 yt 0 100,yt 3 250。 dt

解：由题意得：

可分离变量类型方程

1

dy kdt ，

y(1000 y)

两边积分得通解为

y

Ce1000kt。

1000 y

1ln3

， ,k

93000y

1000 3

t代入初始条件得 C

所以所求函数关系为。

9 3§12.3 一阶线性微分方程

1.求下列微分方程的解：

知识点：一阶线性微分方程的解法。

★(1)

dy

2xy 4x； dx

解：P(x) 2x ，Q(x) 4x，代入公式得

2xdx2xdx

y e ( 4x e dx C)

e

x2

( 4x edx C)

2

2

x2

e x(2ex C) Ce x 2，

原方程通解为

2

y Ce

x2

2。

★(2)

dy1

y 2x2； dxx

12

，Q(x) 2x， 代入公式得 x

2

解：P(x)

y e

xdx

1

[ 2x e

xdx

1

dx C]

1

x( 2x2 dx C)

x

x(x2 C) x3 Cx。

dy

y 2(x 2)3； dx

dy1 y 2(x 2)2。 解：原方程变形为

dxx 2

★(3)

(x 2)

其中P(x)

12

，Q(x) 2(x 2)， x 2

1

1

dx dx

代入公式得 y e[ 2(x 2)2 edx C]

(x 2)[ 2(x 2)2 1dx C]

x 2

(x 2)[(x 2)2 C] (x 2)3 C(x 2),

即为原方程通解。

★(4) (x

2

1)y 2xy 4x2 ；

2x4x2

解：原方程变形为y 2。 y 2

x 1x 1

2x4x2

其中P(x) 2，Q(x) 2 ，

x 1x 1

代入公式得

y e

x2 1dx

2x

4x2 2dx

( 2 ex 1dx C) x 1

2x

14x214 2[ 2 (x2 1)dx C] 2(x3 C)x 1x 1x 13

即为原方程通解。

★★★(5)

(y2 6x)

dy

2y 0； dx

思路：微分方程中函数关系可以依解题方便来定。本题中若将y看作x的函数，不便解题，若将x看作y

的函数，则可改写成一阶线性微分方程

dx

P(y)x Q(y)，通解公式为 dy

P(y)dyP(y)dy

x e [ Q(y) e dy C]。

解：原方程变形为：

dx31

x y。 dyy2

令P(y)

31

，Q(y) y，

2y

3

3

dy ydy1代入公式得 x e[ ( y) eydy C] 2

11

y3( 1 y 1dy C) y3( C) y2 Cy3

2y22y

即为原方程通解。

★★ (6)

ydx (1 y)xdy eydy ；

思路：同题（5）

dx1 yey

解： 原方程变形为 x

dyyy

。

ey1 y

令 P(y) ，Q(y) ，

yy

代入公式得原方程通解为x

e

1

( 1)dy

y

ey (y 1)dy( edy C)

y

1

1 yey1 ye2yy

yedy C] e ( C) e[ yyy2

1ey

( Ce y)y2 。

★★★(7)

dy1

dxxcosy sin2y

；

思路：同题（5） 解： 原方程变形为

dxdx

xcosy sin2y，即 xcosy sin2y。 dydy

令 P(y) x

cosy ，Q(y) sin2y，代入公式得

cosydy

e

( sin2ye

cosydy

dy C)

esiny( sin2ye sinydy C) esiny ( 2sinycosye sinydy C)

esiny ( 2sinyde siny C) esiny ( 2sinye siny 2 e sinydsiny C)

esiny ( 2sinye siny 2e siny C) 2siny 2 Cesiny。

★★ (8)

(x2 2xy y2)

dy

y2 0； dx

解： 原方程变形为

dx12

(2 )x 1。 dyyy

令P(y)

12

,Q(y) 1 ，代入公式得 2

yy

(y y2)dy

1y2

1

x e

[ e

1y

(y2 y)dy

12

dy C]

y2e( e

1y

1y

1

dy C) 2y

1y

y2e(e

★★★（9）

C) y2 Cy2e

。

y f (x)y f(x)f (x)；

解：P(x) f (x)，Q(x) f(x)f (x)，

代入公式得

f (x)dxf (x)dx

y e ( f(x)f (x)e dx C)

e f(x)( f(x)f (x)ef(x)dx C) e

f(x)

( f(x)de

f(x)

C)

e f(x) (f(x)ef(x) ef(x)df(x) C)

e f(x) (f(x)ef(x) ef(x) C) f(x) 1 Ce f(x)。

2.求下列微分方程满足初始条件的特解：

★(1)

dy

3y 8， yx 0 2； dx

解：由通解公式得

3dx3dx

y e ( 8 e dx C) e 3x(8 e3xdx C) e 3x(8e3x C) 8 Ce 3x。

33

2 2由y， 得C ，

x 03

2故所求特解为y (4 e 3x)。 3

★(2)

dy

ytanx secx，yx 0 0； dx

tanxdx

tanxdx

( secx e dx C) 1( secx cosxdx C) 1(x C)。

cosxcosx

解：由通解公式得

y e

由

yx 0 0，得C 0，

y xsecx。

故所求特解为

★ 3. 求一曲线的方程， 这曲线通过原点，并且它在点(x,y) 处的切线斜率等于2x y。

解：由题意知y 2x y，并且y

由通解公式得

x 0

0，

dx dx

y e ( 2xe dx C) ex(2 xe xdx C)

由

ex( 2xe x 2e x C) Cex 2x 2 。

yx 0 0， 得C 2 ，

故所求曲线的方程为

★★4 设连续函数

y 2(ex x 1)。

x

y(x)满足方程y(x) y(t)dt ex，求y(x)。

x

解：方程两边关于x求导，得 y (x) y(x) e，为一阶线性非齐次微分方程。

利用公式得通解为

dx dx

y e ( exe dx C) ex( dx C) ex(x C)。

由

yx 0 1，得C 1，

y ex(x 1)。

故所求曲线的方程为

5。求下列伯努利方程的通解：

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